高考数学复习重难点06 函数与导数（原卷版）-2021年高考数学(新高考)

重难点06函数与导数

【高考考试趋势】

在新高考全国卷的考点中，导数板块常常作为压轴题的形式出现，这块部分的试题难度呈现非减的态

势，因此若想高考中数学拿高分的同学，都必须拿下导数这块的内容。函数单调性的讨论、零点问题和不

等式恒成立的相关问题（包含不等式证明和由不等式恒成立求参数取值范围）是出题频率最高的。

对于导数内容，其关键在于把握好导数，其关键在于把握好导数的几何意义即切线的斜率，这一基本

概念和关系，在此基础上，引申出函数的单调性与导函数的关系，以及函数极值的概念求解和极值与最值

的关系以及最值的求解。本专题选取了有代表性的选择，填空题与解答题，通过本专题的学习熟悉常规导

数题目的思路解析与解题套路，从而在以后的导数题目中能够快速得到导数问题的得分技巧。

【知识点分析及满分技巧】

对于导数的各类题型都是万变不离其宗，要掌握住导数的集中核心题型，即函数的极值问题，函数的

单调性的判定。因为函数零点问题可转化为极值点问题，函数恒成立与存在性问题可以转化为函数的最值

问题，函数不等式证明一般转化为函数单调性和最值求解，而函数的极值和最值是由函数的单调性来确定

的。所以函数导数部分的重点核心就是函数的单调性。

对于函数零点问题贴别是分段函数零点问题是常考题型，数形结合是最快捷的方法，在此方法中应学

会用导数的大小去判断原函数的单调区间，进而去求出对应的极值点与最值。

恒成立与存在性问题也是伴随着导数经典题型，对于选择题来说，恒成立选择小题可以采用排除法与

特殊值法相结合的验证方法能够比较快捷准确得到答案，对于填空以及大题则采用对函数进行求导，从而

判定出函数的最值。

函数的极值类问题是解答题中的一个重难点，对于非常规函数，超出一般解方程的范畴类题目则采用

特殊值验证法，特殊值一般情况下是0,1等特殊数字进行验证求解。

对于比较复杂的导数题目，一般需要二次求导，但是要注意导数大小与原函数之间的关系，搞清楚导

数与原函数的关系是解决此类题目的关键所在。

含参不等式证明问题也是一种重难点题型，对于此类题型应采取的方法是:

1、双变量常见解题思路:

1、双变量化为单变量一寻找两变量的等量关系；2、转化为构造新函数；

2、含参不等式常见解题思路：

1、参数分离；2、通过运算化简消参（化简或不等关系）；3、将参数看成未知数，通过它的单调关

系来进行消参。

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一、单选题

1.（2021•湖南株洲市•高三一模）区块链作为一种革新的技术，已经被应用于许多领域.在区块链技术

中，若密码的长度设定为256比特，则密码一共有2申种可能；因此，为了破解密码，最坏情况需要进行

2”6次运算.现在有一台机器，每秒能进行2.5x10"次运算，假设机器一直正常运转，那么在最坏情况下

这台机器破译密码所需时间大约为（）（参考数据：Ig2"°3°l0）

A.4.5x10"秒B.4.5X10”秒c.4.5x10"秒口.2.8x107秒

z]\-0.3

=rb=log,-c=lg-

2.（2019•天津高三其他模拟）设<3；,一3,2,则凡ac的大小关系为（

）

A.b<a<cB.c<b<ac.b<c<aD.a

3.（2020•开原市第二高级中学高三三模）已知函数/GA?"-。+3,若叫e（-1,1）,f（xo）=O

，则实数。的取值范围是（）

A（-»,-3）u（l,+oo）B（-oo,-l）U（3,+oo）

(Tl)（T3）

C.D.

x2+4a,x>0

5.（2019•天津高三其他模拟）已知函数11+1°8/'一"'"<°（。>°且"Hl）在R上单调递

增，且关于X的方程l/（x）tx+3恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（）

r13...A3.-133♦__14

A.4416B.4416C.416D.4^^16

6.（2020•四川泸州市•高三一模（理））定义在R上的函数/（X）满足〃2+x）=/（x）,

/（2-x）=/（x）,当时，f（x）=x\则函数“x）的图象与g（x）=|M的图象的交点个数为（

）

A.3B.4C.5D.6

7.（2020•江西高三其他模拟（理））已知函数/（“）nEx,若对任意的花o2G（0，+8）,都有

[/&）-小）]（片-考）>左配+动恒成立，则实数A的最大值是（）

A.-1B.0C.1D.2

8.（2020•江西高三其他模拟（文））已知函数f（x）是定义域为A的奇函数，且当水0时，函数

/（x）=W+1,若关于*的函数,⑴=[/（x）f-（a+l）/（x）+"恰有2个零点，则实数a的取值范围

为（）

A.1°°，1一jB（-oo,-l）U（l,+co）

c.〔7D.STU[M）

二、多选题

9.（2020•扬州大学附属中学东部分校高三月考）设/（X）为函数/（X）的导函数，已知

x2f'（x）+xf（x）=\nx'⑴-5,则下列结论不正确的是（

)

A.犷（“）在（°，+8）单调递增B.犷（X）在（1，+8）单调递增

C.力（X）在（°，+00）上有极大值5D.切（X）在（°，+功上有极小值5

10.（2020•山东济宁市•高三其他模拟）定义在夫上的偶函数/㈤满足/G+2）=-"X）

,且在

［一.。］上是减函数，下面关于‘（“）的判断正确的是（）

A./（°）是函数的最小值B.'（X）的图像关于点°,°）对称

C./（x）在R,可上是增函数I）./（X）的图像关于直线2对称.

12.（2020•河南新乡市•高三一一模（理））已知函数/（“）是定义域在R上的奇函数，当“‘（一8，0］

x

时，/（x）=x-2+7M；则/（1）=.

13.（2020•四川宜宾市•高三一模（理））已知函数/G）=xe、—"（x+lnx）（e为自然对数的底数）有

两个不同零点，则实数。的取值范围是.

f（x）=x+—

14.（2020•上海闵行区•高三一模）已知函数》,给出下列命题：

①存在实数。，使得函数/J\）J\j为奇函数；

②对任意实数。，均存在实数加，使得函数>=/（x）+/（x-"）关于》=阳对称；

③若对任意非零实数。，/（x）+/（x—""”都成立，则实数%的取值范围为S'"］；

④存在实数%,使得函数丁=/（、）+/（”一“）—后对任意非零实数。均存在6个零点.

其中的真命题是.（写出所有真命题的序号）

四、解答题

f（x）=axaInx（«>0）

15.（2020•河南开封市•高三一模（理））已知函数

（1）当”=1时，求曲线'=/（*）在x=e处的切线方程；

（2）若对于任意的》＞1都成立，求a的最大值.

16.（2020•辽宁葫芦岛市•高三月考）已知函数/（x）=xln（ax）-e-"（a《R,且awO,e为自然对

数的底）.

（1）求函数/I）的单调区间.

rz\In（2121

g（zxx）=/（x）+---（0+co）---7+—＞一

（2）若函数e在"，十j有零点，证明：。+1eae.

17.（2020•江西高三其他模拟（理））已知函数/（X）=团，'+（加+2）产-2%，m＞Q

（1）当〃z=l时，求/（X）的极值；

⑵当〃,£1时，求函数g（x）=—/（x）+4e=x极大值M"）的最小值.