专题12 平面向量（解析版）

答案第=page22页，共=sectionpages33页专题12平面向量【练基础】一、单选题1．（2023·浙江·永嘉中学校联考模拟预测）已知是边长为1的正三角形，，，则（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】根据题意画出图像，即可得出，，再得出，代入计算即可得出答案．【详解】由，可知E为BC中点，所以，如图所示：因为，根据上图可知故选：A2．（2023·湖北·宜昌市一中校联考模拟预测）已知平面非零向量满足，则的最小值为（

）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】C【分析】根据向量数量积的定义和关系，把的两边平方，利用基本不等式进行转化求解即可．【详解】设非零向量，的夹角为.，所以，由两边平方得：，，，即，即，，，即当时，取得最小值，最小值为8.故选：C．3．（2023·江苏泰州·泰州中学校考一模）已知平面单位向量，，满足，则（

）A．0 B．1 C． D．【答案】C【分析】根据可得，替换，利用数量积的运算即可求解.【详解】如图，设，，因为，所以平行四边形为菱形，则为正三角形，所以，且反向，所以，所以，因为，所以，故选:C.4．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，，若与的夹角为，则在方向上的投影为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据向量夹角的坐标表示可构造方程求得的值，根据投影的定义可直接求得结果.【详解】，，当时，，解得：；若，不合题意，；当时，，解得：（舍）；综上所述：，，在方向上的投影为.故选：C.5．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）如图，在边长为2的等边中，点E为中线BD的三等分点（靠近点D），点F为BC的中点，则（

）A．1 B．2 C． D．【答案】A【分析】利用向量的线性运算得，再利用数量积的计算公式计算即可.【详解】在边长为2的等边中,BD为中线，则故选：A6．（2022·河南·统考一模）已知抛物线的焦点为F，动点M在C上，圆M的半径为1，过点F的直线与圆M相切于点N，则的最小值为（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【分析】由题作图，由图可得，根据抛物线定义可得等于点到准线的距离，根据图形可得最小值情况，从而可得的最小值.【详解】因为抛物线，所以焦点坐标为，如下图所示：连接，过作垂直准线于，则在直角中，，所以，由抛物线的定义得：，则由图可得的最小值即抛物线顶点到准线的距离，即，所以.故选：D.7．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的上、下焦点分别是，，若双曲线C上存在点P使得，，则其离心率的值是（

）A． B．2 C． D．3【答案】D【分析】设，结合以及列方程，化简求得离心率.【详解】设，则①，利用向量加法法则知，则即，故②，设，则，③，由②③得，即，又，所以，即，即所以双曲线离心率的值是3故选：D8．（2023·全国·高三专题练习）如图，在中，点D是边AB上一点且，E是边BC的中点，直线AE和直线CD交于点F，若BF是的平分线，则（

）A．4 B．3 C．2 D．【答案】C【分析】首先根据BF是的平分线，则存在一个实数使得，再替换向量和，利用平面向量基本定理的推论，即可求解.【详解】因为BF是的平分线，所以存在一个实数使得，（根据角平分线的条件，选择合适的基底）因为E是边BC的中点，所以，又点A，E，F共线，所以①．（三点共线的应用：（，为实数），若A，B，C三点共线，则）因为，所以，又点C，F，D共线，所以②，联立①②，得，则，即.故选：C．二、多选题9．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知向量，，则下列说法正确的是（

）A．B．若，则的值为C．若，则的值为D．若，则与的夹角为锐角【答案】AC【分析】根据平面向量的模公式、垂直向量、共线向量的性质，结合平面向量夹角公式进行逐一判断即可.【详解】因为，所以选项A说法正确；因为，所以，所以选项B说法不正确；因为，所以，所以选项C说法正确；当时，，所以，因此选项D说法不正确，故选：AC10．（2023·全国·模拟预测）在菱形中，，，点为线段的中点，和交于点，则（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】以为坐标原点可建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算依次验证各个选项即可.【详解】四边形为菱形，，则以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示平面直角坐标系，，，，，，，，，，对于A，，，A正确；对于B，，，，B正确；对于C，，，，C错误；对于D，，，，D正确.故选：ABD.11．（2022·湖南郴州·安仁县第一中学校考模拟预测）下列说法正确的是（

）A．B．非零向量和，满足且与同向，则C．非零向量满足D．已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是【答案】AC【分析】选项A，根据向量的数量积运算律判断；选项B，由向量与向量间不能比较大小判断；选项C，由平方判断；选项D数量积大于零，且不共线求解判断【详解】A.由向量的数量积的运算律知：，故正确；B.由向量与向量间不能比较大小知，错误；C.由两边平方得：，则，故正确；D.已知，，且与的夹角为锐角，则，且与不共线，则，解得，故错误；故选：AC12．（2022·全国·高三专题练习）已知是半径为2的圆O的内接三角形，则下列说法正确的是（

）A．若角，则B．若，则C．若，则，的夹角为D．若，则为圆O的一条直径【答案】BC【分析】对于A，作OD垂直于AB.垂足为D，则，由正弦定理求出AB,利用数量积的几何意义求得，即可判断；对于B,利用向量的加法运算可推出，即可判断；对于C，将平方，结合数量积的定义可求得，的夹角；对于D,根据数量积的运算律可推出，判断BC为圆的直径，即可判断D.【详解】对于A，作OD垂直于AB.垂足为D，则,由正弦定理得，故,故A错误；对于B,由得，，即,则点O为BC的中点，即BC为圆的直径，故，B正确；对于C，设，的夹角为，由得，，即，解得或，由于，故，故，则，的夹角为，C正确；对于D,由得，即，则为圆O的一条直径，D错误，故选:BC三、填空题13．（2023春·广东揭阳·高三校考阶段练习）已知平面向量满足，则__________．【答案】##【分析】根据所给条件平方后可得，再求出，可知向量与夹角相等，即可求解.【详解】由平方可得：，又，，即，由知，，又，，且为锐角，，，解得，故答案为：14．（2023·湖南岳阳·统考一模）已知椭圆E：的左、右焦点分别为、，圆P：分别交线段、于M、N两点，则______.【答案】##1.2【分析】根据椭圆的定义及圆的半径确定，再由数量积坐标运算求解.【详解】由知圆心，半径，又椭圆方程为，所以在椭圆上，且椭圆的焦点，，所以，，因为,所以,又，所以.故答案为：15．（2023·全国·高三专题练习）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的前纸，它是中国古老的传统民间艺术之一.在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）.已知正方形的边长为2，中心为，四个半圆的圆心均为正方形各边的中点（如图2），若在的中点，则___________.【答案】8【分析】可分别构造与，分别求得的长度以及、，根据数量积的定义以及运算律即可求得；也可取中点为，构造，求出以及的值.又，根据数量积的定义即可求得.【详解】方法一：图3如图3，取中点为，连结，显然过点.易知，，，则，，.所以，.图4如图4，延长交于，易知是的中点，且.则，，在中，，.所以，.所以，.故答案为：8.方法二：图5取中点为，连结，显然过点.易知，，，如图5，取中点为，显然，，.在中，，.又为中点，则.所以，.故答案为：8.16．（2021·天津津南·天津市咸水沽第一中学校考模拟预测）在四边形ABCD中，，，，，点E在线段CB的延长线上，且，则______.【答案】1【分析】建立坐标系利用向量的坐标运算分别写出向量而求解．【详解】建立如图所示的直角坐标系，因为，，，则，又则，因为，所以，所以直线的斜率为，其方程为，直线的斜率为，其方程为,由得，，所以,由，，所以，故答案为：1.四、解答题17．（2022·四川绵阳·盐亭中学校考模拟预测）已知向量，满足，，．(1)若，求实数的值；(2)若设与的夹角为，求的大小．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用向量垂直数量积为，得出，从而确定向量，不共线，可作为一组基底，再根据共线定理得出实数的值；（2）根据两向量的夹角公式的需要，首先求出两向量的数量积，再求出的模长，最后代入夹角公式即可.（1）由可得：，即，又由，得，，代入解得：，所以，是不共线的向量.由题可设：，因为，是不共线的向量，所以且，解得．（2）由于，，由与的夹角为：，由于，所以．18．（2022·江苏盐城·模拟预测）如图，已知正方形ABCD的边长为2，过中心O的直线l与两边AB，CD分别交于点M，N．(1)若Q是BC的中点，求的取值范围；(2)若P是平面上一点，且满足，求的最小值．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）由向量的加法和数量积运算将转化为，再由的值和的范围可求得结果.（2）令可得点T在BC上，再将转化为，由、的范围可求得结果.【详解】（1）因为直线l过中心O且与两边AB、CD分别交于点M、N．所以O为MN的中点，所以，所以．因为Q是BC的中点，所以，，所以，即的取值范围为；（2）令，则，∴，即：∴∴点T在BC上，又因为O为MN的中点，所以，从而，，因为，所以，即的最小值为．19．（2022秋·江苏扬州·高三江苏省邗江中学校考阶段练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足．(1)求证：；(2)若，求的最小值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）先将括号打开整理可得，利用同角的三角函数关系化切为弦，结合正弦的和角公式整理可得，根据正弦定理即可证明；（2）结合余弦定理与数量积的定义可得，利用基本不等式即可求解.【详解】（1）证明：因为，所以，所以，即，两边同时乘，可得，即。所以，因为，所以，由正弦定理可得，即.（2）因为，所以由余弦定理可得，因为，，所以，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.20．（2022·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）已知函数，其中向量，．(1)求的解析式及对称中心和单调减区间；(2)不等式在上恒成立，求实数m的取值范围．【答案】(1)，对称中心为，单调减区间是(2)【分析】(1)利用向量数量积的坐标运算和正余弦的二倍角公式可得，再利用正弦函数的性质即可求解；(2)由题意可得：在上恒成立，求出的最值，转化为，解之即可.【详解】（1）

令，对称中心又令，所以单调减区间是（2）不等式在上恒成立，，即在上恒成立，，因为，所以，

当，即时，取得最小值，最小值为，当，即时，取得最大值，最大值为，即，得，即实数m的取值范围是【提能力】一、单选题21．（2023春·河南洛阳·高三孟津县第一高级中学校考开学考试）已知向量，满足，，，则（）A． B． C． D．【答案】D【分析】计算出、的值，利用平面向量数量积可计算出的值.【详解】，，，.，因此，.故选：D.【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题.22．（2022·全国·高三专题练习）已知圆的方程为，点在直线上，线段为圆的直径，则的最小值为A．2 B． C．3 D．【答案】B【解析】将转化为，利用圆心到直线的距离求得的取值范围求得的最小值.【详解】.故选B.【点睛】本小题主要考查向量的线性运算，考查点到直线距离公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.23．（2021·全国·高三专题练习）在中，角所对的边分别为，且点满足，若，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用向量知识可得，两边平方可得，再利用不等式知识可求得结果.【详解】因为，所以，所以，所以，所以，整理得，所以，因为，所以，所以，解得.所以的最大值为故选：A【点睛】关键点点睛：将向量条件化为，利用向量数量积的运算律运算得到是解题关键.24．（2022·浙江·高三专题练习）如图，在△中，点M是上的点且满足，N是上的点且满足，与交于P点，设，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据三点共线有，使、，由平面向量基本定理列方程组求参数，即可确定答案.【详解】，，由，P，M共线，存在，使①，由N，P，B共线，存在，使得②，由①②，故.故选：B.25．（2022·全国·高三专题练习）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是A． B． C． D．【答案】B【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．【详解】建立如图所示的坐标系，以中点为坐标原点，则，，，设，则，，，则当，时，取得最小值，故选：．26．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为、，经过的直线交椭圆于，，的内切圆的圆心为，若，则该椭圆的离心率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】对变形得到，进而得到以，结合椭圆定义可求出，，，由余弦定理求解关系式，求出离心率.【详解】因为，所以，如图，在上取一点M，使得，连接，则，则点I为AM上靠近点M的三等分点，所以，所以，设，则，由椭圆定义可知：，即，所以，所以，，故点A与上顶点重合，在中，由余弦定理得：，在中，，解得：，所以椭圆离心率为.故选：A【点睛】对于求解圆锥曲线离心率问题，要结合题目中的条件，直接求出离心率或求出的齐次方程，解出离心率，本题的难点在于如何将进行转化，需要作出辅助线，结合内心的性质得到三角形三边关系，求出离心率.27．（2023·全国·高三专题练习）在△中，D为BC的中点，，，EF与AD交于G，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知可得，根据共线可设，，结合已知及平面向量的基本定理列方程组求参数值.【详解】由题设，，又，且，所以，即，解得.故选：B.28．（2020·全国·高三专题练习）设中边上的中线为，点满足，则（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】作出图形，利用、表示，然后利用平面向量减法的三角形法则可得出可得出结果.【详解】如下图所示：为的中点，则，，，，故选：A.【点睛】本题考查利用基底表示向量，考查了平面向量减法和加法三角形法则的应用，考查计算能力，属于中等题.29．（2022秋·福建泉州·高三福建省南安国光中学校考阶段练习）在中，点满足，过点的直线与，所在的直线分别交于点，，若，，则的最小值为（

）A．3 B． C．1 D．【答案】A【分析】由向量加减的几何意义可得，结合已知有，根据三点共线知，应用基本不等式“1”的代换即可求最值，注意等号成立的条件.【详解】由题设，如下图示：，又，，∴，由三点共线，有，∴，当且仅当时等号成立.故选：A【点睛】关键点点睛：利用向量线性运算的几何表示，得到、、的线性关系，根据三点共线有，再结合基本不等式求最值.30．（2022·全国·高三专题练习）如图，在平行四边形中，，，与交于点.设，，若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据和三点共线，可得和，利用平面向量线性运算可用表示出，由此可得方程组求得，进而得到的值.【详解】连接，，三点共线，可设，则，；三点共线，可设，则，；，解得：，，即.故选：B.【点睛】思路点睛：本题考查平面向量基本定理的应用，基本思路是根据为两线段交点，利用两次三点共线，结合平面向量基本定理构造出方程组求得结果.二、多选题31．（2022·湖北黄冈·蕲春县第一高级中学校考模拟预测）对于给定的，其外心为，重心为，垂心为，则下列结论正确的是（

）A．B．C．过点的直线交于，若，，则D．与共线【答案】ACD【分析】根据外心在AB上的射影是AB的中点，利用向量的数量积的定义可以证明A正确；利用向量的数量积的运算法则可以即，在一般三角形中易知这是不一定正确的，由此可判定B错误；利用三角形中线的定义，线性运算和平面向量基本定理中的推论可以证明C正确；利用向量的数量积运算和向量垂直的条件可以判定与垂直，从而说明D正确.【详解】如图，设AB中点为M,则,,故A正确；等价于等价于,即，对于一般三角形而言，是外心，不一定与垂直，比如直角三角形中，若为直角顶点，则为斜边的中点，与不垂直.故B错误；设的中点为,则，∵E,F,G三点共线，，即,故C正确；,与垂直,又,∴与共线，故D正确.故选：ACD.【点睛】本题考查平面向量线性运算和数量及运算，向量垂直和共线的判定，平面向量分解的基本定理，属综合小题，难度较大，关键是熟练使用向量的线性运算和数量积运算，理解三点共线的充分必要条件，进而逐一作出判定.32．（2021·全国·高三专题练习）下列说法中错误的为（

）．A．已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是B．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底C．非零向量，，满足且与同向，则D．非零向量和，满足，则与的夹角为30°【答案】AC【分析】由向量的数量积，向量的夹角，判断；向量的基本定理判断；向量的定义判断；平面向量的基本定理与向量的夹角等基本知识判断．【详解】解：对于，与的夹角为锐角，，且时与的夹角为，所以且，故错误；对于B，向量，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，B正确；向量是有方向的量，不能比较大小，故C错误；对于．因为，两边平方得，，则，，故，而向量的夹角范围为，，得与的夹角为，故项正确．故错误的选项为AC．故选：AC．33．（2023·全国·高三专题练习）“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.如图，已知圆O的半径为2，点P是圆O内的定点，且，弦AC、BD均过点P，则下列说法正确的是（

）A．为定值 B．的取值范围是C．当时，为定值 D．的最大值为12【答案】AC【分析】根据题设中的圆幂定理可判断AC的正误，取的中点为，连接，利用向量的线性运算可判断B的正误，根据直径的大小可判断D的正误.【详解】如图，设直线与圆于，.则,故A正确.取的中点为，连接，则，而，故的取值范围是，故B错误.当时，，故C正确.因为，故，故D错误.故选：AC34．（2022秋·江苏盐城·高三阜宁县东沟中学校考阶段练习）在平面内有4点ABCD，的面积是面积的2倍，又数列满足，当时，恒有，设的前n项和为，则（

）A．为等比数列 B．为递减数列C．为等差数列 D．【答案】BCD【分析】设与交于点，由面积比得，根据平面向量基本定理得与关系，从而得数列递推关系，然后根据各选项求解数列，判断结论，其中选项D需要用错位相减法求和．【详解】设与交于点，，，共线，所以存在实数，使得，所以，所以，所以，，所以，，，不是等比数列，A错；因为，所以，即，所以是等差数列，C正确；又因为，则，即，，所以当时，，即，所以是递减数列，B正确；因为，，所以两式相减得，所以，D正确．故选：BCD．三、填空题35．（2019秋·广西·高三阶段练习）已知向量，，，，若，则的最小值______.【答案】【分析】首先根据向量平行的坐标表示得到，再根据“1”的变形，利用基本不等式求最值.【详解】，，，当且仅当，即时，等号成立.故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用“1”的妙用，变形，展开后，即可利用基本不等式求最值.36．（2022·全国·高三专题练习）如图，在平面四边形中，．若点为边上的动点，则的最小值为_________．【答案】【分析】设，根据条件找出，，且与的夹角为，与的夹角为，从而根据向量的加法法则和减法的定义写出，然后表示为关于的二次函数，通过求二次函数的最小值即可解决问题.【详解】延长交于点，因为，所以，，在中，，，所以，在中，，，所以，所以，不妨设，则，且与的夹角为，与的夹角为，则，所以时，取最小值.故答案为：.37．（2019秋·福建·高三福建省泰宁第一中学校考阶段练习）在中，是的中点，是的中点，过点作一直线分别与边，交于(不与点A重合），若，其中，则的最小值是_____．【答案】【分析】根据题意，画出图形，结合图形，利用与共线，求出与的表达式再利用基本不等式求出的最小值即可.【详解】中，为边的中点，为的中点，且，，，同理，，又与共线，存在实数，使，即，，解得，，当且仅当时，“=”成立，故答案为.【点睛】本题主要考查向量的几何运算及基本不等式的应用，属于难题．向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．38．（2022·上海·高三专题练习）已知，若存在，使得与夹角为，且，则的最小值为___________.【答案】【分析】设，可得共线，又，当为最小时最小，而此时、关于y轴对称，结合已知即可求的最小值.【详解】由题意，，∴令，，故有共线，∵，故当且仅当为最小时，最小，∴有、关于y轴对称时，最小，此时到AB的距离为，∴，即.故答案为：.【点睛】关键点点睛：应用向量的线性关系及共线性质，可知，、、的终点共线，且可分析得、关于y轴对称时，最小，进而求最小值即可.四、解答题39．（2022·辽宁沈阳·沈阳二十中校考一模）在中，角的对边分别是，，，如图所示，点在线段上，满足.（1）求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合诱导公式和二倍角公式可求得，进而得到；（2）在中利用余弦定理可求得，从而求得，由平面向量数量积的定义可计算求得结果.【详解】（1）由正弦定理得：，，，又，，，，，，，解得：.（2），，为等边三角形，设，则，在中，由余弦定理得：，解得：，，，.【点睛】关键点点睛：本