函数的应用（一）课件 2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第三章

函数的概念与性质3.4

函数的应用（一）新课导入我们学习过的一次函数、二次函数、幂函数等都与现实世界有紧密联系.下面通过一些实例感受它们的广泛应用，体会利用函数模型解决实际问题的过程与方法.3.1.2例8

依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）．2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为：个税税额＝应纳税所得额×税率－速算扣除数.

应纳税所得额的计算公式为：应纳税所得额＝综合所得收入额－基本减除费用－专项扣除－专项附扣除－依法确定的其他扣除.

其中，“基本减除费用”(免征额)为每年60000元.税率与速算扣除数见下表.新课讲解(1)设全年应纳税所得额为𝑡，应缴纳个税税额为𝑦，求𝑦=𝑓(𝑡)，并画出图象；(2)小王全年综合所得收入额为117600元，假定缴纳的基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是8%，2%，1%，9%，专项附加扣除是9600元，依法确定其它扣除是560元，那么他全年应缴纳多少综合所得税？

函数图象如下图所示

例1

设小王的专项扣除比例、专项附加扣除金额、依法确定的其他扣除金额与3.1.2例8相同，全年综合所得收入额为𝑥（单位：元），应缴纳综合所得个税税额为𝑦（单位：元）.(1)求𝑦关于𝑥的函数解析式；(2)如果小王全年的综合所得由117600元增加到153600元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税？解：(1)由个人应缴纳所得额计算公式，可得𝑡=𝑥−60000−𝑥(8%+2%+1%+9%)−9600−560=0.8𝑥−70160令𝑡=0，得𝑥=87700.根据个人应纳税所得额的规定可知，当0≤𝑥≤87700时，𝑡=0.所以，个人应纳税所得额𝑡关于综合所得收入额𝑥的函数解析式为

当462700<𝑥≤612700时，300000<𝑡≤420000，所以𝑦=𝑡×25%−31920=0.2𝑥−49460；当612700<𝑥≤912700时,420000<𝑡≤660000，所以𝑦=𝑡×30%−52920=0.24𝑥−73968；当912700<𝑥≤1287700时,660000<𝑡≤960000，所以𝑦=𝑡×35%−85920=0.28𝑥−110476；当𝑥>1287700时,𝑡>960000，所以𝑦=𝑡×45%−181920=0.36𝑥−213492.所以，函数解析式为

(2)根据④，当𝑥=153600时，𝑦=0.08×153600−9536=2752.所以，小王全年需要缴纳的综合所得个税税额为2752元.根据个人收入情况，利用上面获得的个税和综合所得收入关系的函数解析式，就可以直接求得应缴纳的个税.例2一辆汽车在某段路程中行驶的平均速率𝑣(单位：𝑘𝑚/ℎ)与时间𝑡(单位：ℎ)的关系如下图所示，(1)求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；(2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004𝑘𝑚，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数𝑠(单位：𝑘𝑚)与时间𝑡的函数解析式，并画出相应的图象.解：(1)阴影部分的面积为

50×1+80×1+90×1+75×1+65×1=360.阴影部分的面积表示汽车在这5h内行驶的路程为360km.

本题的解答过程表明，函数图象对分析和理解题意很有帮助.因此，我们要注意提高读图能力.另外，本题用到了分段函数，解决现实问题时经常会用到这类函数.练习（P95）常见题型分类题型一：一次函数模型例1

某厂在甲、乙两地的两个分厂各生产某种机器12台和6台，现销售给A地10台，B地8台．已知从甲地调运一台至A地、B地的运费分别为400元和800元，从乙地调运一台至A地、B地的运费分别为300元和500元．设从乙地调运x台至A地，总运费为y元．(1)求总运费y关于x的函数关系式．(1)y＝300x＋500(6－x)＋400(10－x)＋800·[12－(10－x)]＝200(x＋43)(0≤x≤6，x∈N).(2)若总运费不超过9000元，问共有几种调运方案？(3)求出总运费最低的调运方案及最低的运费．(3)在(1)中，当x＝0时，总运费最低，调运方案：乙地6台全调运至B地，甲地调运2台至B地，10台至A地，这时总运费y为8600元．(2)当y≤9000时，200(x＋43)≤9000，解得x≤2.又x∈N，所以x＝0，1，2，故共有三种调运方案，总运费不超过9000元．题型二：二次函数模型例2

某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元．市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．(1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式；(2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式；(1)根据题意，得y＝90－3(x－50)，化简得y＝－3x＋240(50≤x≤55，x∈N).(2)w＝(x－40)(－3x＋240)＝－3x2＋360x－9600(50≤x≤55，x∈N).(3)当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？(3)因为w＝－3x2＋360x－9600＝－3(x－60)2＋1200，所以当x<60时，w随x的增大而增大．又50≤x≤55，x∈N，所以当x＝55时，w有最大值，最大值为1125.所以当每箱苹果的售价为55元时，可以获得最大利润，且最大利润为1125元．题型三：幂函数模型例3在固定压力差(压力差为常数)下，当气体通过圆形管道时，其流量R与管道半径r的四次方成正比．(1)写出函数解析式；(2)假设气体在半径为3cm的管道中的流量为400cm3/s，求该气体通过半径为rcm的管道时，其流量R的函数解析式；(3)已知(2)中的气体通过的管道半径为5cm，计算该气体的流量(精确到1cm3/s).(1)由题意，得R＝kr4(k是大于0的常数).

题型四：分段函数模型

(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少？(2)因为当0≤x≤400时，f(x)＝－(x－300)2＋25000，所以当x＝300时，f(x)取得最大值，为25000.当x＞400时，f(x)＝60000－100x是减函数，f(x)＜60000－100×40