江苏省常州市2021年中考数学一模试卷（ 含答案）

2021年江苏省常州市中考数学一模试卷

一、选择题（本题包括8小题，共16分.每小题只有一个选项符合题意.请将正确答案前的

序号按对应的题号填写在答题卡上）

1.（3分）-8的绝对值是（）

A.-8B.8C.±8D.-A

8

2.（3分）下列说法正确的是（）

A.一组数据2,2,3,4,这组数据的中位数是2

B.了解一批灯泡的使用寿命的情况，适合抽样调查

C.小明的三次数学成绩是126分，130分，136分，则小明这三次成绩的平均数是131

分

D.某日最高气温是7C,最低气温是-2℃,则该日气温的极差是5c

3.（3分）下列运算正确的是（）

A.a2*a3=a6B.a2-a{=zaC.（a2）3=tz6D.a84-«2=a4

4.（3分）如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列方式中Na与N0互余的是（）

5.（3分）已知一元二次方程/+履-3=0有一个根为1,则A的值为（）

A.-2B.2C.-4D.4

6.（3分）若a<b,则下列结论不一定成立的是（）

A.a-l<b-1B.2a<2bC.D.a2<b2

33

7.（3分）如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169,小正方形的面积

A.WB.C.J—D.-J—

13131313

8.（3分）如图，正方形ABC。中，点尸是BC边上一点，连接4凡以A尸为对角线作正方

形AEFG,边FG与正方形ABCD的对角线AC相交于点”，连接。G.以下四个结论：

@ZEAB=ZGAD；②△AFCS^AGD；③24片=4，乂（7；@DG1AC.其中正确的个数

二、填空题（每题2分，共20分）

9.（2分）一个正数的平方根分别是x+1和x-5,则》=.

10.（2分）计算T--二^的结果是

m2-111-m2

11.（2分）为贯彻落实党中央关于推进城乡义务教育一体化发展的部署，有关部门近年来

共新建、改扩建校舍186000000平方米，其中数据186000000用科学记数法表示

是.

12.（2分）如图，在中国象棋的残局上建立平面直角坐标系，如果“相”和“兵”的坐标

分别是（3,-1）和（-3,1）,那么“卒”的坐标为.

14.（2分）若,徵+_1=3,则机2+_1_=____.

mm2

15.（2分）已知的半径为10即，AB,C。是。。的两条弦，AB//CD,AB^\6cm,CD

=\2cm,则弦AB和CD之间的距离是cm.

16.（2分）如图，在平行四边形ABC。中，AB<AD,ZD=30°,CD=4,以AB为直径

的。。交BC于点E,则阴影部分的面积为

17.（2分）如图，在AABC中，AB=3,AC=6,将aABC绕点C按逆时针方向旋转得到

18.（2分）如图，正方形ABCD的边长为10,点A的坐标为（-8,0）,点3在），轴上，

若反比例函数y=K（左W0）的图象过点C,则该反比例函数的解析式

X

三、解答题（共11小题，满分76分）

19.（2分）计算：--018+iy-2|+tan60°-（TT-3.14）°+（A）-2.

2

20.（2分）先化简，再求值：（a-2b）（a+2b）-（a-2b）2+Sb2,其中a=-2,工.

2

21.（8分）先化简，再求值上+—在--（二_+1）,其中x是不等式组

x2-lX2+2X+1X-1

‘5x-3>3（x+l）

<113的整数解.

|万x-l<9亍

22.（8分）如图，在平行四边形ABCO中，OB=D4,点尸是AB的中点，连接。尸并延长,

交CB的延长线于点E,连接AE.

（1）求证：四边形AEBO是菱形；

（2）若。tanZDCB=3,求菱形AEBQ的面积.

D

23.（8分）“安全教育平台”是中国教育学会为方便家长和学生参与安全知识活动、接受安

全提醒的一种应用软件.某校为了了解家长和学生参与“防溺水教育”的情况，在本校

学生中随机抽取部分学生作调查，把收集的数据分为以下4类情形：

A.仅学生自己参与；

B.家长和学生一起参与；

C.仅家长自己参与；

（1）在这次抽样调查中，共调查了名学生；

（2）补全条形统计图，并在扇形统计图中计算C类所对应扇形的圆心角的度数；

（3）根据抽样调查结果，估计该校2000名学生中“家长和学生都未参与”的人数.

24.（8分）如图，在正方形方格中，阴影部分是涂黑3个小正方形所形成的图案.

（1）如果将一粒米随机地抛在这个正方形方格上，那么米粒落在阴影部分的概率是多

少？

（2）现将方格内空白的小正方形（A,B,C,D,E,F）中任取2个涂黑，得到新图案.请

用列表或画树状图的方法求新图案是轴对称图形的概率.

25.（8分）某超市预测某饮料有发展前途，用1600元购进一批饮料，面市后果然供不应求,

又用6000元购进这批饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元.

(1)第一批饮料进货单价多少元？

(2)若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于1200元，那么销

售单价至少为多少元？

26.(8分)图1是一种折叠门，由上下轨道和两扇长宽相等的活页门组成，整个活页门的

右轴固定在门框上，通过推动左侧活页门开关；图2是其俯视图简化示意图，已知轨道

AB=120c〃?，两扇活页门的宽OC=O2=60c/n,点8固定，当点C在A8上左右运动时,

OC与OB的长度不变(所有结果保留小数点后一位).

(1)若NOBC=50°,求AC的长;

(2)当点C从点A向右运动60C/T?时，求点O在此过程中运动的路径长.

(参考数据:sin50°-0.77,cos50°«0.64,tan50°-1.19,IT取3.14)

27.(8分)如果三角形的两个内角a与p满足a-0=90°,那么我们称这样的三角形为“准

互余三角形”.

(1)若△ABC是“准互余三角形"，NA>90°,NB=20°,求/C的度数；

(2)如图①，在RtZVIBC中，NB4C=90°,AB=4,BC=5,点力是BC延长线上一

点.若是“准互余三角形”，求C。的长；

(3)如图②，在四边形ABCD中，AC,3。是对角线，AC=4,CD=5,NBAC=90°,

ZACD^2ZABC,且△BCD是“准互余三角形”，求8。的长.

图①图②

28.（8分）如图，在矩形ABC。中，AB=6cm,BC=\2cm,点P从点A出发沿A8以Icm/s

的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿8C以2cm/s的速度向点C移动.设运动

时间为f秒.

（1）当f=2时，△0P0的面积为cm2；

（2）在运动过程中△OP。的面积能否为26cm2?如果能，求出/的值，若不能，请说明

理由；

（3）运动过程中，当A、P、Q、。四点恰好在同一个圆上时，求r的值;

（4）运动过程中，当以。为圆心，。尸为半径的圆，与矩形ABC。的边共有4个交点时,

备用图

29.（8分）如图，抛物线y=/+fer+c与x轴交于A（-1,0）,B（3,0）两点，过点A的

直线/交抛物线于点C（2,机）.

（1）求抛物线的解析式.

（2）点尸是线段AC上一个动点，过点尸作x轴的垂线交抛物线于点E,求线段PE最

大时点尸的坐标.

（3）点F是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点。，使得以点A,C,D,尸为顶点的

四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点。的坐标；如果不存在,

2021年江苏省常州市中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本题包括8小题，共16分.每小题只有一个选项符合题意.请将正确答案前的

序号按对应的题号填写在答题卡上）

1.（3分）-8的绝对值是（）

A.-8B.8C.±8D.-A

8

【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解.第一步列出绝对值的表达式；第二步根

据绝对值定义去掉这个绝对值的符号.

【解答】解：Y-gVO,，|-8|=8.

故选：B.

2.（3分）下列说法正确的是（）

A.一组数据2,2,3,4,这组数据的中位数是2

B.了解一批灯泡的使用寿命的情况，适合抽样调查

C.小明的三次数学成绩是126分，130分，136分，则小明这三次成绩的平均数是131

分

D.某日最高气温是7℃,最低气温是-2℃,则该日气温的极差是5℃

【分析】直接利用中位数的定义以及抽样调查的意义和平均数的求法、极差的定义分别

分析得出答案.

【解答】解：A、一组数据2,2,3,4,这组数据的中位数是2.5,故此选项错误；

8、了解一批灯泡的使用寿命的情况，适合抽样调查，正确；

C、小明的三次数学成绩是126分，130分，136分，则小明这三次成绩的平均数是1302

3

分，故此选项错误；

D、某日最高气温是7℃,最低气温是-2℃,该日气温的极差是7-（-2）=9℃,故此

选项错误；

故选：B.

3.（3分）下列运算正确的是（）

A./・〃3=〃6B.a2-ay=aC.（/）3=〃6D,ci^-^a1=a4

【分析】直接利用同底数器的乘除运算法则以及基的乘方运算法则分别计算得出答案.

【解答】解：A.故A选项错误；

bJ与3不是同类项，不能合并，故B选项错误;

C.（/）3=小，故C选项正确；

D.心+/="6,故。选项错误，

故选：C.

4.（3分）如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列方式中Na与互余的是（）

【分析】根据平角的定义，同角的余角相等，等角的补角相等和邻补角的定义对各小题

分析判断即可得解.

【解答】解：图①，Za+Zp=180°-90°=90°,互余；

图②，根据同角的余角相等，Za=Zp：

图③，根据等角的补角相等/a=N。；

图④，Za+Zp=180°,互补.

故选：A.

5.（3分）己知一元二次方程7+丘-3=0有一个根为1,则出的值为（）

A.-2B.2C.-4D.4

【分析】根据一元二次方程的解的定义，把把x=l代入方程得关于％的一次方程1-3+Z

=0,然后解一次方程即可.

【解答】解：把x=l代入方程得1+~3=0,

解得k—2.

故选：B.

6.（3分）若则下列结论不一定成立的是（）

A.a-\<b-1B.2a<2bC.D.

33

【分析】通过不等式的基本性质逐项判断求解.

【解答】解:A,'：a<b,

・・・a-IVb-1正确，A不符合题意.

B,•:aVb,

/.2a<2b正确，B不符合题意.

C,•:a〈b,

.•.包〈上正确，C不符合题意.

33

D,当aVh<0时，〃2>匕2,故。选项不正确，符合题意.

故选：D.

7.（3分）如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169,小正方形的面积

为49,贝！Jsina-cosa=()

B.-A-c.J—D.-J—

131313

【分析】分别求出大正方形和小正方形的边长，再利用勾股定理列式求出AC,然后根据

正弦和余弦的定义即可求sina和cosa的值，进而可求出sina-cosa的值.

【解答】解：•••小正方形面积为49,大正方形面积为169,

二小正方形的边长是7,大正方形的边长是13,

在RtZ\A2C中，AC2+BC2=AB2,

即At%（7+AC）2=132,

整理得，ACSHAC-60=0,

解得AC=5,AC=-12（舍去），

ABC=VAB2-AC2=12,

•••sina=^^=-5-，cosa=—=—,

AB13AB13

5197

/.sina-cosa=-^--

131313

故选：D.

问

B

8.（3分）如图，正方形ABC。中，点尸是BC边上一点，连接4凡以A尸为对角线作正方

形AEFG,边FG与正方形A8CO的对角线AC相交于点儿连接。G.以下四个结论：

®ZEAB=ZGAD；②△AFCSAAGD；③2AE2=A4.AC：®DG±AC.其中正确的个数

C.3个D.4个

【分析】①由正方形A8CD与正方形AEFG,得到/E4G=NBAO=90°,根据等式的

基本性质确定出/E4B=NGA£＞；

②再根据正方形的对角线等于边长的加倍，得到两边对应成比例，再根据角度的相减得

到夹角相等，利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可判断；

③根据两角相等的两个三角形相似得到三角形HAF与三角形ACF相似，相似得比例，

根据代换即可作出判断；

④由相似三角形对应角相等得到乙4OG=NAC尸=45°,可得出。G在正方形A8CD对

角线8。上，根据正方形对角线垂直即可作出判断.

【解答】解：①•••四边形AEFG和四边形ABCO均为正方形，

...NEAG=NBAD=90°,

又；NE4B=90°-ZBAG,NGA£>=90°-ZBAG,

：.ZEAB=ZGAD,

选项①正确；

②；四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形,

：.AD=DC,AG=FG,

.\AC=V2AD-AF=y/2AG,

:.也=也,更=&,即蛆=空，

ADAGADAG

又ZDAG+ZGAC=ZFAC+ZGAC,

J.ZDAG^ZCAF,

，△AFC^AAGD,

选项②正确；

③；四边形AEFG和四边形ABC。均为正方形，AF、AC为对角线，

AZAFH=ZACF=45°,

又*：4FAH=4CAF,

:.XHAFs/XFAC,

2

AAF=AC（upAF=AC*AH,

AHAF

又，:AF=y[^E,

：.2AE1=AH'AC,

选项③正确；

④由②知△AFCS^AG。，

又：四边形ABC。为正方形，AC为对角线，

AZADG=ZACF=45°,

：.DG在正方形另外一条对角线上，

：.DG±AC,

...④正确，

故选：D.

二、填空题（每题2分，共20分）

9.（2分）一个正数的平方根分别是x+1和x-5,则尸2.

【分析】根据正数的两个平方根互为相反数列出关于x的方程，解之可得.

【解答】解：根据题意知x+1+x-5=0,

解得:x=2,

故答案为：2.

10.（2分）计算的结果是二」.

m2-l1-m2-m-l-

【分析】根据分式的运算法则即可求出答案.

【解答】解：原式=_、+Y—

m2-11m2-11

=1

m-1

故答案为：_J_

m-1

11.（2分）为贯彻落实党中央关于推进城乡义务教育一体化发展的部署，有关部门近年来

共新建、改扩建校舍186000000平方米，其中数据186000000用科学记数法表示是1.86

X1Q8.

【分析】科学记数法的表示形式为“X10”的形式，其中lW|a|<10,n为整数.确定n

的值时，要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相

同.当原数绝对值210时，”是正数；当原数的绝对值<1时，”是负数.

【解答】解：186000000=1.86X1（）8,

故答案为：1.86X1（）8.

12.（2分）如图，在中国象棋的残局上建立平面直角坐标系，如果“相”和“兵”的坐标

分别是（3,-1）和（-3,1）,那么“卒”的坐标为（-2,-租.

【分析】首先根据“相”和“兵”的坐标确定原点位置，然后建立坐标系，进而可得“卒”

的坐标.

【解答】解：“卒”的坐标为（-2,-2）,

故答案为：（-2,-2）.

13.（2分）分解因式：3加3-18，「2"+27，"”2=°.

【分析】先提取公因式3相，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解.

【解答】解：3w3-18/??2n+27mn2,

=3m（"[2-6加〃+9〃2）,

=3"?（m-3〃）2.

故答案为：Cm-3/?）2

14.（2分）若加+工=3,则m2+_1_=7.

m2

111m

【分析】把已知等式两边平方，利用完全平方公式化简，即可求出所求.

【解答】解：把m+工=3两边平方得：（m+工）2=旭2+」-+2=9,

mmm2

则/H2+-^-=7,

2

m

故答案为：7

15.（2分）已知。。的半径为IOCOT,AB,CD是00的两条弦，AB//CD,AB^\6cm,CD

=12cm,则弦AB和CD之间的距离是2或14cm.

【分析】分两种情况进行讨论：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；

作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可，小心别漏解.

【解答】解：①当弦A8和8在圆心同侧时，如图，

AB=\6cm,CD=12c/n,

/.AE=Scm,CF=6cm,

u：OA=OC=Wctn,

；・EO=6cm,0F=8cm,

/.EF=OF-OE=2cm；

②当弦A8和C。在圆心异侧时，如图，

*/AB=16cm,CD=12cm,

••AF，=Sc//ifCE=6cm,

・・・0A=0C=l(k，a

/.0F=6cm,0E=80%,

1・EF=OF+OE=14cm.

：.AB与CD之间的距离为14c?"或2cm.

故答案为：2或14.

16.（2分）如图，在平行四边形ABC。中，AB<AD,/。=30°,CD=4,以AB为直径

的。。交于点E,则阴影部分的面积为—国兀

3

【分析】连接半径和弦AE,根据直径所对的圆周角是直角得：NAEB=90°,可得AE

和8E的长，所以图中弓形的面积为扇形OBE的面积与△OBE面积的差，因为OA=O8,

所以AOBE的面积是△ABE面积的一半，可得结论.

【解答】解：连接。£、AE,

是。0的直径，

AZAEB=90°,

四边形ABCD是平行四边形，

：.AB=CD=4,ZB=ZD=30°,

：.AE=lAB=2f5£=^42_22=2^3,

•：OA=OB=OE,

：・NB=NOEB=30°,

：.ZBOE=\2O0,

:・S阴影=S扇形。BE-S^BOEt

二120冗X22-^yAE-BE-

~~360

4K1r-

=亏一1X2X2在，

17.（2分）如图，在△ABC中，AB=3,AC=6,将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到

△A1B1C,使CBi〃A£>,分别延长AB、C4相交于点£>,则线段8。的长为9.

【分析】利用平行线的性质以及旋转的性质得出△CAQsABMC,再利用相似三角形的

性质得出AD的长，进而得出BD的长.

【解答】解：•..将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△481C,

.'.AC=CAi—6,AB—B\A]—3,ZA—ZCA\B],

'：CB\//AB,

：.ZBiCA\=ZD,

A△ABiAiC,

.CA_AD

AjBjAJC

•••6~AD>

36

解得A£)=12,

：.BD=AD-AB=U-3^9.

故答案为：9.

18.（2分）如图，正方形ABC。的边长为10,点A的坐标为（-8,0）,点8在），轴上,

若反比例函数y=K（AW0）的图象过点C,则该反比例函数的解析式为y=」2.

xx

【分析】过点C作CE_Ly轴于E,由“A4S”可证△A80好△BCE,可得CE=OB=6,

BE=4O=8,可求点C坐标，即可求解.

【解答】解：如图，过点C作CELy轴于E,

,/四边形ABCD是正方形，

：.AB=BC=\O,ZABC=90°,

••0B='配2_人。2=V100-64=6>

；NABC=NAOB=90°,

：.ZABO+ZCBE=W°,NABO+/BAO=90°,

：.4BA0=NCBE,

又；NAOB=NBEC=90°,

:.△AB0Q4BCE(AAS),

：.CE=0B=6,BE=A0=8,

：.0E=2,

.•.点C(6,2),

：反比例函数y=K(A¥0)的图象过点C,

X

・・・Z=6X2=12,

.•.反比例函数的解析式为y=」2,

X

故答案为：>=丝.

X

三、解答题(共U小题，满分76分)

19.(2分)计算：-12O18+|V3-2|+tan60°-(it-3.14)°+(-1)-2.

2

【分析】先计算乘方、去绝对值符号、代入三角函数值、计算零指数幕、负整数指数幕,

再计算加减即可得.

【解答】解：原式=-1+2-A/3+VS-1+4

=4.

20.(2分)先化简，再求值：(a-2b)(a+2b)-(a-2b)2+Sb2,其中a=-2,

2

【分析】原式利用平方差公式，以及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把a

与〃的值代入计算即可求出值.

【解答】解：原式=/-4/?2--4廿+8庐=4。/?,

当a=-2,8=2■时，原式=-4.

2

21.（8分）先化简，再求值车-+--（二一+1）,其中x是不等式组

x-1x+2x+lx-1

‘5x-3>3（x+l）

<1/3的整数解.

-X-l<9--x

【分析】原式利用除法法则变形，约分后计算得到最简结果，求出X的值，代入计算即

可求出值.

【解答】解：原式=---仃_.（X+1）2-1+x-l^x+l_上=，，

（x+l）（x-l）x-3x-1x-1x-lx-1

不等式组解得：3Vx<5,即整数解x=4,

则原式=」.

3

22.（8分）如图，在平行四边形ABCO中，OB=D4,点尸是4B的中点，连接。尸并延长,

交C8的延长线于点E,连接AE.

（1）求证：四边形A£BQ是菱形；

（2）若。。=百5，tan/DCB=3,求菱形AEBO的面积.

【分析】（1）由△AFC之△BFE,推出A£»=8E,可知四边形AE8。是平行四边形，再根

据BO=A£>可得结论；

（2）解直角三角形求出EF的长即可解决问题；

【解答】（1）证明：•••四边形4BCO是平行四边形，

J.AD//CE,

；.NDAF=/EBF,

■:NAFD=NEFB,AF=FB,

：./\AF哈ABFE,

：.AD=EB,'：AD//EB,

四边形AEBZ）是平行四边形，

'：BD=AD,

...四边形AEB。是菱形.

(2)解：..•四边形ABC。是平行四边形，

：.CD=AB=-J-iO,AB//CD,

：.NABE=ZDCB,

/.tanZABE=tanZDCB=3,

・・•四边形AEBO是菱形，

：.AB±DE,AF=FB,EF=DF,

/.tanZABE=里1=3,

BF

2

:.EF=&百瓦

2

DE=3y10,

•'-S^KAEBD——,AB'DE=—*-/1O*3VTO=15.

22

23.（8分）“安全教育平台”是中国教育学会为方便家长和学生参与安全知识活动、接受安

全提醒的一种应用软件.某校为了了解家长和学生参与“防溺水教育”的情况，在本校

学生中随机抽取部分学生作调查，把收集的数据分为以下4类情形：

A.仅学生自己参与；

B.家长和学生一起参与；

C.仅家长自己参与；

D.家长和学生都未参与.

请根据图中提供的信息，解答下列问题：

（1）在这次抽样调查中，共调查了400名学生:

（2）补全条形统计图，并在扇形统计图中计算C类所对应扇形的圆心角的度数；

（3）根据抽样调查结果，估计该校2000名学生中“家长和学生都未参与”的人数.

【分析】（1）根据A类别人数及其所占百分比可得总人数；

（2）总人数减去A、C、。三个类别人数求得B的人数即可补全条形图，再用360°乘

以C类别人数占被调查人数的比例可得；

（3）用总人数乘以样本中。类别人数所占比例可得.

【解答】解：（1）本次调查的总人数为80・20%=400人，

故答案为：400；

(2)B类别人数为400-(80+60+20)=240,

“情疑形统计图

*黑=54。；

（3）估计该校2000名学生中“家长和学生都未参与”的人数为2000义工上=100人.

400

24.（8分）如图，在正方形方格中，阴影部分是涂黑3个小正方形所形成的图案.

(I)如果将一粒米随机地抛在这个正方形方格上，那么米粒落在阴影部分的概率是多

少？

(2)现将方格内空白的小正方形(A,B,C,D,E,F)中任取2个涂黑，得到新图案.请

用列表或画树状图的方法求新图案是轴对称图形的概率.

【分析】(1)直接利用概率公式计算可得；

(2)列表得出所有等可能结果，从中找到新图案是轴对称图形的结果数，利用概率公式

计算可得.

【解答】解：(1)•••正方形网格被等分成9等份，其中阴影部分面积占其中的3份，

米粒落在阴影部分的概率是旦=工；

93

(2)列表如下:

ABcDEF

A(B,A)(C,A)(D,A)(E,A)(F,A)

B(4,B)(C,B)(D,B)(E,B)(凡B)

C(A,C)(B,C)(D,C)(E,C)(F,C)

D(A,£»(B,D)(C,D)(E,£»(F,D)

E(4,E)(B,E)(C,E)(O,E)(凡E)

F(A,F)(B,F)(C,F)(D,F)(E,F)

由表可知，共有30种等可能结果，其中是轴对称图形的有10种,

故新图案是轴对称图形的概率为四=工.

303

25.(8分)某超市预测某饮料有发展前途，用1600元购进一批饮料，面市后果然供不应求,

又用6000元购进这批饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元.

(1)第一批饮料进货单价多少元？

(2)若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于1200元，那么销

售单价至少为多少元？

【分析】（1）设第一批饮料进货单价为x元，则第二批饮料进货单价为（x+2）元，根据

单价=总价+单价结合第二批饮料的数量是第一批的3倍，即可得出关于x的分式方程,

解之经检验后即可得出结论：

（2）设销售单价为m元，根据获利不少于1200元，即可得出关于山的一元一次不等式,

解之取其最小值即可得出结论.

【解答】解：（1）设第一批饮料进货单价为x元，则第二批饮料进货单价为（x+2）元，

根据题意得：3・侬2_=也叫，

xx+2

解得：x—8,

经检验，x=8是分式方程的解.

答：第一批饮料进货单价为8元.

（2）设销售单价为〃7元，

根据题意得：200（m-8）+600Cm-10）N1200,

解得：

答：销售单价至少为11元.

26.（8分）图1是一种折叠门，由上下轨道和两扇长宽相等的活页门组成，整个活页门的

右轴固定在门框上，通过推动左侧活页门开关；图2是其俯视图简化示意图，已知轨道

AB^nOcm,两扇活页门的宽OC=O8=60cm,点8固定，当点C在AB上左右运动时,

OC与OB的长度不变（所有结果保留小数点后一位）.

（1）若/O8C=50°,求AC的长；

（2）当点C从点A向右运动60cm时，求点O在此过程中运动的路径长.

数据：sin50°^0.77,cos500氏0.64,tan50°^1.19,n取3.14)

O

1图1

图2

【分析】（1）作OHLAB于“，利用锐角三角函数即可求出4c的长;

(2)根据题意证明aOBC是等边三角形，可得点O在此过程中运动的路径长即为半径

为OB,圆心角为60度的弧长.

【解答】解：(1)如图，作O”_LAB于//,

:.CH=BH,

在无△。8”中，

：cosNOBC=&,

OB

：.BH=OB-cos50°«=60X0.64=38.4(cm),

：.AC=AB-2BH七120-2X38.4=43.2(cm),

的长约为43.2CM；

(2)\'AC=60cm,

•\BC=60cm,

a

：OC=OB=60cmf

：.OC=OB=BC=60cm,

.♦.△03C是等边三角形，

二半径为OB,圆心角为60度的弧长=毁工*&=20X3.14=62.8(cM,

180

.•.点O在此过程中运动的路径长约为62.8cm.

27.(8分)如果三角形的两个内角a与0满足a-0=90°,那么我们称这样的三角形为“准

互余三角形”.

(1)若△ABC是“准互余三角形"，ZA>90°,ZB=20°,求NC的度数；

(2)如图①，在RtZ\A8C中，/84C=90°,AB=4,BC=5,点。是BC延长线上一

点.若△ABO是“准互余三角形”，求C。的长；

(3)如图②，在四边形A8CD中，AC,8。是对角线，AC=4,CD=5,NBAC=90°,

ZACD=2ZABC,且△BC。是“准互余三角形”，求8。的长.

D

A

BC

图①图②

【分析】(1)由“准互余三角形”定义可求解；

(2)由勾股定理可求AC=3,分两种情况讨论，由等腰三角形的性质和相似三角形的性

质可求解；

(3)如图，将△ABC沿BC翻折得到△EBC,可得CE=AC=4,NBCA=NBCE,NCBA

=NCBE,ZE=ZBAC=9Q0,通过证明可求BE=6,由勾股定理可

求解.

【解答】解：(1),••△ABC是“准互余三角形”,NA>90°,ZB=20°,

若NA-/B=90°,则/A=110°,

AZC=180°-110°-20°=50°,

若NA-ZC=90",

VZA+Zfi+ZC=180°,

，NC=35°；

(2)VZBAC=90°,AB=4,BC=5,

AC=A/BC^-AB2=^25-16=3>

•••△A8O是“准互余三角形”，

：.ZBAD-ZB=90°,或NBA。-NA£>B=90°,

当/BAO-/4DB=90°,

：.ZBAC+ZCAD-ZADB=90°,

：.ZCAD=ZADB,

.•.AC=CZ)=3,

当/BAD-NB=90°,

AZBAC+ZCAD-ZB=90°,

：.ZB=ZCAD,

,：ZADC^ZBDA,

/\ADC^/\BDA,

•CDADAC

"AD"BD'AB"

•CD=AD=3.

'•而=CD+5N

:.8=至；

7

(3)如图，将△ABC沿BC翻折得到△EBC,

D

：.CE=AC=4,NBCA=NBCE,ZCBA=ZCBE,NE=N8AC=90°,

.,.NA8E+NACE=180°,

NAC£>=2/ABC=ZABE,

：.ZACD+ZACE=\SOa,

点。，点C,点E三点共线，

,/ZBCD^ZACD+ZACB^2ZABC+ZACB=90°+/ABC,

：.ZBCD-ZABC=90°,

♦.♦△BCD是“准互余三角形”，

J.ZBCD-ZCDfi=90°,

；.90°+NABC-NCDB=90°,

NCDB=/ABC=NEBC,

又•：/E=/E,

:.△CEBsLBED,

•CEBE

^BE=ED，

即/胆，

BE9

：.BE=6,

=

BD~yjBE2+£)g2—A/36+813^/13-

28.（8分）如图，在矩形ABC力中，AB=6cm,8C=12CT??,点P从点A出发沿A8以Icvn/s

的速度向点B移动；同时，点。从点8出发沿8c以2cm/s的速度向点C移动.设运动

时.间为，秒.

(1)当f=2时，△4)。的面积为28。点；

(2)在运动过程中△OPQ的面积能否为26C〃?2?如果能，求出，的值，若不能，请说明

理由；

(3)运动过程中，当A、P、Q、。四点恰好在同一个圆上时，求r的值；

(4)运动过程中，当以。为圆心，。尸为半径的圆，与矩形ABC。的边共有4个交点时，

直接写出f的取值范围.

D-------CD,--------C

-----'BA'---------'B

备用图

【分析】(1)由矩形的性质得出AD=BC=\2,CD=AB=6,NA=/B=/C=90°,

由题意得出AP=2,BQ=4,BP=AB-AP=4,CQ=BC-BQ=S,由矩形的面积减去三

个直角三角形的面积，即可得出答案；

(2)由矩形的面积减去三个直角三角形的面积得出方程，解方程即可；

(3)证出4、P、。三点在以。P为直径的圆上，由圆周角定理得出NPQO=90°,由

勾股定理得出方程，解方程即可；

(4)求出。。与边相切时r的值，再求出OQ过点。时f的值，即可得出答案.

【解答】解：(1)•四边形ABC。是矩形，

：.AD=BC=12,CD=AB=6,乙4=NB=NC=90°,

由题意得：AP=t,BQ=2t,

：.BP=AB-AP=6-t,CQ=BC-BQ=12-23

当f=2时，AP=2,BQ=4,B