落体东偏与南偏问题的讨论

落体东偏与南偏问题的讨论

在北半球，河流右岸的磨损比左岸严重，单行线轨道的右侧明显磨损。地表附近寒冷天气向南流动的空气不是北风，而是东北风。空气中的气流和海洋中的洋流是逆时针旋转的，这是地球自转的现象。落体偏离竖直方向、傅科摆面顺时针旋转,也是地球自转的结果。在普通物理教学中可以利用惯性力对上述现象做较深入的讨论。1尹力和科里奥利1.1体转体非惯性参考系牛顿定律成立的参考系叫惯性参考系,不成立的叫非惯性参考系。为了在非惯性参考系中形式地应用牛顿第二定律,必须引入惯性力。如图1所示,匀速转动的转盘是非惯性参考系,设质量为m物体静止在匀速转动的转盘上随转盘一起运动。相对于惯性参考系(地面),牛顿第二定律给出ƒs+mω2r=0式,而物体相对于非惯性参考系(转盘)静止,若还要套用牛顿第二定律,则必须认为物体除了受静摩擦力ƒs以外,还受到一个惯性力Fi和它平衡,应该有ƒs+Fi=0。比较以上二式有惯性力Fi=mω2r,Fi的方向与r的方向相同,即沿着圆半径向外,因此称为惯性离心力。1.2惯性力fc的建立在转动参考系中运动的物体,除了有惯性离心力外,还有科里奥利力。设在以角速度ω转动的水平圆盘上,沿同一半径上有A、B两人,A以相对于圆盘的速度v′沿半径方向向B抛出一个小球(见图2)。在非惯性参考系(转盘)中,B看到球并不是沿直线到达自己,而是向球运动前方的右侧偏,落在B′点。这样B认为球在具有径向初速度v′的同时还具有了垂直于这个方向向右的加速度a′,由于该方向上没有真实力的作用,因而B认为球受到了一个垂直于速度v′的惯性力Fc。这种由于转动参考系中各点的线速度不同而产生加速度的现象叫科里奥利现象,产生此效应的虚拟的惯性力叫科里奥利力。在转动参考系中(见图3),球从A到达B的时间是Δt′=rA−rBv′Δt′=rA-rBv′,若令vtA和vtB是球在A点和B点时的切向速度,则球在该段时间里球偏离AB直线的距离BB=(vtA-vtB)Δt′=ω(rA-rB)Δt′=v′ω(Δt′)2,若认为向右的加速度为a′,还有BB´=12a′(Δt′)2´=12a′(Δt′)2。比较以上二式有:a′=2v′ω。由牛顿第二定律得科里奥利力的大小为Fc=ma′=2mv′ωsinϕ(式中的ϕ是v′与ω间小于180。的夹角),则科里奥利力的矢量式为F⃗c=2m(v⃗′×ω⃗)F→c=2m(v→′×ω→)。2落体东偏与南偏地球自转角速度ω=7.29×10-2秒-1,是非惯性参考系,相对于地球运动的物体都受相应的惯性离心力和科里奥利力作用。在北半球,自由落体相对于竖直方向发生东偏的现象,是有关科里奥利力的一个生动的实例。关于落体东偏问题,已有专家从理论力学出发作了精辟、透彻和细致的分析,有初等解说,有近似解,还有精确解。所得结论表明,在北半球,落体不仅有东偏,还有更小的南偏。在转动的非惯性系中作近似计算,得出地球角速度ω的一级近似结果是:东偏:y=ω38h3g−−−√y=ω38h3gcosϕ;南偏:x=ω2h23gx=ω2h23gsinϕ。更精确地计算ω3量级时,南偏仍在ω2量级,而东偏有-ω3量级的修正:东偏:y=ω38h3g−−−√cosϕ−4ω3h215g2hg−−√y=ω38h3gcosϕ-4ω3h215g2hgcosϕ;南偏:x=ω2h23gsin2ϕx=ω2h23gsin2ϕ。3直角坐标系的建立地球上的运动物体所受的科里奥利力表现为地球自转偏向力。设在北半球地面纬度为Ф的O点,有一质量为m的物体从高度h自由下落,时刻t相对于地球的速度为v′。在O点建立如图4所示的直角坐标系。Ox轴沿经线向南,Oy轴沿纬线向东,Oz轴垂直于地平面指向天顶,地球自转角速度ω方向竖直向上。以地球作非惯性参考系,物体受三个力的作用,地球给物体的万有引力FG、由于地球自转而作用在物体上的离心力Fi和科里奥利力Fc。3.1落体东偏平衡的数值图4中的m以v′竖直下落(沿z轴负向),所受科里奥里力的方向垂直v′向右指向y轴正向,即自由落体相对于表观重力方向发生东偏的现象。由y=ω38h3g−−−√y=ω38h3gcosϕ式知,高度越高,纬度越低,东偏越大。落体东偏的数值以赤道最大,向两极减小至0,总的说来,数值都很小。例如,在纬度60°、井深490m的竖井口自由下落的物体,东偏11.9cm。3.2引力及重力随地球方向的变化如图4所示,物体m受地球引力FG的方向沿地球半径指向地心,惯性离心力Fi的方向垂直与地轴沿半径r向外,这两个力的合力就是重力P,重力P的方向并不指向地心,而是和地心与O点的连线夹一个很小的角α。惯性离心力Fi在垂直于天顶方向的投影为Fisinϕ,其方向沿x轴正向,是它改变了引力的方向,使重力的方向稍微偏离地球质心,使落体产生了微小的南偏。惯性离心力在平行于天顶(Z轴)方向的投影为Fisinϕ,它改变了引力的大小,使重力在很小程度上小于地球引力。重力P和引力FG的关系为:p=FG−Ficosϕ=GMmR2−mω2Rcos2ϕp=FG-Ficosϕ=GΜmR2-mω2Rcos2ϕ(式中,G是引力恒量、M是地球质量、R是地球半径、ω是地球自转角速度、Ф是纬度),该式给出了重力随纬度的变化规律。同地球引力FG比较起来,地球自转产生的惯性离心力Fi是十分微弱的。即使在惯性离心力最大的赤道上,它的大小也仅及地球引力的0.3%。因而落体南偏更微小,比东偏还要小三个数量级。3.3内外力力的生长设在南半球地面纬度为Ф的O点,有一质量为m的物体从高度h自由下落,同理科里奥里力Fc使落体相对于表观重力方向发生东偏的现