2022-2023学年江苏省南京天印高级中学高三年级下册一模考试数学试卷

2022-2023学年南京天印高级中学高三第二学期一模考试试卷

一.选择题（共8小题）

1."xe{x|k>g3（2-x）W1}"是"x6{x|b-1|W1}”的（）条件.

A.充分不必要B.必要不充分

C.充分必要D.既不充分也不必要

2.已知复数z在复平面内对应的点都在射线y=3x（x>0）上，且|z|='而，则z的虚部为（）

A.3B.3/C.±3D.±3i

3.在五边形ABC3E中，EB=a.AD=b-M,N分别为4E,8。的中点，则而=（）

A-点亭B.Q亭C.表亭D.笳亭

4.衡阳市在创建“全国卫生文明城市”活动中，大力加强垃圾分类投放宣传.某居民小区设有“厨余垃

圾”、“可回收垃圾”、“其它垃圾”三种不同的垃圾桶.一天，居民小贤提着上述分好类的垃圾各一袋,

随机每桶投一袋，则恰好有一袋垃圾投对的概率为（）

A.AB.Ac.AD.A

9632

5.某中学开展劳动实习，学习加工制作食品包装盒.现有一张边长为6的正六边形硬纸片，如图所示，

裁掉阴影部分，然后按虚线处折成高为«的正六棱柱无盖包装盒，则此包装盒的体积为（）

A.144B.72C.36D.24

6.已知函数g（x）=J§sin（3x+（p）,g（x）图象上每一点的横坐标缩短到原来的工，得到/（x）的图

2

象，/（X）的部分图象如图所示，若瓦•前=|屈|2,则3等于（）

A.—B.—C.—D.—

12642

7.某圆锥母线长为2,底面半径为料，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为()

A.2B.V3C.V2D.1

8.已知e-2.71828是自然对数的底数，设。=«-3,6=&-2,c=J-1-历2,则()

ee

A.a〈b〈cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

多选题(共4小题)

(多选)9.对于两条不同直线机，〃和两个不同平面a,0,下列选项中正确的为()

A.若〃z_La,a_L0,则机

B.若加〃a,n//P，a±P，则m_L〃或〃2〃〃

C.若加〃a,a〃0,则加〃0或加邪

D.若机_La,mLn,则〃〃a或〃?a

(多选)10.己知函数/(x)=,x'l，x>0,则下列结论正确的是()

cosx,X0

A.7(x)是偶函数B./(/(-3.n))-1

2

C.f(x)是增函数D.f(x)的值域为［-1,+8)

(多选)11.提丢?斯波得定律是关于太阳系中行星轨道的一个简单的几何学规则，它是在1766年由德国

的一位中学老师戴维斯?提丢斯发现的，后来被柏林天文台的台长波得归纳成一条定律，即数列｛a”｝：

0.4,0.7,1,1.6,2.8,5.2,10,19.6,…表示的是太阳系第〃颗行星与太阳的平均距离(以天文单位

A.U.为单位).现将数列｛“”｝的各项乘10后再减4,得到数列｛为｝,可以发现数列｛囱｝从第3项起,

每项是前一项的2倍，则下列说法正确的是()

A.数列｛加｝的通项公式为3=3X2"-2

B.数列｛斯｝的第2021项为0.3X22020+0.4

C.数列｛斯｝的前n项和S„=0.4/?+0.3X2nl-0.3

D.数列｛泌”｝的前“项和7”=3(n-1)?2"-1

(多选)12.定义在(0,+8)上的函数f(x)满足2f(x)+xf(x)=」才，f(1)=0,则下列说法正

X

确的是()

A./(x)在处取得极大值，极大值为」_

2e

B.f(x)有两个零点

02/14

C.若f（x）在（0,+oo）上恒成立，贝I]k>且

X22

D./（I）</（&）</（«）

三.填空题（共4小题）

13.在二项式（1-3%）〃的展开式中，若所有项的系数之和等于64,那么在这个展开式中，/项的系数

是.（用数字作答）

14.抛物线C：^=2py,其焦点到准线/的距离为4,则准线/被圆/+），2-6x=0截得的弦长为.

15.若直线y=-2x+2与曲线>=上火3-ax相切，则.

33

22

16.已知椭圆C：二/_=1的两个焦点为Fi（-2,0）和F2（2,0）,直线/过点Fi，点F2关于/的

对称点A在C上，且（F[A+4F）•AF；=6,则C的方程为.

四.解答题（共6小题）

17.已知等比数列｛斯｝的前〃项和为S,”“1=1,S„+i+2Sn-i=3Sn（n>2）.

（1）求数列｛斯｝的通项公式；

（2）令/J_,求数列｛儿｝的前n项和T“.

n2nSn+1

18.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知tanA=1.

3

<1）若。=J7，c=a，求方的值；

（2）若角A的平分线交BC于点D,=A,a=2,求△AC。的面积.

2AABC3

19.2020年将全面建成小康社会，是党向人民作出的庄严承诺.目前脱贫攻坚已经进入冲刺阶段，某贫困

县平原地区家庭与山区家庭的户数之比为3：2.用分层抽样的方法，收集了100户家庭2019年家庭年

收入数据（单位：万元），绘制的频率直方图如图所示，样本中家庭年收入超过1.5万元的有10户居住

在山区.

（1）完成2019年家庭年收入与地区的列联表，并判断是否有99.9%的把握认为该县2019年家庭年收

入超过1.5万元与地区有关.

超过1.5不超过总计

万元1.5万元

平原地区

山区10

总计

2

附：K1—-----、?(蚓-卜)----,其中〃=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(修2)0.1000.0500.0100.001

k2.7063.8416.63510.828

(2)根据这100个样本数据，将频率视为概率.为了更好地落实党中央精准扶贫的决策，从2020年9

月到12月，每月从该县2019年家庭年收入不超过1.5万元的家庭中选取4户作为“县长联系家庭”，

记“县长联系家庭”是山区家庭的户数为X,求X的分布列和数学期望E(X).

20.如图，三棱柱ABC-4BQ中，侧面8CGB1为矩形，AB8A是边长为2的菱形，BC=\,AC=&,

(1)证明：平面AiBCL平面ABBiAi；

(2)若AC=AiC,求三棱柱ABC-AbBiG的体积.

21.在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C：A_+Z_=l(a>/,>0)的左、右焦点分别Q、B焦距为2,

2°

且与双曲线工--尸=1共顶点.P为椭圆C上一点，直线PFi交椭圆C于另一点Q.

2

(1)求椭圆C的方程；

(2)若点P的坐标为(0,b),求过P、Q、尸2三点的圆的方程；

(3)若第=入西，且入日微，2J,求而•演的最大值.

22.已知函数/(x)(aGR)(其中e^2.71828为自然对数的底数).

04/14

（1）当“=1时，求证：函数/（X）图象上任意一点处的切线斜率均大于微；

（2）若f5）〉工111鼠+1）+*$乂对于任意的在［0,+8）恒成立，求实数a的取值范围.

2022-2023学年南京天印高级中学高三第二学期一模考试试卷

参考答案与试题解析

一.选择题（共8小题）

a

1.xG{x|log3（2-x）W1}”是“xe{琲"的（）条件.

A.充分不必要B.必要不充分

C.充分必要D.既不充分也不必要

故选：D.

2.已知复数z在复平面内对应的点都在射线y=3x（x>0）上，且|z|=/正，则z的虚部为（）

A.3B.3/C.+3D.±3i

故选：A.

3.在五边形ABCQE中，而=之，AD=b，M,N分别为30的中点，则诬=（）

A.亭B.齐亭C.占亭D.於亭

故选：C.

4.衡阳市在创建“全国卫生文明城市”活动中，大力加强垃圾分类投放宣传.某居民小区设有“厨余垃

圾”、“可回收垃圾”、“其它垃圾”三种不同的垃圾桶.一天，居民小贤提着上述分好类的垃圾各一袋,

随机每桶投一袋，则恰好有一袋垃圾投对的概率为（）

A.AB.Ac.AD.A

9632

故选：D.

5.某中学开展劳动实习，学习加工制作食品包装盒.现有一张边长为6的正六边形硬纸片，如图所示，

裁掉阴影部分，然后按虚线处折成高为我的正六棱柱无盖包装盒，则此包装盒的体积为（）

A.144B.72C.36D.24

故选:B.

6.已知函数g（x）=J^sin（uir+（p）,g（x）图象上每一点的横坐标缩短到原来的工，得到了（X）的图

2

象,一（尤）的部分图象如图所示，若标.前=|ABI2-则3等于（）

A.—B.—C.—D.—

12642

故选：A.

7.某圆锥母线长为2,底面半径为旧，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（）

A.2B.V3C.A/2D.1

故选：A.

8.已知e^2.71828是自然对数的底数，设“=遥-旦，-2,c=eV2-l-/«2,Ml］（）

ee

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.

故选：A.

二.多选题（共4小题）

（多选）9.对于两条不同直线相，”和两个不同平面a,0,下列选项中正确的为（）

A.若,"_La,a_L0,则〃

B.若，?i〃a,n//p,a_Lp»则，w_L〃或加〃〃

C.若机〃a,a〃0,则机〃0或机?0

D.若，"_La,，w_L”,则〃〃a或"?a

故选：ACD

(多选)10.已知函数/(x)=,x?+l，x>0,则下列结论正确的是()

cosx,x<C0

A./(x)是偶函数B./(/(-2.n))-1

2

C.f(x)是增函数D.f(x)的值域为［-1,+8)

故选：BD.

06/14

（多选）11.提丢?斯波得定律是关于太阳系中行星轨道的一个简单的几何学规则，它是在1766年由德国

的一位中学老师戴维斯?提丢斯发现的，后来被柏林天文台的台长波得归纳成一条定律，即数列｛金｝：

0.4,0.7,1,1.6,2.8,5.2,10,19.6,…表示的是太阳系第〃颗行星与太阳的平均距离（以天文单位

4.U.为单位）.现将数列｛即｝的各项乘10后再减4,得到数列｛a｝,可以发现数列｛与｝从第3项起,

每项是前一项的2倍，则下列说法正确的是（）

A.数列｛5｝的通项公式为6“=3X2”-2

B.数列｛斯｝的第2021项为0.3X22020+0.4

C.数列｛斯｝的前n项和S"=0.4〃+0.3X2"r-0.3

D.数列｛•”｝的前“项和7”=3（n-1）?21

故选：CD.

（多选）12.定义在（0,+8）上的函数/（x）满足（x）+xf（x）/（I）=0,则下列说法正

X乙

确的是（）

A./（x）在x=4处取得极大值，极大值为」」

2e

B.f（x）有两个零点

c.若/co<k--L在（0,+8）上恒成立，则且

x22

D./（I）</（V2）</（V3）

故选：ACD.

三.填空题（共4小题）

13.在二项式（1-3x）”的展开式中，若所有项的系数之和等于64,那么在这个展开式中，，项的系数是

135.（用数字作答）

故答案为135

14.抛物线C：xz=2py,其焦点到准线/的距离为4,则准线/被圆?+/-6x=0截得的弦长为，遥

娓,

故答案为：

15.若直线y=-2x+2与曲线y=-以相切，则。=3.

33

故答案为：3.

22

16.已知椭圆C：号三=1的两个焦点为Fi（-2,0）和F2（2,0）,直线/过点八，点22关于/的

______22

对称点A在。上，且（FiA+4FI；），AF；=6,则。的方程为J—=I_.

ii/1z95

22

故答案为：

95

四.解答题(共6小题)

17.已知等比数列｛斯｝的前“项和为S”,ai=l,S"+I+2S"T=3S(〃22).

(1)求数列｛劭｝的通项公式；

(2)令人=土工，求数列｛为｝的前n项和Tn.

nSnSn+1

【解答】解：(1)由题意，设等比数列｛斯｝的公比为q,

则当<7=1时，S„+i+2S„-i=(n+1)ai+2(n-1)a\=3n-1,

3Sn=3na\=3n,

Sn+\+25〃-1#3S〃，

显然q=l不符合题意，故q¥l,

当时，s,尸21(7)=上已

1-q1-q

1nT

S〃+1=S“-i=1-q

1-q1-q

•Sn+1+2Sn-1~3S/7,

-n+1in-1rn

—+2±13_=3

1-q1-q1-q

即1-产+2(I-，")=3(I"),

化简，得(q-2)(q-1)=0,

且qWO,：.q=2,

.,.即=1?2"-1=2""，〃€N*.

(2)由(1)知，s〃=上21,s”+i=±对;.，

1-21-2

则b.上_=——二——=2n=1.1

nHn1nn+1

nSnSn+11-2\-2(2-i)(2^-l)2-l2-l

1-21-2

T〃=bi+b2+…+b〃

=_1_-.._!一

21-122-l22-l23-l2n-l2n+1-l

08/14

18.在△4BC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知tanA=1_.

（1）若。c=M，求b的值；

（2）若角A的平分线交BC于点O,S-ABD"a=2,求△ACC的面积.

2AABC3

【解答】解：（1）因为tanA=1,

所以cosA=Y2,

2

由余弦定理得a2=b2+c1-2/?ccosA=7,

即从-3b-4=0,

解得b=4或〃=-1（舍），

（2）因为也幽=」，

^AABC3

所以也幽=工，

S©2

因为/C4Q=N8A。，

所以£=工，

b2

因为a-2,

222

由余弦定理得C+4C-4CX亨=4,

故c2=——&

5-2V3

所以SAABC=--bcsinA~~~X2X—=

/\ACD的面积SMCD=—x―2。+8«=20+8V3

35-2V33939

19.2020年将全面建成小康社会，是党向人民作出的庄严承诺.目前脱贫攻坚已经进入冲刺阶段，某贫困

县平原地区家庭与山区家庭的户数之比为3：2.用分层抽样的方法，收集了100户家庭2019年家庭年

收入数据（单位：万元），绘制的频率直方图如图所示，样本中家庭年收入超过1.5万元的有10户居住

在山区.

（1）完成2019年家庭年收入与地区的列联表，并判断是否有99.9%的把握认为该县2019年家庭年收

入超过1.5万元与地区有关.

超过1.5不超过

万元1.5万元

平原地区

山区10

总计

2

附：r=1---、?)、/----其中〃=a+b+c+4.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(产》4)0.1000.0500.0100.001

k2.7063.8416.63510.828

(2)根据这100个样本数据，将频率视为概率.为了更好地落实党中央精准扶贫的决策，从2020年9

月到12月，每月从该县2019年家庭年收入不超过1.5万元的家庭中选取4户作为“县长联系家庭”，

记“县长联系家庭”是山区家庭的户数为X,求X的分布列和数学期望E(X).

钦率

【解答】解：(1)由频率分布直方图可知，超过1.5万元的频率为(0.5+0.4+0.1)X0.5-0.5,

所以超过1.5万元的户数有100X0.5=50户，

又因为平原地区家庭与山区家庭的户数之比为3：2,抽取了100户，

故平原地区的共有60户，山区地区的共有40户，

又样本中家庭年收入超过1.5万元的有10户居住在山区，所以超过1.5万元的有40户居住在平原地区,

不超过1.5万元的有20户住在平原地区，有30户住在山区地区，

故2019年家庭年收入与地区的列联表如下：

超过1.5万元不超过1.5万元总计

平原地区402060

山区103040

总计5050100

10/14

n(ad-bc)210QX(40X30-10X20)2

则心==

=詈=16.667>10.828,

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)60X40X50X50o

所以有99.9%的把握认为该县2019年家庭年收入超过1.5万元与地区有关;

(2)由(1)可知，选1户家庭在平原的概率为2,山区的概率为3,

55

X的可能取值为0,1,2,3,4,

所以P(X=0)=c；(卷)°(卷)4=-^-

!x396.

p(x=i)-c：(J；)6=25

P(X=2)=(_11)2=216,

iJ625

1=216

P(X=3)=c：6；)625’

P(X=4)-烯(1g旦,

「625

所以X的分布列为:

X01234

p169621621681

625625625625625

因为X服从二项分布X〜B(4,3),

5

所以X的数学期望E(X)=4X3」2=2.4-

55

20.如图，三棱柱ABC-AiBiCi中，侧面3CC向为矩形，ABBA是边长为2的菱形，8c=1,AC=遥,

(1)证明：平面48cl,平面ABBiAi；

(2)若AC=AiC,求三棱柱ABC-。的体积.

【解答】(1)证明：因为侧面BCGBi是矩形，所以BCLBBi，

又因为BC=1,AB=2,AC=遥,所以BC2+Ag2=AC2,

所以8c又ABCB—所以8C_L平面AB81A1，

又因为BC?平面A\BC,所以平面48CL平面ABB14；

(2)解：取A4的中点“，连接CM,BM,因为AC=A|C,所以CM，A4i，

又因为C8JL平面A88i4，所以

且CMA8M=M,所以A4i_L平面BCM；

因为CM=JAC2-AM2=45-F=2,所以BM=,MC?-BC2=V4-l=V3，

所以三棱柱ABC-4BiCi的体积为：

V=SABC“?AAI=A?BM?BC?AAI=』XMX1X2=F.

22

21.在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C：z+z=1（a>b>0）的左、右焦点分别Q、F2焦距为2,

2,

且与双曲线三_-y2=i共顶点.p为椭圆c上一点，直线PFi交椭圆C于另一点Q.

2

（1）求椭圆C的方程；

（2）若点尸的坐标为（0,b）,求过P、。、乃三点的圆的方程；

（3）若用=入西，且入日技，2],求而•质的最大值.

【解答】解：（1）由题意得c=l,J=2…（2分）

2°

故椭圆的方程为二+丫2=1.…（3分）

2，

（2）因为尸（0,1）,F\（-1,0）,所以尸门的方程为x-y+l=0

由（x；y+l=：，解得点。的坐标为（一上，…（5分）

2

x+2y=233

设过P,Q,尸2三点的圆为/+）?+£>x+Ey+F=0…（6分）

1+E+F=O

W解得岭

则

T万D字+F=。

所以圆的方程为x2+y2+yx+1-y^=0,**（8分）

⑶设尸（肛，yi）,Q（X2,）2），贝I]甲=（X1+1,y。QF\=（-l-x2，-y2）

12/14

X<+1=(-l-Xn)X]=一入X2■■入-1

因为F[,=入QF,所以，，即,

丫1="丫2了[=-”2

(-人X2-入-I)?

22,

-------2-------*入y2=1

所以，解得上部-…（10分）

2X22入

x2.2.

T+y2=1

II

所以OP•OQMX]”+y1丫2="2（-”乂2一人一1）-入了乡二W-x：-（1+入）,2-入

=々（•^■）2-（1+人）人手）…。2分）

人2人4o