2022高中数学知识点梳理

2021高中数学知识点梳理

生活岂能百般如意，正因有了遗漏和缺憾，咱们才会有所追寻。

功成莫得意，或许下一步就是陷阱;败后勿卑微，没有谁一向紧锁冬

寒。哪怕再平凡平常平凡，都不能让幻想之地荒芜无论是否能够抵达

终点，只要不停地走，就算错过春华，亦可收获秋实。接下来是我为

大家整理的2021高中数学学问点梳理，盼望大家喜爱！

2021高中数学学问点梳理一

教学内容：1、大事间的关系及运算2、概率的基本性质

教学目标：

1、了解大事间各种关系的概念，会推断大事间的关系；

2、了解两个互斥大事的概率加法公式，知道对立大事的公式，

会用公式进行简洁的概率计算；

3、通过学习，进一步体会概率思想（方法）应用于实际问题的

重要性。

教学的重点：大事间的关系，概率的加法公式。

教学的难点：互斥大事与对立大事的区分与联系。

教学的详细过程：

引入：上一次课我们学习了概率的意义，举了生活中与概率学问

有关的很多实例。今日我们要来讨论概率的基本性质。在讨论性质之

前，我们先来一起讨论一下大事之间有什么关系。

大事的关系与运算

1

老师做掷骰子的试验，同学思索，回答该试验包含了哪些大事（即

可能消失的结果）

同学可能回答：｛消失的点数=1｝记为C1,｛消失的点数=2｝

记为C2,｛消失的点数=3｝记为C3,｛消失的点数=4｝记为C4,｛消

失的点数=5｝记为C5,｛消失的点数=6｝记为C6.

老师：是不是只有这6个大事呢?请大家思索，｛消失的点数不

大于1｝（记为D1）是不是该试验的大事?（同学回答：是）类似的，｛消

失的点数大于3｝记为D2,｛消失的点数小于5｝记为D3,｛消失

的点数小于7｝记为E,i消失的点数大于6）记为F,｛消失的点数

为偶数）记为G,（消失的点数为奇数｝记为H,等等都是该试验的

大事。那么大家思索一下这些大事之间有什么样的关系呢？

同学思索若大事C1发生（即消失点数为1）,那么大事H是否肯定

也发生？

同学回答：是，由于1是奇数

我们把这种两个大事中假如一大事发生，则另一大事肯定发生的

关系，称为包含关系。详细说：一般地，对于大事A和大事B,假如

大事A发生，则大事B肯定发生，称大事B包含大事A（或大事A包

含于大事B）,记作（或）

特别地，不行能大事记为，任何大事都包含。

练习：写出D3与E的包含关系（D3E）

2、再来看一下C1和D1间的关系：先考虑一下它们之间有没有

包含关系？即若C1发生，D1

2

是否发生?（是，即C1D1）;又若D1发生,C1是否发生?（是，即D1C1）

两个大事A,B中，若，那么称大事A与大事B相等，记作A=B。

所以Cl和D1相等。

"下面有同学已经发觉了，大事的包含关系和相等关系与集合的

这两种关系很相像，很好，下面我们就一起来考虑一下能不能把大事

与集合做对比。”

试验的可能结果的全体G玲全集

JJ

每一个大事一玲子集

这样我们就把大事和集合对应起来了，用已有的集合间关系来分

析大事间的关系。

3、集合之间除了有包含和相等的关系以外，还有集合的并，由

此可以推出相应的，大事A和大事B的并大事，记作A回B,从运算的

角度说，并大事也叫做和大事，可以记为A+B。我们知道并集A相中

的任一个元素或者属于集合A或者属于集合B,类似的大事A0B发生

等价于或者大事A发生或者大事B发生。

练习：G回D3=?G={2,4,6},D3={1,2,3,4},所以G[?1D3=

（1,2,3,4,6}o若消失的点数为1,则D3发生，G不发生;若消

失的点数为4,则D3和G均发生;若消失的点数为6,则D3不发生,

G发生。

由此我们可以推出大事A+B发生有三种状况:A发生，B不发生;A

不发生，B发生;A和B都发生。

3

4、集合之间的交集ACB,类似地有大事A和大事B的交大事,

记为ACB,从运算的角度说，交大事也叫做积大事，记作ABo我们

知道交集AQB中的任意元素属于集合A且属于集合B,类似地，大

事ACB发生等价于大事A发生且大事B发生。

练习：D2cH=?（｛大于3的奇数｝=C5）

5、大事A与大事B的交大事的特别状况，当ACB=（不行能大事）

时，称大事A与大事B互斥。（即两大事不能同时发生）

6、在两大事互斥的条件上，再加上大事A团大事B为必定大事,

则称大事A与大事B为对立大事。（即大事A和大事B有且只有一个

发生）

练习：回请在掷骰子试验的大事中，找到两个大事互为对立大事。

（G,H）

回不行能大事的对立大事

7、集合间的关系可以用Venn图来表示，类似大事间的关系我们

也可以用图形来表示。

：A=B：

A回B：AnB：

A、B互斥：A、B对立：

8、区分互斥大事与对立大事：从图像上我们也可以看出对立大

事是互斥大事的特例，但互斥大事并非都是对立大事。

练习：回书P121.练习题目4、5

团推断下列大事是不是互斥大事?是不是对立大事？

4

某射手(射击)一次，命中的环数大于8与命中的环数小于8;

统计一个班级数学期末考试成果，平均分不低于75分与平均分

不高于75分；

从装有3个红球和3个白球的口袋内任取2个球，至少有一个白

球和都是红球。

答案：①是互斥大事但不是对立大事;②既不是互斥大事也不是

对立大事

③既是互斥大事有是对立大事。

概率的基本性质：

提问：频率=频数、试验的次数。

我们知道当试验次数足够大时，用频率来估量概率，由于频率在

。〜1之间，所以，可以得到概率的基本性质：

1、任何大事的概率P(A),O0P(A)01

2、那大家思索，什么大事发生的概率为1,对，记必定大事为E,

P(E)=1

3、记不行能大事为F,P(F)=O

4、当A与B互斥时，A回B发生的频数等于A发生的频数加上B

发生的频数，所以

=+，所以P(AI3B)=P(A)+P(B)o

5、特殊地，若A与B为对立大事，则A回B为必定大事，

P(A0B)=l=P(A)+P(B)^P(A)=l-P(B)o

例题：教材P121例

5

练习：由(阅历)得知，在某建设银行营业窗口排队等候存取款

的人数及其概率如下：

排队人数0〜10人11—20人21—30人31〜40人41人以上概率

0.120.270.300.230.08计算：(1)至多20人排队的概率；

⑵至少11人排队的概率。

三、课后思索：概率的基本性质4,若把互斥条件去掉，即任意

大事A、B,则P(A0B)=P(A)+P(B)-P(AB)

提示：采纳图式分析。

以上就是学大(教育)专家对(高二数学)概率的基本性质为大

家做出的教学设计，盼望能够为大家的教学带来关心，这是一个重要

的章节，老师们要重点的进行讲解，关心同学进行有效的学习。

2021高中数学学问点梳理二

锐角三角函数定义

锐角角A的正弦(sin),余弦(cos)和正切(tan),余切(cot)以及正割

(sec),余割(esc)都叫做角A的锐角三角函数。

正弦(sin)等于对边比斜边;sinA=a/c

余弦(cos)等于邻边比斜边;cosA=b/c

正切(tan)等于对边比邻边;tanA=a/b

余切(cot)等于邻边比对边;cotA=b/a

正害!](sec)等于斜边比邻边;secA=c/b

余割(esc)等于斜边比对边。cscA=c/a

互余角的三角函数间的关系

6

sin(90°-a)=cosa/cos(90°-a)=sina,

tan(90°-a)=cota,cot(90°-a)=tana.

平方关系：

sinA2(a)+cosA2(a)=l

tanA2(a)+l=secA2(a)

cotA2(a)+l=cscA2(a)

积的关系：

sina=tana-cosa

cosa=cota-sina

tana=sina-seca

cota=cosa-csca

seca=tana-csca

csca=seca-cota

倒数关系：

tana-cota=l

sina-csca=l

cosaseca=l

锐角三角函数公式

两角和与差的三角函数：

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB?

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB

7

cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(l-tanAtanB)

tan(A-B)=(tanA-tanB)/(l+tanAtanB)

cot(A+B)=(cotAcotB-l)/(cotB+cotA)

cot(A-B)=(cotAcotB+l)/(cotB-cotA)

三角和的三角函数：

sin(a+P+y)=sina-cosp-cosY+cosa-sinp-cosY+cosa-cosP-sinY-sina-sinP-sinY

cos(a+P+Y)=cosa-cosp-cosY-cosa-sin[3-sinY-sina-cos|3-sinY-sina-sinp-cosY

tan(a+P+Y)=(tana+tanP+tanY-tana-tanp-tanY)/(l-tana-tanP-tanp-tanY-ta

ny-tana)

帮助角公式：

Asina+Bcosa=(AA2+BA2)A(l/2)sin(a+t),其中

sint=B/(AA2+BA2)A(l/2)

cost=A/(AA2+BA2)A(l/2)

tant=B/A

Asina+Bcosa=(AA2+BA2)A(l/2)cos(a-t),tant=A/B

倍角公式：

sin(2a)=2sina-cosa=2/(tana+cota)

cos(2a)=cosA2(a)-sinA2(a)=2cosA2(a)-l=l-2sinA2(a)

8

tan(2a)=2tana/[l-tanA2(a)]

三倍角公式：

sin(3a)=3sina-4sinA3(a)

cos(3a)=4cosA3(a)-3cosa

半角公式：

sin(a/2)=±V((l-cosa)/2)

cos(a/2)=±V((l+cosa)/2)

tan(a/2)=±V((l-cosa)/(l+cosa))=sina/(l+cosa)=(l-cosa)/sina

降幕公式

sinA2(a)=(l-cos(2a))/2=versin(2a)/2

cosA2(a)=(l+cos(2a))/2=covers(2a)/2

tanA2(a)=(l-cos(2a))/(l+cos(2a))

万能公式：

sina=2tan(a/2)/[l+tanA2(a/2)]

cosa=[l-tanA2(a/2)]/[l+tanA2(a/2)]

tana=2tan(a/2)/[l-tanA2(a/2)]

积化和差公式：

sina-cosP=(l/2)[sin(a+3)+sin(a-P)]

cosa-sinP=(l/2)[sin(a+P)-sin(a-P)]

cosa-cosP=(l/2)[cos(a+P)+cos(a-P)]

sina-sir)P=-(l/2)[cos(a+P)-cos(a-P)]

和差化积公式：

9

sina+sinP=2sin[(a+P)/2]cos[(a-P)/2]

sina-sinP=2cos[(a+P)/2]sin[(a-P)/2]

cosa+cosP=2cos[(a+P)/2]cos[(a-P)/2]

cosa-cosP=-2sin[(a+P)/2]sin[(a-P)/2]

推导公式：

tana+cota=2/sin2a

tana-cota=-2cot2a

l+cos2a=2cosA2a

l-cos2a=2sinA2a

l+sina=(sina/2+cosa/2)A2

其他：

sina+sin(a+2n/n)+sin(a+2nJn)+sin(a+2rcJn)+....+sin[a+2n_n-l)/n]=0

cosa+cos(a+2n/n)+cos(a+2n_/n)+cos(a+2n_/n)++cos[a+2n_n-l)/n]=

0以及

sinA2(a)+sinA2(a-2n/3)+sinA2(a+2n/3)=3/2

tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=O

函数名正弦余弦正切余切正割余割

在平面直角坐标系xOy中，从点。引出一条射线0P,设旋转角

为6,设OP=r,P点的坐标为(x,y)有

正弦函数sin0=y/r

10

余弦函数cos0=x/r

正切函数tan0=y/x

余切函数cot0=x/y

正割函数sec0=r/x

余割函数csc0=r/y

正弦(sin):角a的对边比上斜边

余弦(cos):角a的邻边比上斜边

正切(tan):角a的对边比上邻边

余切(cot):角a的邻边比上对边

正割(sec):角a的斜边比上邻边

余割(esc):角a的斜边比上对边

三角函数万能公式

万能公式

(l)(sina)A2+(cosa)A2=l

(2)l+(tana)A2=(seca)A2

(3)l+(cota)A2=(csca)A2

证明下面两式，只需将一式，左右同除(Sina)9,其次个除(cosa『2

即可

(4)对于任意非直角三角形，总有

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

证：

A+B=n-C

11

tan(A+B)=tan(n-C)

(tanA+tanB)/(l-tanAtanB)=(tann-tanC)/(l+tanntanC)

整理可得

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

得证

同样可以得证，当x+y+z=rm(n回Z)时，该关系式也成立

由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论

(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=l

(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)

(7)(cosA)A2+(cosB)A2+(cosC)A2=l-2cosAcosBcosC

(8)(sinA)A2+(sinB)A2+(sinC)A2=2+2cosAcosBcosC

万能公式为：

设tan(A/2)=t

sinA=2t/(l+tA2)(A^2kn+R,k回Z)

tanA=2t/(l-tA2)(A^2kn+n,k回Z)

cosA=(l-tA2)/(l+tA2)(A^2kn+n,且A^kn+(n/2)k0Z)

就是说sinA.tanA.cosA都可以用tan(A/2)来表示，当要求一串函数

式最值的时候，就可以用万能公式，推导成只含有一个变量的函数，最

值就很好求了.

三角函数关系

倒数关系

tana-cota=l

12

sina-csca=l

cosa-seca=l

商的关系

sina/cosa=tana=seca/csca

cosa/sina=cota=cscaca

平方关系

sinA2(a)+cosA2(a)=l

l+tanA2(a)=secA2(a)

l+cotA2(a)=cscA2(a)

同角三角函数关系六角形记忆法

构造以上弦、中切、下割;左正、右余、中间1的正六边形为模

型。

倒数关系

对角线上两个函数互为倒数；

商数关系

六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数

值的乘积。(主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积，下面4个也

存在这种关系。)。由此，可得商数关系式。

平方关系

在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方

和等于下面顶点上的三角函数值的平方。

两角和差公式

13

sin(a+P)=sinacosP+cosasinP

sin(a-[3)=sinacosP-cosasin3

cos(a+P)=cosacos3-sinasir)P

cos(a-P)=cosacosP+sinasin3

tan(a+P)=(tana+tanP)/(l-tana-tanP)

tan(a-|3)=(tana-tanP)/(l+tana-tanP)

二倍角的正弦、余弦和正切公式

sin2a=2sinacosa

cos2a=cosA2(a)-sinA2(a)=2cosA2(a)-l=l-2sinA2(a)

tan2a=2tana/(l-tanA2(a)

2021高中数学学问点梳理三

1.数列的函