不等式专题基本不等式求最值的6种常用方法

PAGE1基本不等式求最值的6种常用方法知识梳理一、基本不等式常用的结论1、如果，那么（当且仅当时取等号“=”）推论：（）2、如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.推论：（，）；3、二、利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.三、利用基本不等式求最值的方法1、直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系2、配凑法：凑出“和为定值”或“积为定值”，直接使用基本不等式。3、代换法：代换法适用于条件最值中，出现分式的情况类型1：分母为单项式，利用“1”的代换运算，也称乘“1”法；类型2：分母为多项式时方法1：观察法适合与简单型，可以让两个分母相加看是否与给的分子型成倍数关系；方法2：待定系数法，适用于所有的形式，如分母为与，分子为，设∴，解得：4、消元法：当题目中的变元比较多的时候，可以考虑削减变元，转化为双变量或者单变量问题。5、构造不等式法：寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值。常考题型题型精析题型一直接法求最值【例1】已知．则的最小值为A．6B．5C．4D．3【答案】A【解析】，则，当且仅当即时取得最小值6．选：．【变式1-1】已知正数满足，则的最大值（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为正数满足，所以有，当且仅当时取等号，故选：B【变式1-2】已知，，若，则的最大值为（）．A．B．C．D．1【答案】A【解析】，当且仅当，即，时，等号成立．故选：A．【变式1-3】已知，则的最小值是（）A．1B．4C．7D．【答案】C【解析】∵，∴当且仅当时等号成立.故选：C【变式1-4】已知，，且满足，则的最大值为__________.【答案】3【解析】因为，，且满足，则当且仅当时取等号，所以的最大值为3.【变式1-5】已知实数m，n满足，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，则，当且仅当时取等号，此时的最大值为.故选：D.【变式1-6】若，，，则的最小值为（）A．8B．10C．4D．6【答案】C【解析】，当且仅当时取等号，，当且仅当时取等号.故选：C.【变式1-7】若a，b，c均为正实数，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为a，b均为正实数，则，当且仅当，且，即时取等号，则的最大值为．故选：A．题型二配凑法求最值【例2-1】若函数在处取最小值，则（）A．B．C．D．【答案】【解析】等号当且仅当时，即时取到等号.【例2-2】设，求函数的最大值。【答案】【解析】∵∴∴当且仅当即时等号成立【变式2-1】已知，则的最大值为________．【答案】1【解析】因为，所以，则,当且仅当，即时，取等号．故的最大值为1.【变式2-2】已知实数，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，则，则，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值是.故选：A.【变式2-3】设，则的最小值是（）A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】,当且仅当和，即时取等号，故选：D.【变式2-4】设，则的最小值为（）A．B．C．4D．【答案】A【解析】，，，当且仅当，即时取等号故选：A题型三消元法求最值【例3】已知正实数，满足，则的最大值为______.【答案】【解析】依题意正实数，满足，，，当且仅当，时等号成立.【变式3-1】已知正数x，y满足，则的最小值是（）A．1B．3C．6D．12【答案】B【解析】∵，∴，∴，当且仅当，即时取等号，故选：B.【变式3-2】设正实数、、满足，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为正实数、、满足，则，则，当且仅当时取等号.故的最大值为1.故选：C.【变式3-3】设正实数满足，则当取得最小值时，的最大值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】当且仅当时成立，因此所以时等号成立．故选：C．【变式3-4】已知，则的最小值是（）A．14B．C．8D．【答案】A【解析】因为，则，于是得，当且仅当，即时取“=”，所以当时，取最小值14.故选：A题型四乘“1”法求最值【例4】已知，，，求的最小值.【答案】2【解析】，，当且仅当时，等号成立当时，的最小值为2.【变式4-1】已知，，且，则最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题知，，当且仅当，即，时，等号成立，故选：B【变式4-2】若正数，满足，则的最小值为A．B．C．5D．6【答案】【解析】由得，，当且仅当时取等号．故的最小值是【变式4-3】已知，且，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，可得，又由，可得，当且仅当时，即时，等号成立，所以，即的最大值为.故选：D.【变式4-4】已知正数a，b满足，则的最小值等于（）A．4B．C．8D．9【答案】D【解析】因为，所以，所以，所以，当且仅当，即时等式成立，故选：D．题型五简化分母换元法求最值【例5】已知，，且，则的最小值为（）A．9B．10C．11D．【答案】A【解析】，，又，且，，当且仅当，解得，时等号成立，故的最小值为9，故选：A．【变式5-1】设为正数，且，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由可得，当且仅当时成立，故选：A【变式5-2】已知正实数满足，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，因为，所以，因为，所以，因此，因为是正实数，所以，当且仅当时取等号，即时取等号，即时取等号，故选：A【变式5-3】设均为正实数，且，则的最小值为（）A．8B．16C．9D．6【答案】A【解析】因为均为正实数，所以，当且仅当，即时取等号.因此的最小值为.故选：A.【变式5-4】实数a，b满足，，，则的最小值是（）A．4B．6C．D．【答案】D【解析】令，，则，，且，，，所以，当且仅当时取等号.故选：D.【变式5-5】已知，，且，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以，因为，，所以，得，所以，记，所以，所以，且，所以，当且仅当即等号成立，此时，.故选：A.题型六构造不等式法求最值【例6】若实数满足，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，又，，令，则，，即，当且仅当时，取等号，的取值范围是，．故选：A．【变式6-1】已知，且，则的最小值为（）A．4B．6C．9D．12【答案】B【解析】由，得，又因为，所以，即，解得或，又，