推理与证明专题练习15题集

推理与证明专题练习15题集【题文1】甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师成语竞赛的成绩.老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，贝以）乙可以知道四人的成绩 B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩 D.乙、丁可以知道自己的成绩【题文2】如图，有一个六边形的点阵，它的中心是1个点（算第1层），第2层每边有2个点，第3层每边有3个点 依此类推，如果一个六边形点阵共有169个点，那么它的层数为（）6 B.7 C.8 D.9【题文3】已知｛Or»｝为等差数列，«1010=5,«1+++...4-02019=5x2019.若｛6„｝为等比数列，61010=5,贝I]｛如｝类似的结论是（）A.饥+处+如+...+如购=5x2019 B.如顷月…但=5x2019C.S+/>2+如+...+&2019=52IHU D.S勿勿...&2010=5部”【题文4】下列使用类比推理正确的是（）“平面内平行于同一直线的两直线平行"类比推出“空间中平行于同一平面的两直线平行”“若工+上=2,则x2+1=2"类比推出“若工—上=2,则普_==2”X X1 X X2“实数。，b,C满足运算（ab）c=a（bc）"类比推出“平面向量廿，片，F满足运算Ca-T）r=廿（片./）"d.“正方形的内切圆切于各边的中点”类比推出“正方体的内切球切于各面的中心”【题文5】某著名风景区有“妙笔生花”“猴子观海”“仙人晒靴”“美人梳妆”“阳关三叠”和“禅心向天”六个景点，为方便游人游览，景区提示如下：⑴只有先游“猴子观海”，才能游“妙笔生花”；⑵只有先游“阳光三叠”，才能游“仙人晒靴”；（3） 如果游“美人梳妆”，就要先游“妙笔生花”；（4） “禅心向天"应第四个游览，之后才可游览“仙人哂靴”.某同学按照上述提示，顺利游览了上述六个景点，则下列表述一定错误的是（）A,第一个游览“猴子观海” B.第二个游览“阳关三叠”C.第三个游览“美人梳妆” D.第五个游览“妙笔生花”【题文6】设实数-如,6=v/3-1t-应,贝U（）A.c<a<b B.a<b<c C.c<b<a D.b<a<c【题文7】分析法又称执果索因法，已知x>o,用分析法证明时，索的因是（）A.x2>1 B.x2>4 C.x2>0 D.x2>1【题文8】用反证法证明“至少存在一个实数为，使3">0成立”时，假设正确的是（）A.至少存在两个实数使3r">0成立 B.至多存在一个实数为，使3">0成立C.不存在实数囱，使3r">0成立 D.任意实数z,3T>0恒成立【题文9】用数学归纳法证明1一§+?+•••+厂二一4=-17+土+.・・+二，则当”=k+l时，2342n-12nn+1n4-2 2n左端应在n=k的基础上加上■J R! rJ!n1.12k+2 2k+2 2A;+1'2k+'2 2A;+12Ar+2【题文10】设/⑴是定义在正整数集上的函数，且/⑴满足：“当心"成立时，总可推出/佐+1）7住+项成立"•那么，下列命题总成立的是（）若/（1）<1成立,则/（10）<100成立若/（2）<4成立，则/⑴91成立若/（3）>9成立，则当Q1时,均有f（k）>fc2成立若/⑷925成立，则当"4时，均有/（盼N矽成立【题文11】《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙木•得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟•”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：2^|=\房，3辱禺瘫=促，5腐=鹿，…，则按照以上规律,若8辱聘具有“穿墙术",则«=【题文12】二维空间中，圆的一维测度（周长），=2打，二维测度（面积）S=m，2：三维空间中，球的二维测度（表面枳）S=4e・2,三维测度（体积=0就应用合情推理，若四维空间中，“特级球”的三维测度V=12^,则其四维测度IV=.【题文13】在某班举行的成人典礼上，甲、乙、丙三名同学中的一人获得了礼物.甲说：“礼物不在我这”；乙说：“礼物在我这”；丙说：“礼物不在乙处”.如果三人中只有一人说的是真的，请问（填“甲”、"乙”或“丙”）获得了礼物.【题文14】一种计算装置，有一个数据输入IIA和一个运算结果输出IIB,执行的运算程序是：当从AII输入自然数1时，从方II输出实数;，记为，(1)=；;当从AII输入自然数n(n2)时，在B「I得到的结果六冗)是前一结果f(n-1)的斜三倍.⑴求/(2),/⑶的值；⑵归纳猜想/(”，)的表达式，并证明；n(3)求£/(，：).<=1【题文15】⑴已知o<d<1,o<6<no<c<i,用分析法证明：:,?:+ v1I+ab4-be+ca⑵己知Hc>(),汕+阮+8>0且〃加>。，用反证法证明：u,b，C都大于零.推理与证明专题练习15题集答案【参考答案】D【试题解析】【分析】木题考查了合情推理的问题，关键掌握四人所知只有I'l己看到，老师所说及最后甲说话，属于中档题.根据四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，继而可以推出正确答案.【解答】解：甲不知自己的成绩一乙丙必有一优一良，(若为两优，甲会知道自己的成绩：若是两良，甲也会知道自己的成绩);T乙看到了丙的成绩，乙没有说不知道I'l己的成绩，假定丙是优，则乙是良，乙就知道IT己成绩；一甲、丁也为一优一良，丁看到甲成绩，假定甲是优，则丁是良，丁肯定知道H己的成绩了.故选D.【参考答案】C【试题解析】【分析】本题考查归纳推理和等圣数列求和，考查推理能力和计算能力，属于一般题.设一个点阵有戒“22皿球十)层,则共有的点数为3n2-3u+l,III题意得3”2—：孙+1=169.所以n=8.【解答】解：由题意知，第1层的点数为1,第2层的点数为6.第3层的点数为2x6,第4层的点数为3x6,第5层的点数为4x6 第n(n》2,eNQ层的点数为6(n-1).设一个点阵有以”22,neN*)层，则共有的点数为1+6+6X2+...+6(n-1)=1+°*一】)x(n-1)=3n2一3m-I-1，£由题意得3“2一3n+1=169,即(n+7)・(n-8)=0.所以n=8,n=-7(舍去)，故共有8层.故选c.【参考答案】D【试题解析】【分析】木题考查类比推理的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意等差数列与等比数列的通项公式的合理运用.根据等差数列与等比数列通项的性质，结合类比的规则，ill类比规律得出结论即可.【解答】解：在等差数列｛。"｝中，令S=Qi+%+..•+@2019，则S=G2D19+。浏18+•..+Q1所以2S=(ai+02019)+(。2+02018)+..•+(aa(H9+。1)=2019(。1+0-2Q19)=2019x2«]()10=10x2019,所以S= +..・+。2。19=5X2019・故相应的在等比数列｛幻｝中,令T=6也…虹=蜘.…如119.则T=顷9临$..・加,所以脖=但临g）（也临8）...（临山）=（杆010严°，所以7=byb2…如="2...如洒=（«>IOlO）2n19=52019・故选D.【参考答案】D【试题解析】【分析】本题考查类比推理，线面、线线的位置关系，一元二次方程，向是积，内切圆等，属于基础题.利用平行于平面的直线的性质、一元二次方程、向携的数虽积、正方体的内切球的性质直接求解.【解答】解：在A中，空间中平行于同一平面的两立线平行、相交或异而，故A错误：在B中，若r-l=2,则x2-1=4x/2或/—4=—4防，故B错误：在。中，平面向虽:云，片，£不满足运算（a=^（T-r）,故c借误；在。中，“正方形的内切圆切于各边的中点”类比推出“正方体的内切球切于务面的中心”，故d正确.故选D.【参考答案】D【试题解析】解：先整理题干信息，可知:123 45 6裤心向天猴子观海<妙笔生花<美人梳妆：阳关三叠V仙人晒靴：禅心向天⑷〈仙人晒靴.依据③可知，5、6其中一个必然是仙人晒靴.若。为乾则位置6必然是美人梳妆，这与题干信息相矛盾,故D为假.故选：I）.对题干信息进行整理，得到基础的先后顺序，然后进行选项验证即可.木题考查了基木的逻辑推理能力，要求学生能够分析出基木的顺序，并确定不可能的情况.属于基础题目.【参考答案】A【试题解析】【分析】木题主要考查利用分析法证明不等式.【解答】解：要证明灰-匹<.住\、只需证明\/5+1<2\/3-两边平方，可得6+2店<12，只需证明，\/5<3•两边平方，得5<9成立，所以a<b成立，要证明\/7-\/5<^5-\/3•只需证明\/7+\/3<2x/5，两边平方，可得10+2府<20，只需证明，\/2f<5>两边平方，得21<25成立，所以c<«成立，故选A.【参考答案】C【试题解析】【分析】本题主要考查用分析法证明，属基础题.利用分析法进行证明，即可得到“索的因”.【解答】解：因为工>0,所以1+言>0,所以要证明vTT坯<1+言，需证明1+i<1+z+W，4只需证0V#,4只需证明下2>(),w>0时，显然成立，所以原不等式成立.所以用分析法证明/厂程v1+言时，索的因是/>0.故选C.【参考答案】C【试题解析】【分析】本题主要考查了反证法原理的应用，属于基础题.根据反证法的原理可直接判断得到结果.【解答】解：反证法证明即只需证明该命题的否定命题，巾题意可知，“至少存在一个”的否定是“不存在任意实数”即“至少存在一个实数囱，使；如>0成立”的否定命题为“不存在实数而，使3'">。成立”故选C.【参考答案】c【试题解析】【分析】本题考查的知识点是数学归纳法.数学归纳法常用来证明一个与I'l然数集N相关的性质，属于基础题.其步骤为：设”3，)是关于自然数门的命题，若1)(奠基)P(n)在n=l时成立：2)(归纳)在P(k)(k为任意自然数)成立的假设下可以推出P(k+1)成立，则尸(功对一切自然数门都成立.【解答】当“=+1时，不等式左边二1 + +...H- + !—T J 2342k-12k'2k4-1212比较可知：增加了土一心故选C.【参考答案】D【试题解析】【分析】本题考查证明与推理，基础题“当成立时，总可推出/侬+1)事化+1)2成立”是一种递推关系，前一个数成立，后一个数一定成立，反之不一定成立.【解答】解：对A，因为“原命题成立，否命题不一定成立”，所以若/(1)<1成立，则不一定/(10)<100成立：对因为“原命题成立，则逆否命题一定成立”，所以只能得出：若；(2)<4成立，则/(I)<1成立，不能得出：若/(2)<4成立，则/⑴21成立：对C,当k=1或2时,不一定有〃成立：对〃，•./(4)225216,对于任意的"4,均有六眼炒成立.故选D.参考答案】63【试题解析】【分析】本题考查归纳推理，属于中档题.由特殊到一般找规律进而得出8寿二聘，可得/?.=82-1=63.【解答】解：2清=2山宫=房3膺=3度^=属5虐=5^^=届则按照以上规律|||8仍=或§，可得=82-1=63.【参考答案】3刁【试题解析】解：二维空间中，圆的面积S=m、2的导数s，=2”=圆周长心，三维空间中，球的体积导数V1=Irr2=球的表面积S,由此类比，可以求得四维空间中，“特级球”"的导数=V=12-r3•所以W=3?rr4•故答案为W=3?rr4.本题考查类比推理，和初级求导.二维空间中，圆的面积S=打户的导数S'=2希、=L，三维空间中，球的体积导数V= =5»由此类比,可以求得四维空间中,II•的导数好，=『=12打3，

所以v=37rr4.木题考查类比推理，初级求导，属于基础题目.【参考答案】甲【试题解析】【分析】木题考查进行简单的合情推理，考查学生分析解决问题的能力，利用反证法，即可得出结论.【解答】解：假设甲说的是真话，则礼物不在乙这，则丙说的也是真话，不成立：假设乙说的是真话，则甲说的也是真话，不成立：故丙说的是真话，甲获得了礼物，故答案为甲.2〃一3TOC\o"1-5"\h\z【参考答案】解：(1)由题意可知= >2,I1.顼2)7(3)2x2-3.顼2)7(3)—x—2x2+13152x3-3 1 1x~~•2x3+11535⑵山/⑴=卜白"⑵=异击，川)=屏嘉归纳猜想/(«)=(2”-J(2n+1)；f(n)_2n一3/f(n-l)=2n+l.他幽加)_1/上 —3••/(?)7(2)*'7(n-l)"579…后T'.加)— 3•”⑴一伽-1)伽+1)'珀"=(2?i-1)(271+1).(3)/(n)=(2—J(2”+1)W(上T-於T)「•#仞=如4)+『!)+扫)+-・+(法1-危71)】=孑1-湛印=房1【试题解析】2〃一3III题意可知/(»)= 7/