三角函数难题荟萃

第1页（共1页）三角函数难题荟萃一．选择题（共8小题）1．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|），若g（x）•f（x）＝1，且函数g（x）的部分图象如图所示，则φ等于（）A． B． C． D．2．设函数，，若函数y＝f（x）﹣a（a∈R）恰有三个零点x1、x2、x3（x1＜x2＜x3），则x1+x2+x3的取值范围是（）A． B． C． D．3．某地计划将一处废弃的水库改造成水上公园，并绕水库修建一条游览道路．平面示意图如图所示，道路OC长度为8（单位：百米），OA是函数y＝loga（x+b）图象的一部分，ABC是函数y＝Msin（ωx+φ）（M＞0，ω＞0，|φ|，x∈[4，8]）的图象，最高点为B（5，），则道路OABC所对应函数的解析式为（）A．y B．y C．y D．y4．已知a，b，α，β∈R，满足sinα+cosβ＝a，cosα+sinβ＝b，0＜a2+b2≤4，有以下2个结论：①存在常数a，对任意的实数b∈R，使得sin（α+β）的值是一个常数；②存在常数b，对任意的实数a∈R，使得cos（α﹣β）的值是一个常数．下列说法正确的是（）A．结论①、②都成立 B．结论①不成立、②成立 C．结论①成立、②不成立 D．结论①、②都不成立5．函数f（x）＝sin（ωx）的图象关于点（，0）中心对称，且在区间（0，π）恰有三个极值点，则（）A．f（x）在区间（，）单调递增 B．直线x是曲线y＝f（x）的对称轴 C．f（x）在区间（﹣π，π）有5个零点 D．f（x）图象向左平移个单位，所得图象对应的函数为奇函数6．已知，，，，则a，b，c的大小关系为（）A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．c＜a＜b7．如图，函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）图象与x轴交于，与y轴交于P，其最高点为．若PQ⊥PR，则A的值等于（）A． B． C． D．28．已知函数的图象在y轴上的截距为，在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为．关于该函数有下列四个说法：①；②；③函数在上一定单调递增；④在y轴右侧的第一个最低点的横坐标为．以上说法中，正确的个数有（）A．1 B．2 C．3 D．4二．多选题（共4小题）（多选）9．将函数f（x）＝sin（2x）的图象向左平移个单位得到函数g（x），则下列说法正确的是（）A．g（x）的周期为π B．g（x）的一条对称轴为x C．g（x）是奇函数 D．g（x）在区间[，]上单调递增（多选）10．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|）的最大值为，其图像相邻的两条对称轴之间的距离为，且f（x）的图象关于点（，0）对称，则下列结论正确的是（）A．函数f（x）的图象关于直线x对称 B．当x∈[，]时，函数f（x）的最小值为 C．若f（α），则sin4α﹣cos4α D．要得到函数f（x）的图象，只需要将g（x）cos2x的图象向右平移的单位（多选）11．已知函数，则下列说法中正确的是（）A．f（x+π）＝f（x） B．f（x）的最大值是 C．f（x）在上单调递增 D．若函数f（x）在区间[0，a）上恰有2022个极大值点，则a的取值范围为（多选）12．给出下列四个选项中，其中正确的选项有（）A．若角α的终边过点P（3，﹣m）且，则m＝2 B．若α是第二象限角，则为第二象限或第四象限角 C．若在（﹣∞，﹣2）单调递减，则a∈（1，2] D．设角α为锐角（单位为弧度），则α＞sinα三．填空题（共5小题）13．已知函数f（x）（|b|）的导函数g（x）＝sin|x|+cos|x|．若在实数集R上能取到最小值，则最小值是，此时f（0）＝．14．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈R）在区间上单调，且满足．（1）若，则函数f（x）的最小正周期为；（2）若函数f（x）在区间上恰有5个零点，则ω的取值范围为．15．定义运算．令f（x）＝（cos2x+sinx）⊗．当时，的最大值是．16．已知函数f（x）＝2sin（ωx）（ω＞0）在区间[﹣1，1]上的值域为[m，n]，且n﹣m＝3，则ω的值为．四．解答题（共9小题）17．若函数y＝f（x）与y＝g（x）满足：f（x）+g（x）＝0有解，则称函数y＝f（x）与y＝g（x）具备“相融关系”．（1）若f（x），g（x）＝log2x•log4x，判断y＝f（x）与y＝g（x）是否具备“相融关系”，请说明理由；（2）若f（x）＝sinxcosx与g（x）＝sin（x）﹣a在x∈[，]具备“相融关系”，求实数a的范围；（3）若a＜0，且f（x）sin2x+a与g（x）sinx+4cosx不具备“相融关系”，求整数a的最大值．18．已知函数是f（x）sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|），P（，0）函数f（x）图象上的一点，M，N是函数f（x）图象上一组相邻的最高点和最低点，在x轴上存在点T，使得，且四边形PMTN的面积的最小值为2．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若f（），求A；（3）已知，过点H的直线交PM于点Q，交PN于点K，λ，μ，问是否是定值？若是，求出定值，若不是，说明理由．19．设函数y＝f（x）的解析式为f（x）＝sin（2x），x∈R．（1）求函数y＝f（x）的最大值，并求出取得最大值时所有x的值；（2）设函数g（x）＝sin（2x），若对任意x1，x2∈[0，t]，当x1＜x2时，都有f（x1）﹣f（x2）＜g（x1）﹣g（x2），求实数t的最大值；（3）将函数f（x）的图像向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数y＝h（x）的图像．记方程h（x）在x∈[，]上的根从小到依次为x1，x2，⋯，xn，试确定n的值，并求x1+2x2+2x3+⋯+2xn﹣1+xn的值．20．已知函数f（x）sin（ωx）sin2（x），（ω＞0，x∈R）的最小正周期为4．任取t∈R，若函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值为M（t），最小是为m（t），记g（t）＝M（t）﹣m（t）．（1）求f（x）的解析式及对称轴方程；（2）当t∈[﹣2，0]时，求函数g（t）的解析式；（3）设函数h（x）＝2|x﹣k|，H（x）＝x|x﹣k|+2k﹣8，其中k为参数，且满足关于t的不等式k﹣5g（t）≤0有解．若对任意x1∈[4，+∞），存在x2∈（﹣∞，4]，使得h（x2）＝H（x1）成立，求实数k的取值范围．21．已知函数．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）当，关于x的方程[f（x）]2﹣（2m+1）f（x）+m2+m＝0恰有三个不同的实数根，求实数m的取值范围．22．设函数f（x）＝sin（2x）+2cos2x﹣1（x∈R）．（1）若f（α），α∈[0，]，求角α；（2）若不等式[f（x）]2+2acos（2x）﹣2a﹣2＜0对任意x∈（，）时恒成立，求实数a应满足的条件；（3）将函数f（x）的图像向左平移个单位，然后保持图像上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数g（x）的图像，若存在非零常数λ，对任意x∈R，有g（x+λ）＝λg（x）成立，求实数m的取值范围．23．已知函数的部分图像如图所示，若，B，C分别为最高点与最低点．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若函数y＝f（x）﹣m在上有且仅有三个不同的零点x1，x2，x3，（x1＜x2＜x3），求实数m的取值范围，并求出cos（x1+2x2+x3）的值．24．已知函数的部分图象如图所示．（1）求A，ω和φ的值；（2）求函数y＝f（x）在[1，2]上的单调递减区间；（3）若函数y＝f（x）在区间[a，b]上恰有2022个零点，求b﹣a的取值范围．25．已知函数．（1）若f（x1）≤f（x）≤f（x2），|x1﹣x2|min，求f（x）的对称中心；（2）已知0＜ω＜5，函数f（x）图象向右平移个单位得到函数g（x）的图象，是g（x）的一个零点，若函数g（x）在[m，n]（m，n∈R且m＜n）上恰好有10个零点，求n﹣m的最小值．

三角函数难题荟萃参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|），若g（x）•f（x）＝1，且函数g（x）的部分图象如图所示，则φ等于（）A． B． C． D．【解答】解：由已知得g（x），据图可知是f（x）在一个周期内的三个零点，且f（x）在上先增后减，在上先减后增，故，所以ω＝2，且sin（）＝0，得2kπ，k∈Z，又|φ|，故k＝0时，即为所求．故选：B．2．设函数，，若函数y＝f（x）﹣a（a∈R）恰有三个零点x1、x2、x3（x1＜x2＜x3），则x1+x2+x3的取值范围是（）A． B． C． D．【解答】解：令t＝4x，由，则t∈[，]，若函数y＝f（x）﹣a（a∈R）恰有三个零点x1、x2、x3（x1＜x2＜x3），转化为函数y＝g（t）与y＝a在t∈[，]图象上有3个交点，且设横坐标分别为t1、t2、t3（t1＜t2＜t3），则t1＝4x1，t2＝4x2，t3＝4x3，函数g（t）＝sint，t∈[，]，如图所示：由图象可得t1、t2关于t对称，t1+t2＝π，则4x14x2π，解得x1+x2，t3，则4x3，则x3，∴x1+x2+x3，故选：B．3．某地计划将一处废弃的水库改造成水上公园，并绕水库修建一条游览道路．平面示意图如图所示，道路OC长度为8（单位：百米），OA是函数y＝loga（x+b）图象的一部分，ABC是函数y＝Msin（ωx+φ）（M＞0，ω＞0，|φ|，x∈[4，8]）的图象，最高点为B（5，），则道路OABC所对应函数的解析式为（）A．y B．y C．y D．y【解答】解：由三角函数的图象知M，8﹣5＝3，即T＝12，则12，得ω，则ysin（x+φ），又由函数过B（5，），得sin（5+φ），得sin（φ）＝1，即φ＝2kπ，得φ＝2kπ，又因为|φ|，所以当k＝0时，φ，则ysin（x），（4≤x≤8），排除B，D，当x＝4时，ysin（4）sin2，即A（4，2），y＝loga（x+b）过（0，0），则logab＝0，则b＝1，则y＝loga（4+1）＝loga5＝2，得a，则y（x+1），（0≤x＜4），排除A，故选：C．4．已知a，b，α，β∈R，满足sinα+cosβ＝a，cosα+sinβ＝b，0＜a2+b2≤4，有以下2个结论：①存在常数a，对任意的实数b∈R，使得sin（α+β）的值是一个常数；②存在常数b，对任意的实数a∈R，使得cos（α﹣β）的值是一个常数．下列说法正确的是（）A．结论①、②都成立 B．结论①不成立、②成立 C．结论①成立、②不成立 D．结论①、②都不成立【解答】解：a2+b2＝2+2（sinαcosβ+cosαsinβ），即sin（α+β），a，b的取值相互影响，不存在常数a，对任意的实数b∈R，使得sin（α+β）的值是一个常数，①不成立；b2﹣a2＝cos2α﹣sin2α+sin2β﹣cos2β+2cosαsinβ﹣2sinαcosβ＝cos2α﹣cos2β﹣2sin（α﹣β），则有b2﹣a2＝﹣2sin（α+β）sin（α﹣β）﹣2sin（α﹣β），∴sin（α﹣β），当b＝0时，sin（α﹣β）＝1为常数，则cos（α﹣β）＝0为常数，即存在常数b＝0，对任意的实数a∈R，使得cos（α﹣β）的值是一个常数，②成立．故选：B．5．函数f（x）＝sin（ωx）的图象关于点（，0）中心对称，且在区间（0，π）恰有三个极值点，则（）A．f（x）在区间（，）单调递增 B．直线x是曲线y＝f（x）的对称轴 C．f（x）在区间（﹣π，π）有5个零点 D．f（x）图象向左平移个单位，所得图象对应的函数为奇函数【解答】解：由已知得0⇒，解得①，k∈Z，因为f（x）在区间（0，π）上恰有三个极值点，故，解得，结合①得ω＝3，所以f（x）＝sin（3x），对于A，x∈（，）时，，y＝sinx此时先减后增，故A错误；对于B，因为f（）＝﹣1是最小值，故x是曲线y＝f（x）的对称轴，B正确；对于C，x∈（﹣π，π）时，∈（﹣3，），y＝sinx此时有﹣3π，﹣2π，﹣π，0，π，2π，共6个零点，故C错误；对于D，f（x）图象向左平移个单位，所得图象对应的函数f（x）＝sin（3x）为非奇非偶函数，故D错误．故选：B．6．已知，，，，则a，b，c的大小关系为（）A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．c＜a＜b【解答】解：对于，f′（x），（x＞0），x∈（0，e）时，f′（x）＞0，x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，由，故，则2cos2θ﹣1＝cos2θ∈（，1），则比较a，b，c的大小关系，需比较（2cos2θ﹣1）2＝（cos2θ）2，（cosθ﹣1）2，（sinθ﹣1）2的大小，即比较cos2θ，1﹣cosθ，1﹣sinθ的大小关系结合f（x）的单调性比较，显然1＞cosθ＞sinθ＞0，故0＜1﹣cosθ＜1﹣sinθ＜1，则0＜（1﹣cosθ）2＜（1﹣sinθ）2＜1，所以c＞b，排除BD；取特殊值，则0＜1﹣coscos，故此时1＞cos2θ＞1﹣cosθ＞0，故a＞b，故选：A．7．如图，函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）图象与x轴交于，与y轴交于P，其最高点为．若PQ⊥PR，则A的值等于（）A． B． C． D．2【解答】解：由图可知：，得T＝2，所以，将代入方程得：，所以，又因为0＜φ＜π，所以，所以，，所以，，因为PQ⊥PR，所以，解得：或（舍）．故选：B．8．已知函数的图象在y轴上的截距为，在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为．关于该函数有下列四个说法：①；②；③函数在上一定单调递增；④在y轴右侧的第一个最低点的横坐标为．以上说法中，正确的个数有（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵f（x）的图象在y轴上的截距为，∴f（0）＝sinφ，∵0＜φ，∴φ，故①正确；此时f（x）＝sin（ωx），∵在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为．∴由五点对应法得ω，得ω＝2，则f（x）＝sin（2x），f′（x）＝2cos（2x），则f（x）+f′（﹣x）＝sin（2x）+2cos（﹣2x）sin2xcos2x+2（cos2xsin2x）sin2xcos2x+cos2xsin2xsin2xcos2x，则最大值为，∴f（x）+f′（﹣x）不正确，故②错误；当0＜x时，0＜2x，2x，此时f（x）为增函数，故③正确；由2x2kπ，k∈Z，得xkπ，k∈Z，当k＝0时，x，即在y轴右侧的第一个最低点的横坐标为，故④错误．故选：B．二．多选题（共4小题）（多选）9．将函数f（x）＝sin（2x）的图象向左平移个单位得到函数g（x），则下列说法正确的是（）A．g（x）的周期为π B．g（x）的一条对称轴为x C．g（x）是奇函数 D．g（x）在区间[，]上单调递增【解答】解：函数f（x）＝sin（2x）的图象向左平移个单位得到函数g（x）＝sin（2x）的图象，故对于A：函数的最小正周期为π，故A正确；对于B：当x时，g（）±1，故B错误；对于C：由于函数g（x）≠﹣g（x），故C错误；对于D：当x∈[，]时，2x∈[，]，故函数在该区间上单调递增，故D正确．故选：AD．（多选）10．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|）的最大值为，其图像相邻的两条对称轴之间的距离为，且f（x）的图象关于点（，0）对称，则下列结论正确的是（）A．函数f（x）的图象关于直线x对称 B．当x∈[，]时，函数f（x）的最小值为 C．若f（α），则sin4α﹣cos4α D．要得到函数f（x）的图象，只需要将g（x）cos2x的图象向右平移的单位【解答】解：因为函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|）的最大值为，其图象相邻的两条对称轴之间的距离为，所以A，，所以ω＝2，可得f（x）sin（2x+φ），又因为f（x）的图象关于点（，0）对称，所以f（）sin（φ）＝0，可得φ＝kπ，k∈Z．所以φkπ，k∈Z．因为|φ|，所以φ．可得f（x）sin（2x）．对选项A，f（）sinπ＝0≠±，故A错误，对选项B，x∈[，]，2x∈[，]，当2x时，f（x）取得最小值，故B正确，对选项C，f（−α）sin（−2α）cos2α，得到cos2α．因为sin4α−cos4α＝（sin2α+cos2α）（sin2α−cos2α）＝−cos2α，故C错误，对选项D，把g（x）cos2x的图象向右平移个单位得到ycos2（x）cos（2x）sin[（2x−）]sin（2x）的图象，故D正确．故选：BD．（多选）11．已知函数，则下列说法中正确的是（）A．f（x+π）＝f（x） B．f（x）的最大值是 C．f（x）在上单调递增 D．若函数f（x）在区间[0，a）上恰有2022个极大值点，则a的取值范围为【解答】解：，对于A选项：f（x+π）f（x），A选项正确；对于B选项：设f（x）t，则sin2x−tcos2x＝2tsin（2x+φ），解得t2，−t，即tmax，即f（x）的最大值为，B选项正确；对于C选项：因为f（−）＝f（）＝0，所以f（x）在（−，）上不单调，C选项错误；对于D选项：f′（x），令f′（x）＝0，解得cos2x＝−，即xkπ或xkπ，k∈Z，当x∈（kπ，kπ），k∈Z时，f′（x）＜0，函数单调递减，当x∈（kπ，kπ），k∈Z时，f′（x）＞0，函数单调递增，所以函数f（x）的极大值点为，又函数f（x）在区间[0，a）上恰有2022个极大值点，则a∈（2021π，2022π]，即a∈（，]，D选项正确．故选：ABD．（多选）12．给出下列四个选项中，其中正确的选项有（）A．若角α的终边过点P（3，﹣m）且，则m＝2 B．若α是第二象限角，则为第二象限或第四象限角 C．若在（﹣∞，﹣2）单调递减，则a∈（1，2] D．设角α为锐角（单位为弧度），则α＞sinα【解答】解：对于A、因为sinα，所以解得m＝2，故A正确；对于B、若角α的终边位于第二象限，即2kπα＜2kπ+π，k∈Z，则kπkπ，k∈Z，则位于第一象限或第三象限，故B错误；对于C、令g（x）＝x2+2ax+2a﹣1，则y＝logag（x），若f（x）＝loga（x2+2ax+2a−1）在（﹣∞，﹣2）单调递减，则函数g（x）在区间[a，+∞）上单调递减且g（x）＞0，则有，解可得1＜a；即实数a∈（1，]，故C错误；对于D、令f（x）＝x﹣sinx，则f'（x）＝1﹣cosx，当0＜x时，cosx＜1，所以f'（x）＝1﹣cosx＞0，所以f（x）在（0，）是单调递增，所以f（x）＞f（0）＝0，即x＞sinx，所以当角α是锐角（单位为弧度）时，α＞sinα，故D正确．故选：AD．三．填空题（共5小题）13．已知函数f（x）（|b|）的导函数g（x）＝sin|x|+cos|x|．若在实数集R上能取到最小值，则最小值是，此时f（0）＝﹣1．【解答】解：x≥0时，g（x）＝sinx+cosx，取f1（x）＝sinx﹣cosx，x＜0时，g（x）＝cosx﹣sinx，取f2（x）＝sinx+cosx，再令Y＝sinx﹣cosx，X＝sinx+cosx，则X2+Y2＝2，表示以原点为圆心，半径为的圆C，可化为k，该式表示圆C上的点（X，Y）与点（﹣b，﹣a）所在直线的斜率，因为|b|，故过点（﹣b，﹣a）的直线y+a＝k（x+b）与圆C相切时，k会取到最小值，即，即（b2﹣2）k2﹣2abk+a2﹣2＝0，解得，故k的最小值为，即的最小值为，此时f（0）＝﹣1．故答案为：；﹣1．14．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈R）在区间上单调，且满足．（1）若，则函数f（x）的最小正周期为π；（2）若函数f（x）在区间上恰有5个零点，则ω的取值范围为．【解答】解：因为（，）⊆（，），所以f（x）在（，）上单调，又f（）＝﹣f（），所以，可得f（）＝0，又由于f（x）＝f（x），所以函数f（x）的对称轴方程为x，则，所以函数的最小正周期为π；因为函数f（x）在区间[，）上恰有5个零点，所以2T，所以2••，解得ω，且满足T＞4×（），即，即ω≤3，故ω∈（，3]，故④正确；故答案为：π，．15．定义运算．令f（x）＝（cos2x+sinx）⊗．当时，的最大值是1．【解答】解：因为cos2x+sinx＝1﹣sin2x+sinx（sinx）2，当且仅当sinx时等号成立，又，所以f（x）＝（cos2x+sinx）⊗cos2x+sinx，所以f（x）＝cos2（x）+sin（x）＝sin2x﹣cosx＝﹣（cos2x+cosx）+1（cosx）2，∵x∈[0，]，∴cosx∈[0，1]，∴f（x）≤1．故答案为：1．16．已知函数f（x）＝2sin（ωx）（ω＞0）在区间[﹣1，1]上的值域为[m，n]，且n﹣m＝3，则ω的值为．【解答】解：f（x）的最小正周期T＞2，故0＜ω＜π，结合ω＞0，则：①当[﹣1，1]是f（x）的一个单调增区间时，应有n﹣m，所以，不符合题意，舍去；②因为f（x）图象是将y＝2sinωx向左平移，则x∈[﹣1，1]时，f（x）应该在y轴右侧存在一个极大值点，故n＝2，m＝2sin（），所以此时n﹣m＝2﹣2sin（）＝3，得sin，故，解得．故答案为：．四．解答题（共9小题）17．若函数y＝f（x）与y＝g（x）满足：f（x）+g（x）＝0有解，则称函数y＝f（x）与y＝g（x）具备“相融关系”．（1）若f（x），g（x）＝log2x•log4x，判断y＝f（x）与y＝g（x）是否具备“相融关系”，请说明理由；（2）若f（x）＝sinxcosx与g（x）＝sin（x）﹣a在x∈[，]具备“相融关系”，求实数a的范围；（3）若a＜0，且f（x）sin2x+a与g（x）sinx+4cosx不具备“相融关系”，求整数a的最大值．【解答】解：（1）由，，令，所以y＝f（x）与y＝g（x）不具备“相融关系”；（2），sin2x＝1﹣t2，设u（t）＝f（x）+g（x）＝﹣at2+|t|+a，且u（t）为偶函数，考虑的情形，所以u（t）＝﹣at2+t+a，当a＝0时，u（t）＝t＝0，满足题设，当a≠0时，，若a＜0，u（t）在上单调递增，，满足题设，若，，u（0）＝a＞0，，所以，若，u（t）在上递增，u（t）≥u（0）＝a＞0，不合题意，综上所述，实数a的取值范围为；（3）设，观察到，因此h（x）max＜0，所以，当且仅当，时，，因此，所以整数a的最大值﹣11．18．已知函数是f（x）sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|），P（，0）函数f（x）图象上的一点，M，N是函数f（x）图象上一组相邻的最高点和最低点，在x轴上存在点T，使得，且四边形PMTN的面积的最小值为2．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若f（），求A；（3）已知，过点H的直线交PM于点Q，交PN于点K，λ，μ，问是否是定值？若是，求出定值，若不是，说明理由．【解答】解：（1）由题意知，S四边形PMTN＝2S△PMN，连接MN，交x轴于点Q，则若使四边形PMTN的面积最小，则△PMN的面积最小，即|PQ|最小，故此时P、Q为函数f（x）的图象与x轴相邻的两个交点，设T是函数f（x）的最小正周期，则|PQ|，四边形PMTN的面积的最小值为2；故S四边形PMTN＝2S△PMN＝22＝2，故T＝2，故ωπ；∵P（，0）函数f（x）图象上的一点，∴sin（π+φ）＝0，故π+φ＝kπ（k∈Z），又∵|φ|，∴φ，故f（x）sin（πx）；（2）∵f（）sin（A），∴sin（A），∴A2kπ或A2kπ（k∈Z），故A＝2kπ或A＝2kπ（k∈Z）；（3）∵λ，μ，∴，，∵，∴，又∵，∴，即3•3•，又∵T、Q、K三点共线，∴3•3•1，故．19．设函数y＝f（x）的解析式为f（x）＝sin（2x），x∈R．（1）求函数y＝f（x）的最大值，并求出取得最大值时所有x的值；（2）设函数g（x）＝sin（2x），若对任意x1，x2∈[0，t]，当x1＜x2时，都有f（x1）﹣f（x2）＜g（x1）﹣g（x2），求实数t的最大值；（3）将函数f（x）的图像向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数y＝h（x）的图像．记方程h（x）在x∈[，]上的根从小到依次为x1，x2，⋯，xn，试确定n的值，并求x1+2x2+2x3+⋯+2xn﹣1+xn的值．【解答】解：（1）令2x2kπ（k∈Z），解得x＝kπ（k∈Z），即当x＝kπ（k∈Z）时，f（x）取得最大值1；（2）∵对任意x1，x2∈[0，t]，当x1＜x2时，都有f（x1）﹣f（x2）＜g（x1）﹣g（x2），∴对任意x1，x2∈[0，t]，当x1＜x2时，都有f（x1）﹣g（x1）＜f（x2）﹣g（x2），即函数f（x）﹣g（x）在[0，t]上是增函数；f（x）﹣g（x）＝sin（2x）﹣sin（2x）＝（sin2x•coscos2x•sin）﹣（sin2x•coscos2x•sin）sin2x，∵ysin2x的单调递增区间为[kπ，kπ]（k∈Z），∴[0，t]⊆[kπ，kπ]（k∈Z），∴0＜t，故实数t的最大值为；（3）函数f（x）的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝sin（2（x））＝sin（2x）的图象，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到y＝h（x）＝sin（4x）的图象；作函数y与h（x）＝sin（4x）（x∈[，]）上的图象如下，由图象可知，共有5个交点，故方程h（x）在x∈[，]上有5个根，即n＝5，令|sin（4x）|＝1得，4xkπ（k∈Z），故x（k∈Z），又∵x∈[，]，∴x，，，，，故x1+x2＝2，x2+x3＝2，x3+x4＝2，x4+x5＝2，故x1+2x2+2x3+2x4+x5＝2（）．20．已知函数f（x）sin（ωx）sin2（x），（ω＞0，x∈R）的最小正周期为4．任取t∈R，若函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值为M（t），最小是为m（t），记g（t）＝M（t）﹣m（t）．（1）求f（x）的解析式及对称轴方程；（2）当t∈[﹣2，0]时，求函数g（t）的解析式；（3）设函数h（x）＝2|x﹣k|，H（x）＝x|x﹣k|+2k﹣8，其中k为参数，且满足关于t的不等式k﹣5g（t）≤0有解．若对任意x1∈[4，+∞），存在x2∈（﹣∞，4]，使得h（x2）＝H（x1）成立，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）f（x）sin（ωx）sin2（x）sin（ωx）sin（ωx）cos（ωx）＝sin（ωx）＝sinωx，∵函数f（x）sin（ωx）sin2（），（x∈R）的最小正周期为4，∴T4，解得ω，即f（x）＝sinx，令xkπ，解得x＝2k+1，k∈Z，故f（x）的解析式为f（x）＝sinx，对称轴方程为x＝2k+1（k∈Z）；（2）由（1）知f（x）＝sinx，x∈[t，t+1]，t∈[﹣2，0]，则（t+1）∈[﹣1，1]，作出函数f（x）的图象，如图所示：由图象可知当t∈[﹣2，），（t+1）∈[﹣1，），则当x∈[t，t+1]，M（t）＝f（t）＝sint，m（t）＝f（﹣1）＝﹣1，此时g（t）＝M（t）﹣m（t）＝sint+1，当t∈[，﹣1），（t+1）∈[，0），则当x∈[t，t+1]，M（t）＝f（t+1）＝sin（t+1）＝cost，m（t）＝f（﹣1）＝﹣1，此时g（t）＝M（t）﹣m（t）＝cost+1，当t∈[﹣1，0]，（t+1）∈[0，1]，则当x∈[t，t+1]，M（t）＝f（t+1）＝sin（t+1）＝cost，m（t）＝f（t）＝sint，此时g（t）＝M（t）﹣m（t）＝cost﹣sint，综上所述，函数g（t）的解析式为g（t）；（3）由（1）知f（x）＝sinx，且T＝4，又任取t∈R，若函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值为M（t），最小值为m（t），则M（t+4）＝M（t），m（t+4）＝m（t），∴g（t+4）＝M（t+4）﹣m（t+4）＝M（t）﹣m（t）＝g（t），∴g（t）是周期为4的函数，只需研究t∈[﹣2，2]上的性质即可，由（2）知t∈[﹣2，0]时，g（t），同理可得t∈[0，2]时，当t∈[0，），g（t）＝M（t）﹣m（t）＝1﹣sint，当t∈[，1），g（t）＝1﹣cost，当t∈[1，2]，g（t）＝sint﹣cost，综上所述，函数g（t），作出函数g（t）部分图象，如图所示：由图象可知函数g（t）的值域为[1，]，关于t的不等式k﹣5g（t）≤0有解．转化为k≤5g（t）max，解得k≤5，对任意x1∈[4，+∞），存在x2∈（﹣∞，4]，使得h（x2）＝H（x1）成立，转化为H（x）在[4，+∞）上的值域是h（x）在（﹣∞，4]上值域的子集，∵h（x）＝2|x﹣k|（k≤5），H（x）＝x|x﹣k|+2k﹣8（k≤5），∴当k≤4时，h（x）在（﹣∞，k）上单调递减，在（k，4]上单调递增，∴h（x）min＝h（k）＝1，当k≤4时，H（x）在[4，+∞）上单调递增，H（x）min＝H（4）＝8﹣2k，∴8﹣2k≥1，解得k，当4＜k≤5时，h（x）在（﹣∞，4]上单调递减，∴h（x）min＝h（4）＝2k﹣4，当4＜k≤5时，H（x）在[4，k）上单调递减，在（k，+∞）上单调递增，H（x）min＝H（4）＝2k﹣8，∴，∴，解得k＝5，综上所述，实数k的取值范围为（﹣∞，]∪{5}．21．已知函数．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）当，关于x的方程[f（x）]2﹣（2m+1）f（x）+m2+m＝0恰有三个不同的实数根，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）令2kπ2x2kπ，k∈Z，解得kπx≤kπ，k∈Z，故f（x）的单调递增区间为[kπ，kπ]，k∈Z．（2）因为[f（x）]2﹣（2m+1）f（x）+m2+m＝0等价于[f（x）﹣（m+1）][f（x）﹣m]＝0，解得f（x）＝m+1或f（x）＝m，因为，所以2x∈[，]，f（x）∈[﹣1，2]，如图，绘出函数f（x）的图像，方程[f（x）]2﹣（2m+1）f（x）+m2+m＝0有三个不同的实数根等价于f（x）＝m+1有一个实数解且f（x）＝m有两个不同的实数解或f（x）＝m+1有两个不同的实数解且f（x）＝m有一个实数解，①当m＜﹣1或m＞2时，f（x）＝m无解，不符合题意；②当m＝﹣1时，则m+1＝0，f（x）＝m有一个实数解，f（x）＝m+1有两个不同的实数解，符合题意；③当﹣1＜m≤0时，则0＜m+1≤2，f（x）＝m有两个不同的实数解，f（x）＝m+1有一个实数解，符合题意；④当0＜m≤2时，则1＜m+1≤3，f（x）＝m有一个实数解，f（x）＝m+1至多有一个实数解，不符合题意，综上，m的取值范围为[﹣1，0]．22．设函数f（x）＝sin（2x）+2cos2x﹣1（x∈R）．（1）若f（α），α∈[0，]，求角α；（2）若不等式[f（x）]2+2acos（2x）﹣2a﹣2＜0对任意x∈（，）时恒成立，求实数a应满足的条件；（3）将函数f（x）的图像向左平移个单位，然后保持图像上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数g（x）的图像，若存在非零常数λ，对任意x∈R，有g（x+λ）＝λg（x）成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）由题意可知，，∴，∴或，∵，∴或；（2），令，∴，，令，∴2a≥﹣1，解得：，即实数a应满足的条件是a∈[）；（3）∵，∴f（x）的图像向左平移个单位，横坐标变为原来的，可得，∵，存在非零常数λ，对任意的x∈R，g（x+λ）＝λg（x）成立