河北省沧州盐山中学2024届高一数学第二学期期末学业质量监测试题含解析

河北省沧州盐山中学2024届高一数学第二学期期末学业质量监测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知，实数、满足关系式，若对于任意给定的，当在上变化时，的最小值为，则（）A． B． C． D．2．设函数，则满足的的取值范围是（）A． B． C． D．3．向量，，若，则（）A．5 B． C． D．4．在等差数列中,已知=2,=16,则为()A．8 B．128 C．28 D．145．的三内角所对的边分别为，若，则角的大小是（）A． B． C． D．6．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱全面积与侧面积的比为（）A． B． C． D．7．记为实数中的最大数.若实数满足则的最大值为（）A． B．1 C． D．8．下列函数中，既是偶函数又在上是单调递减的是A． B． C． D．9．下面的程序运行后，输出的值是（）A．90 B．29 C．13 D．5410．若实数满足约束条件，则的最大值是（）A． B．0 C．1 D．2二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．如图，在直四棱柱中，，，，分别为的中点，平面平面.给出以下几个说法：①；②直线与的夹角为；③与平面所成的角为；④平面内存在直线与平行.其中正确命题的序号是__________.12．已知无穷等比数列的前项和，其中为常数，则________13．如图，在四面体A－BCD中，已知棱AC的长为，其余各棱长都为1，则二面角A－CD－B的平面角的余弦值为________.14．已知，，，则的最小值为__________．15．的最大值为______.16．等比数列中前n项和为，且，，，则项数n为____________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．平面四边形中,.(1)若,求;(2)设,若,求面积的最大值.18．等差数列的前项和为，数列是等比数列，满足，，，，.（1）求数列和的通项公式；（2）令，求数列的前项和.19．已知函数.(1)求的最小正周期和最大值；(2)求在上的单调区间20．已知圆过点，且与圆关于直线：对称．（1）求圆的标准方程；（2）设为圆上的一个动点，求的最小值．21．已知点，，均在圆上.（1）求圆的方程；（2）若直线与圆相交于,两点，求的长；（3）设过点的直线与圆相交于、两点，试问：是否存在直线，使得恰好平分的外接圆？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解题分析】

先计算出，然后利用基本不等式可得出的值.【题目详解】，由基本不等式得，当且仅当时，由于，即当时，等号成立，因此，，故选：A.【题目点拨】本题考查极限的计算，考查利用基本不等式求最值，解题的关键就是利用数列的极限计算出带的表达式，并利用基本不等式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.2、C【解题分析】

利用特殊值，对选项进行排除，由此得到正确选项.【题目详解】当时，，由此排除D选项.当时，，由此排除B选项.当时，，由此排除A选项.综上所述，本小题选C.【题目点拨】本小题主要考查分段函数求值，考查利用特殊值法解选择题，属于基础题.3、A【解题分析】

由已知等式求出，再根据模的坐标运算计算出模．【题目详解】由得，解得．∴，，．故选：A．【题目点拨】本题考查求向量的模，考查向量的数量积，及模的坐标运算．掌握数量积和模的坐标表示是解题基础．4、D【解题分析】

将已知条件转化为的形式列方程组，解方程组求得，进而求得的值.【题目详解】依题意，解得，故.故选：D.【题目点拨】本小题主要考查等差数列通项的基本量计算，属于基础题.5、C【解题分析】

将进行整理，反凑余弦定理，即可得到角.【题目详解】因为即故可得又故.故选：C.【题目点拨】本题考查余弦定理的变形，属基础题.6、A【解题分析】解：设圆柱底面积半径为r，则高为2πr，全面积：侧面积=[（2πr）2+2πr2]：（2πr）2这个圆柱全面积与侧面积的比为,故选A7、B【解题分析】

先利用判别式法求出|x|,|y|,|z|的取值范围，再判断得解.【题目详解】因为，所以，整理得：，解得，所以，同理，.故选B【题目点拨】本题主要考查新定义和判别式法求范围，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.8、B【解题分析】

可先确定奇偶性，再确定单调性．【题目详解】由题意A、B、C三个函数都是偶函数，D不是偶函数也不是奇函数，排除D，A中在上不单调，C中在是递增，只有B中函数在上递减．故选B．【题目点拨】本题考查函数的奇偶性与单调性，解题时可分别确定函数的这两个性质．9、D【解题分析】

根据程序语言的作用，模拟程序的运行结果，即可得到答案．【题目详解】模拟程序的运行，可得，执行循环体，，执行循环体，，执行循环体，，执行循环体，，退出循环，输出的值为1．故选：D．【题目点拨】本题考查利用模拟程序执行过程求输出结果，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题．10、C【解题分析】

由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标代入目标函数即可得解.【题目详解】作出可行域如图，设，联立，则，，当直线经过点时，截距取得最小值，取得最大值.故选：C【题目点拨】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、①③.【解题分析】

利用线面平行的性质定理可判断①；利用平行线的性质可得直线与的夹角等于直线与所成的角，在中即可判断②；与平面所成的角即为与平面所成的角可判断③；根据直线与平面的位置关系可判断④；【题目详解】对于①，由，平面平面，则，又，所以，故①正确；对于②，连接，由，即直线与的夹角等于直线与所成的角，在中，，显然直线与的夹角不为，故②不正确；对于③，与平面所成的角即为与平面所成的角，根据三棱柱为直棱柱可知为与平面所成的角，在梯形中，，，，可解得与平面所成的角为，故③正确；对于④，由于与平面相交，故平面内不存在与平行的直线.故答案为：①③【题目点拨】本题是一道立体几何题目，考查了线面平行的性质定理，求线面角以及直线与平面之间的位置关系，属于中档题.12、1【解题分析】

根据等比数列的前项和公式，求得，再结合极限的运算，即可求解.【题目详解】由题意，等比数列前项和公式，可得，又由，所以，所以，可得.故答案为：.【题目点拨】本题主要考查了等比数列的前项和公式的应用，以及熟练的极限的计算，其中解答中根据等比数列的前项和公式，求得的值，结合极限的运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.13、【解题分析】如图，取中点，中点，连接，由题可知，边长均为1，则，中，，则，得，所以二面角的平面角即，在中，，则，所以．点睛：本题采用几何法去找二面角，再进行求解．利用二面角的定义：公共边上任取一点，在两个面内分别作公共边的垂线，两垂线的夹角就是二面角的平面角，找到二面角的平面角，再求出对应三角形的三边，利用余弦定理求解（本题中刚好为直角三角形）．14、8【解题分析】由题意可得：则的最小值为.当且仅当时等号成立.点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．15、3【解题分析】

由余弦型函数的值域可求得整个函数的值域，进而得到最大值.【题目详解】，即故答案为：【题目点拨】本题考查含余弦型函数的值域的求解问题，关键是明确在自变量无范围限制时，余弦型函数的值域为.16、6【解题分析】

利用等比数列求和公式求得，再利用通项公式求解n即可【题目详解】，代入，，得，又，得．故答案为：6【题目点拨】本题考查等比数列的通项公式及求和公式的基本量计算，熟记公式准确计算是关键，是基础题三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解题分析】

(1)法一：在中，利用余弦定理即可得到的长度；法二：在中，由正弦定理可求得，再利用正弦定理即可得到的长度；（2）在中，使用正弦定理可知是等边三角形或直角三角形，分两种情况分别找出面积表达式计算最大值即可.【题目详解】（1）法一：中，由余弦定理得，即，解得或舍去，所以.法二：中，由正弦定理得，即.解得，故，.由正弦定理得，即，解得.（2）中，由正弦定理及，可得，即或，即或.是等边三角形或直角三角形.中，设，由正弦定理得.若是等边三角形，则.∵当时，面积的最大值为；若是直角三角形，则.当时，面积的最大值为；综上所述，面积的最大值为.【题目点拨】本题主要考查正弦定理，余弦定理，面积公式，三角函数最值的相关应用，综合性强，意在考查学生的计算能力，转化能力，分析三角形的形状并讨论是解决本题的关键.18、（1），；（2）【解题分析】

（1）由是等差数列，，，可求出，由是等比数列，，，，可求出；（2）将和的通项公式代入，则，利用裂项相消求和法可求出.【题目详解】(1)，，，解得.又，，.（2）由（1），得【题目点拨】本题考查了等差数列和等比数列的通项公式的求法，考查了用裂项相消求数列的前项和，属于中档题．19、（1）f(x)的最小正周期为π，最大值为；（2）f(x)在上单调递增；在上单调递减．【解题分析】

（1）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和最值求得的最小正周期和最大值．（2）根据，利用正弦函数的单调性，即可求得在上的单调区间．【题目详解】解：（1）函数，即故函数的周期为，最大值为．（2）当时，，故当时，即时，为增函数；当时，即时，为减函数；即函数在上单调递增；在上单调递减．【题目点拨】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和最值，正弦函数的单调性，属于中档题．20、（1）；（2）.【解题分析】

试题分析：（1）两个圆关于直线对称，那么就是半径相等，圆心关于直线对称，利用斜率相乘等于和中点在直线上建立方程，解方程组求出圆心坐标，同时求得圆的半径，由此求得圆的标准方程；（2）设，则，代入化简得，利用三角换元，设，所以.试题解析：（1）设圆心，则，解得，则圆的方程为，将点的坐标代入得，故圆的方程为．（2）设，则，且，令，∴，故的最小值为-1．考点：直线与圆的位置关系，向量．21、（1）；（2）；（3）存在，和.【解题分析】

（1）根据圆心在，的中垂线上，设圆心的坐标为，根据求出的值，从而可得结果；（2）利用点到直线的距离公式以及勾股定理可得结果；（3）首先验证直线的斜率不存在时符合题意，然后斜率存在时，设出直线方程，与圆的方程联立，利用韦达定理，根据列方程求解即