期中专题复习05圆及其垂径定理九年级上学期期中专项复习原卷版（苏科版）

圆及其垂径定理【六大专题】专题复习一【知识导图】【专题一：垂径定理求值】1．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，⊙O的弦AB垂直于CD，点E为垂足，连接OE．若AE＝1，ABA．22 B．32 C．422．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EB．若ABA．2 B．3 C．4 D．53．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是(3,a)(a>3)，半径为3，函数y=x的图像被⊙A．4 B．3+2 C．32 D4．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AB为弦作⊙O，并使直角顶点C在⊙O内，点O在△ABC外，若∠OCB=∠CAB，A．32 B．62 C．725．（2021秋·江苏·九年级专题练习）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，AC＝4，则OD的长为（）A．1 B． C．2 D．6．（2023·山东德州·统考二模）如图，已知锐角∠AOB，按如下步骤作图：（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作PQ，交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交PQ于点M，N；③连接OM，MN，NDA．∠COM=∠COD B．若C．MN∥CD D7．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过A2,2，B4,0，A．点D B．点E C．点F D．点G8．（2023秋·江苏连云港·九年级校联考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A(13,0)，一次函数y=kx+3k+4（k为常数，且k≠0）的图像与⊙O9．（2023·江苏扬州·统考二模）如图，⊙O的半径是3，△ABC是⊙O的内接三角形，过圆心O分别作AB，BC，AC的垂线，垂足为E，F，G，连接EF．若OG=110．（2022秋·江苏南京·九年级校联考阶段练习）如图，A(1,0)、B(5,0)，以AB为直径作⊙M，射线OF交⊙M于E、F两点，C为弧AB的中点，D为EF的中点，当射线OF绕O点旋转时，11．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，⊙O的半径为4，AB，CD是⊙O的弦，且AB//CD，AB=4，CD=42【专题二：垂径定理求平行弦问题】1．（2023秋·江苏·九年级专题练习）将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（）cm.A．6 B．42 C．43 D2．（2023秋·江苏·九年级专题练习）已知⊙O的直径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB//CD，AB=8cm，CD=6cm，则AB3．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，AB，CD是半径为15的⊙O的两条弦，AB＝24，CD＝18，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上任意一点，则PA＋PC的最小值为．4．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，⊙M交x轴于A-1,0，B3,0两点，交y轴于C，D0,3两点，点S是DB上一动点，N是5．（2022秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）【阅读理解】三角形中线长公式：三角形两边平方的和，等于所夹中线和第三边一半的平方和的两倍如左图，在△ABC中，点D是BC中点，则有：AB【问题解决】请利用上面的结论，解决下面问题：如右图，点C、D是以AB为直径的⊙O上两点，点P是OB的中点，点E是CD的中点，且∠CPD=90°，若AB=8，当△EPB面积最大时，则CD6．（2023·河南驻马店·驻马店市第二初级中学校考二模）如图，在⊙O中，AB是直径，弦EF(1)在图1中，请仅用不带刻度的直尺画出劣弧EF的中点P；(保留作图痕迹，不写作法)(2)如图2，在（1）的条件下连接OP、PF，若OP交弦EF于点Q，△PQF的面积6，且EF=12，求【专题三：垂径定理求同心圆问题】1．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于C点，AB=12cm，AO=8cm，则OC长为（）cmA．5 B．4 C．25 D．2．（2022秋·江苏徐州·九年级校考阶段练习）如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点，那么AC所对的圆心角的大小是（

）A．60° B．75° C．80° D．90°3．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，AB是半圆O的直径，以弦AC为折痕折叠AC后，恰好经过点O，则∠AOC等于（

A．120° B．125° C．130° D．145°4．（2023·江苏·九年级假期作业）在同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．(1)如图①，若大圆、小圆的半径分别为13和7，AB=24，则CD的长为___________(2)如图②，大圆的另一条弦EF交小圆于G，H两点，若AB=EF，求证5．（2022秋·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，在两个同心圆⊙O中，大圆的弦AB与小圆相交于C，D(1)求证：AC=(2)若AC=2,BC=4，大圆的半径R【专题四：垂径定理求其他问题】1．（2023秋·江苏·九年级专题练习）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为4米，⊙O半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（A．1米 B．3+5米 C．3米 D．3-2．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，点A是A．AB=OC BC．BC=2AC D3．（2023秋·江苏·九年级专题练习）《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥DC于E，ED=1寸，AB=10寸，求直径CD的长．4．（2022春·江苏·九年级期末）【数学认识】数学是研究数量关系的一门学科，在初中几何学习的历程中，常常把角与角的数量关系转化为边与边的数量关系，把边与边的数量关系转化为角与角的数量关系．【构造模型】（1）如图①，已知△ABC，在直线BC上用直尺与圆规作点D，使得∠ADB＝12∠ACB（不写作法，保留作图痕迹）【应用模型】已知△ABC是⊙O的内接三角形，⊙O的半径为r，△ABC的周长为c．（2）如图②，若r＝5，AB＝8，求c的取值范围．（3）如图③，已知线段MN，AB是⊙O一条定长的弦，用直尺与圆规作点C，使得c＝MN．（不写作法，保留作图痕迹）5．（2021·江苏·九年级自主招生）已知y=4x(x>0)上有点P，以P为圆心，OP长为半径画图，分别交x轴，（1）三角形AOB的面积是否为定值？若为，求出；若不为，说明理由．（2）y=-2x+4与⊙P交于M，N两点，且（3）若定点Q(a,a)到P6．（2023·江苏盐城·统考二模）已知：如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙(1)如图①，若M是半圆的中点，且与C点在同侧，画出∠ACB的平分线CN(2)如图②，若DE∥AB，画出∠ACB7．（2022·江苏无锡·校考一模）请用无刻度尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）．（1）如图1，点E是矩形ABCD边AD的中点过E画矩形的一条对称轴交BC于F；（2）如图2，正方形ABCD中，点E是AB的中点，在BC上找一点G，使得AG⊥DE；（3）如图3，在正六边形ABCDEF中．点G是AF上一点，在CD上找一点H，使得EH=BG；（4）如图4，在⊙O中，点D是劣弧AC的中点，点B是优弧AC上一点，在⊙O上找一点I，使得BI//AC．8．（2022·江苏·九年级专题练习）阅读理解：小明热爱数学，在课外书上看到了一个有趣的定理“中线长定理”：三角形两边的平方和等于第三边的一半与第三边上的中线的平方和的两倍．如图1，在△ABC中，点D为BC的中点，根据“中线长定理”，可得：AB2+AC2=2AD2+2BD2．小明尝试对它进行证明，部分过程如下：解：过点A作AE⊥BC于点E，如图2，在Rt△ABE中，AB2=AE2+BE2，同理可得：AC2=AE2+CE2，AD2=AE2+DE2，为证明的方便，不妨设BD=CD=x，DE=y，∴AB2+AC2=AE2+BE2+AE2+CE2=…（1）请你完成小明剩余的证明过程；理解运用：（2）①在△ABC中，点D为BC的中点，AB=6，AC=4，BC=8，则AD=；②如图3，⊙O的半径为6，点A在圆内，且OA=22，点B和点C在⊙O上，且∠BAC=90°，点E、F分别为AO、BC的中点，则EF的长为；拓展延伸：（3）小明解决上述问题后，联想到如下的题目：如图4，已知⊙O的半径为55，以A（3，4）为直角顶点的△ABC的另两个顶点B，C都在⊙O上，D为BC的中点，求AD长的最大值．请你利用上面的方法和结论，求出AD长的最大值．【专题五：垂径定理推论】1．（2022秋·江苏·九年级期中）如图，△ABC内接于⊙O，DE，FG是⊙O的弦，AB＝DE，FG＝AC．下列结论：①DE+FG=BC；A．①②③④ B．②③ C．②④ D．②③④2．（2022秋·江苏·九年级专题练习）如图，在半径为5的⊙A中，弦BC，DE所对的圆心角分别是∠BAC，∠DAE．若DE=6，∠BAC+∠A．412 B．342 C．4 D3．（2022秋·江苏·九年级期中）【概念提出】圆心到弦的距离叫作该弦的弦心距．【数学理解】如图①，在⊙O中，AB是弦，OP⊥AB，垂足为P，则OP的长是弦AB的弦心距．（1）若⊙O的半径为5，OP的长为3，则AB的长为．（2）若⊙O的半径确定，下列关于AB的长随着OP的长的变化而变化的结论：

①AB的长随着OP的长的增大而增大；②AB的长随着OP的长的增大而减小；③AB的长随着OP的长的确定而确定；④AB的长与OP的长无关．其中所有正确结论的序号是．【问题解决】如图②，已知线段EF，MN，点Q是⊙O内一定点．（3）用直尺和圆规过点Q作弦AB，满足AB＝EF；（保留作图痕迹，不写作法）（4）若弦AB，CD都过点Q，AB＋CD＝MN，且AB⊥CD．设⊙O的半径为r，OQ的长为d，MN的长为l．①求AB，CD的长（用含r，d，l的代数式表示）；②写出作AB，CD的思路．4．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，已知AB、CD是⊙O的两条平行弦，AB=8，CD=6，弦AB、CD之间的距离为7．（1）求证：弧AD=弧BC．（2）求图中阴影部分的面积．5．（2022秋·江苏盐城·九年级统考期末）如图所示，已知在⊙O中，AB是⊙O的直径，弦CG⊥AB于D，F是⊙O上的点，且CF=CB，BF交CG于点E，求证：CE＝【专题六：垂径定理实际应用】1．（2020秋·江苏盐城·九年级校考期中）[阅读材料]如图1所示，对于平面内⊙P，在⊙P上有弦AB，取弦AB的中点M，我们把弦AB的中点M到某点或某直线的距离叫做弦AB到这点或者这条直线的“密距”例如：图1中线段MO的长度即为弦AB到原点O的“密距”，过点M作y轴的垂线交y轴于点N线段MN的长度即为弦AB到y轴的“密距”．[类比应用]已知⊙P的圆心为P（0，4），半径为2，弦AB的长度为2，弦AB的中点为M．（1）当AB//y轴时，如图2所示，圆心P到弦AB的中点M的距离是____，此时弦AB到原点O的“密距”是；（2）①如果弦AB在⊙P上运动，在运动过程中，圆心P到弦AB的中点M的距离变化吗?若不变化，请求出PM的长，若变化，请说明理由．②直接写出弦AB到原点O的“密距”d的取值范围；[拓展应用]如图3所示，已知⊙P的圆心为P（0，4），半径为2,点A（0，2），点B为⊙P上白一动点，有直线y=x3，弦AB到直线y=x3的“密距”的最大值是．（直接写出答案）2．（2023秋·江苏·九年级专题练习）定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦，等垂弦所在直线的交点叫做等垂点．(1)如图1，AB，AC是⊙O的等垂弦，OD⊥AB，OE(2)如图2，AB是⊙O的弦，作OD⊥OA，OC⊥OB，分别交⊙O于D，C两点，连接(3)已知⊙O的半径为10，AB，CD是⊙O的等垂弦，P为等垂点．若AP=33．（2022秋·江苏·九年级阶段练习）图1是某种型号圆形车载支架，由圆形钢轨、滑动杆、支撑杆组成．图2是它的正面示意图，滑动杆AB的两端都在圆O上，A、B两端可沿圆形钢轨滑动，支撑杆CD的底端C固定在圆O上，另一端D是滑动杆AB的中点，（即当支架水平放置时直线AB平行于水平线，支撑杆CD垂直于水平线），通过滑动A、B可以调节CD的高度．当AB经过圆心O时，它的宽度达到最大值10cm，在支架水平放置的状态下：(1)当滑动杆AB的宽度从10厘米向上升高调整到6厘米时，求此时支撑杆CD的高度．(2)如图3，当某被支架锁住时，锁住高度与宽度恰好相等（AE=AB），求该4．（2021·江苏南通·南通田家炳中学校考二模）（1）风筝起源于中国，至今已有2300多年的历史，如图1，在小明设计的“风筝”图案中，已知AB=AD，∠B=∠D（2）如图2，一条公路的转弯处是一段圆弧，点O是弧CD的圆心，E为弧CD上一点，OE⊥CD，垂足为F．已知CD=6005．（2019秋·江苏镇江·九年级校联考阶段练习）【操作思考】画⊙O和⊙O的直径AB、弦CD，使AB⊥CD，垂足为P（如图1）．猜想所画的图中有哪些相等的线段、相等的劣弧？（（1）猜想：①；②；③．操作：将图1中的ADB沿着直径AB翻折，因为圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴，所以ADB与ACB重合，又因为∠APD=∠APC=90∘，所以