实验报告简谐振动的研究

实验报告姓名：张伟楠班级：F0703028学号：5070309108实验成绩：同组姓名：边杨实验日期：指导教师：批阅日期：简谐振动的研究【实验目的】观察简谐振动的现象；测定弹簧的倔强系数；测定振动周期T随振子质量变化的情况；学习使用气垫导轨、焦利氏秤和计时仪器；测定弹簧的有效质量【实验原理】1、胡克定律在弹性限度内，弹簧的伸长量x与其所受的拉力F成正比，这就是胡克定律：比例系数k称为弹簧的倔强系数．在本实验中k可以由焦利氏秤测得。2、弹簧振子的简谐运动方程本实验中所用的是倔强系数分别为k1和k2的弹簧，k1和k2分别由焦利氏秤测得．k1和k2联结在一个质量为M的物体上，它们在光滑的水平气垫导轨上作简谐振动，弹簧的另外两端是固定在气垫导轨上．记M的平衡位置为坐标原点，该点x=0．如果忽略阻尼和弹簧质量，那么当M距平衡位置为x时，只受弹性恢复力k1x和k2x的作用，根据牛顿第二定律，其运动方程为：方程的解为：其中是振动系统的固有角频率，A是振幅，j0是初位相．w0由系统本身决定，也称固有频率，A和f0由初始条件决定．系统的固有周期本实验通过改变M测出相应的T，用以考察T与M的关系．3、弹簧质量的影响当弹簧的质量不可忽略时，振子的有效质量为振动物体的质量与弹簧有效质量的和，振动系统的角频率可记作m0实验要求测定弹簧的倔强系数，并测定振动周期T随振子质量和振幅m变化的情况。4、简谐振动的机械能k=mvmax2由此计算弹性系数。【实验数据记录、实验结果计算】利用焦利氏秤测量弹簧的倔强系数砝码质量/g05.1110.0815.0820.0725.2245.15LL弹簧14.495.606.667.738.809.9114.15弹簧210.9213.0815.2717.4119.5921.8630.56弹簧313.6815.8017.8719.9322.0524.1932.53由k=mg作1号弹簧的L2关于m的图像：LinearRegressionforData1_B:Y=A+B*XParameter Value Error------------------------------------------------------------A 4.50311 0.00584B 0.21389 2.63837E-4------------------------------------------------------------R SD N P------------------------------------------------------------1 0.0097 7 <0.0001------------------------------------------------------------转换单位有：B得k1作弹簧2的L2关于mLinearRegressionforData1_B:Y=A+B*XParameter Value Error------------------------------------------------------------A 10.87357 0.01838B 0.43555 8.29908E-4------------------------------------------------------------R SD N P------------------------------------------------------------0.99999 0.0305 7 <0.0001------------------------------------------------------------转换单位有：B得k2作弹簧3的的L2关于mLinearRegressionforData1_B:Y=A+B*XParameter Value Error------------------------------------------------------------A 13.66211 0.0102B 0.41766 4.6082E-4------------------------------------------------------------R SD N P------------------------------------------------------------1 0.01694 7 <0.0001------------------------------------------------------------转换单位有：B得k3=2.35振子质量M与振动周期T的关系◆气垫导轨水平情况：号数123456振子质量M/g168.09173.11178.03183.08188.11193.0610个周期10T/ms10389.610525.810656.010787.110919.111045.1折合一周期的平方/s1.079441.107921.135501.163621.192271.21994由简谐振动的周期公式：可得M=做M关于T2LinearRegressionforDATA1_B:Y=A+B*XParameter Value Error------------------------------------------------------------A -23.8557 0.28672B 177.80393 0.24915------------------------------------------------------------R SD N P------------------------------------------------------------1 0.02929 6 <0.0001------------------------------------------------------------直线斜率为177.8557〔g/s2有K=由1中测得的数据：有k相对误差为：2.767%◆气垫导轨倾斜情况号数123456振子质量M/g168.09173.11178.03183.08188.11193.0610个周期10T/ms10387.010521.010651.810783.910914.811041.2折合一周期的平方/s1.0788981.1069141.1346081.1629251.1913291.219081由简谐振动的周期公式：可得M=做M关于T2LinearRegressionforData1_B:Y=A+B*XParameter Value Error------------------------------------------------------------A -23.9565 0.14842B 178.01894 0.12907------------------------------------------------------------R SD N P------------------------------------------------------------1 0.01516 6 <0.0001------------------------------------------------------------直线斜率为178.01894〔g/s2有K=由1中测得的数据：有k相对误差为：2.90%◆比照实验测得的弹簧有效质量和理论有效质量号数123弹簧质量/g5.4410.5610.83理论有效质量/g1.813.523.611中测得的弹簧倔强系数/N/m4.582.252.35可得弹簧1、2的有效总质量M=5.33g设振子质量为M，弹簧1、2的有效质量为M有公式：k所以，在T2与振子质量M的关系图中，-M在上面的关系图中，截距为A=-23.9565所以实验测得的弹簧有效质量为：M0 与理论值的相对误差为349.5%〔这个巨大误差将在后面具体讨论〕振幅与周期的关系号数123456振幅A/cm5.0010.0015.0020.0025.0030.0010T/ms10386.710387.010388.810390.310390.710387.2作振幅与周期的关系图：LinearRegressionthroughoriginforDATA1_B:Y=B*XParameter Value Error------------------------------------------------------------A 0 --B 0.04795 0.01046------------------------------------------------------------R SD N P------------------------------------------------------------0.46088 0.49897 6 <0.0001------------------------------------------------------------LinearRegressionforDATA1_B:Y=A+B*XParameter Value Error------------------------------------------------------------A 1.03869 1.61766E-4B 8.62857E-6 8.30756E-6------------------------------------------------------------R SD N P------------------------------------------------------------0.46088 1.73765E-4 6 0.35763------------------------------------------------------------不过原点的直线拟合斜率为8.62857E-6s/cm相关系数r=0.46088。振幅与振子最大速度的关系实验中选用的滑块质量m0挡光片间隔∆l=10.02±0.02mm号数123456振幅A/cm5.0010.0015.0020.0025.0030.00振幅的平方A2/0.0025000.010000.022500.040000.062500.09000挡光时间间隔∆t/ms33.6817.1111.388.546.815.67算得的最大速度vm0.29750.58560.88041.171.471.76最大速度的平方v0.088500.34290.77511.3692.16113.10作振幅平方与最大速度平方的关系图：LinearRegressionthroughoriginforDATA1_B:Y=B*XParameter Value Error------------------------------------------------------------A 0 --B 34.45582 0.04633------------------------------------------------------------R SD N P------------------------------------------------------------0.99999 0.00552 6 <0.0001------------------------------------------------------------直线斜率B=34.45582〔s-2相关系数r=0.99999由此可得弹簧的倔强系数K=由1中测得的数据：有k相对误差为2.90%弹簧并联测量周期用电子天平测量弹簧的质量：号数123弹簧质量/g5.4410.5610.831中测得的弹簧倔强系数/N/m4.582.252.35情况1：振子左边是弹簧2，右边是弹簧1测得10T1算得T1情况2:振子左边是弹簧2和3并联，右边是弹簧1测得10T2算得T2可得T由上面的倔强数据可得k相对误差为0.37%【对实验结果中的现象或问题进行分析、讨论以及感想】对测量弹簧的有效质量的误差分析在测量系统振子质量与周期平方的关系后，接着做了弹簧的有效质量的计算，详情请见第8页。可得弹簧1、2的有效总质量M=5.33g由电子天平直接测量并计算得到的弹簧1、2的有效总质量为M=5.33g，然而有实际的T2~M关系图的截距得出弹簧的有效质量为23.96g，这使得我的实验结果与理论结果的相对误差看到这个数据，我感到非常的惊奇，毕竟我在这次实验中的感觉是很好的，几次线性拟合的相关系数都在0.99999以上，然而在这里的误差是不可想象的。就其原因，应该归结为：弹簧相对于振子的质量实在太小，振子周期的测量的微小偏移都会导致直线在M轴上的截距大大变化。所以导致如此大的误差。不过我还是觉得可能是我自己理论计算的问题，因为这个误差毕竟太大了，但是检查了半天也没检查出那里的公式推倒错了，于是只好作罢。在测量振幅与周期的过程中，我的到了一系列几乎平行于横轴的点，过这些点的直线拟合的斜率为8.62857E-6，我认为其实这样已经能比拟充分地说明在谐振中，周期与振幅没有关系的这一结论了。然而，观察到其周期随着振幅的增长还是有微小的增长。分析其原因，是由于空气阻力的原因。振幅越大，那么振子的最大速度也就越快，那么受到的空气阻力也就越大，甚至增长速度大于v的增长速度，所以，振幅越大，导致空气阻力对振动周期的时间延长越大。所以表现为周期随着振幅的增长而有所增长的现象，然而，毕竟空气阻力远远小于弹簧的弹力，这也是我们能做成功这个实验的前提。实验里要用到的一个常量就是重力加速度g，但是实验室并没有明确给出重力加速度的大小，于是自己取了9.80ms最后