湖北省仙桃、天门、潜江市2024届高二数学第一学期期末监测模拟试题含解析

湖北省仙桃、天门、潜江市2024届高二数学第一学期期末监测模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在平面直角坐标系中，双曲线C：的左焦点为F，过F且与x轴垂直的直线与C交于A，B两点，若是正三角形，则C的离心率为（）A. B.C. D.2．在平面直角坐标系xOy中，双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点M是双曲线右支上一点，，且，则双曲线的离心率为（）A. B.C. D.3．已知等比数列中，，则这个数列的公比是（）A.2 B.4C.8 D.164．复数的共轭复数是A. B.C. D.5．双曲线的焦点到渐近线的距离为（）A.1 B.2C. D.6．已知数列是等比数列，，是函数的两个不同零点，则（）A.16 B.C.14 D.7．某中学为了解高三男生的体能情况，通过随机抽样，获得了200名男生的100米体能测试成绩（单位：秒），将数据按照，，…，分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.规定成绩低于13秒为优，成绩高于14.8秒为不达标.由直方图推断，下列选项错误的是（）A.直方图中a的值为0.40B.由直方图估计本校高三男生100米体能测试成绩的众数为13.75秒C.由直方图估计本校高三男生100米体能测试成绩为优的人数为54D.由直方图估计本校高三男生100米体能测试成绩为不达标的人数为188．记为等差数列的前项和．若，，则的公差为（）A.1 B.2C.4 D.89．曲线在点处的切线方程为（）A. B.C. D.10．已知双曲线C：-＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1，若过原点倾斜角为的直线与双曲线C左右两支交于M、N两点，且MF1NF1，则双曲线C的离心率是（）A.2 B.C. D.11．在区间内随机取一个数，则方程表示焦点在轴上的椭圆的概率是A. B.C. D.12．已知直线过点，且其方向向量，则直线的方程为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．定义离心率是的椭圆为“黄金椭圆”.已知椭圆是“黄金椭圆”，则_________.若“黄金椭圆”两个焦点分别为、，P为椭圆C上的异于顶点的任意一点，点M是的内心，连接并延长交于点N，则________.14．如图所示茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，若乙的总成绩是445，则污损的数字是________15．中小学生的视力状况受到社会的关注.某市有关部门从全市6万名高一学生中随机抽取400名学生，对他们的视力状况进行一次调查统计，将所得到的有关数据绘制成频率分布直方图，如图所示，从左至右五个小组的频率之比为，则抽取的这400名高一学生中视力在范围内的学生有______人.16．点到直线的距离为_______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知公差不为零的等差数列中，，且，，成等比数列.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，求数列的前项和.18．（12分）如图，在正三棱柱中，，，，分别为，，的中点（1）证明：（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值19．（12分）在①，②，③这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答下列题目设首项为2的数列的前n项和为，前n项积为，且______（1）求数列的通项公式；（2）若数列的前n项和为，令，求数列的前n项和20．（12分）已知椭圆，其焦点为，，离心率为，若点满足.（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆交于两点，为坐标原点，的重心满足：，求实数的取值范围.21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左、右焦点分别是，，离心率，请再从下面两个条件中选择一个作为已知条件，完成下面的问题：①椭圆C过点；②以点为圆心，3为半径的圆与以点为圆心，1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上（只能从①②中选择一个作为已知）（1）求椭圆C的方程；（2）已知过点的直线l交椭圆C于M，N两点，点N关于x轴的对称点为，且，M，三点构成一个三角形，求证：直线过定点，并求面积的最大值.22．（10分）已知正三棱柱底面边长为，是上一点，是以为直角顶点的等腰直角三角形（1）证明：是中点；（2）求点到平面的距离

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】设双曲线半焦距为c，求出，由给定的正三角形建立等量关系，结合计算作答.【详解】设双曲线半焦距为c，则，而轴，由得，从而有，而是正三角形，即有，则，整理得，因此有，而，解得，所以C的离心率为.故选：A2、A【解析】本题考查双曲线的定义、几何性质及直角三角形的判定即可解决.【详解】因为，，所以在中，边上的中线等于的一半，所以．因为，所以可设，，则，解得，所以，由双曲线的定义得，所以双曲线的离心率故选：A3、A【解析】直接利用公式计算即可.【详解】设等比数列的公比为，由已知，，所以，解得.故选：A4、B【解析】因,故其共轭复数.应选B.考点：复数的概念及运算.5、A【解析】分别求出双曲线的焦点坐标和渐近线方程，利用点到直线的距离公式求出结果【详解】双曲线中，焦点坐标为渐近线方程为：∴双曲线的焦点到渐近线的距离故选：A6、B【解析】由题意得到，根据等比数列的性质得到，化简，即可求解.【详解】由，是函数的两个不同零点，可得，根据等比数列的性质，可得则.故选：B.7、D【解析】根据频率之和为求得，结合众数、频率等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】，解得，A选项正确.众数为，B选项正确.成绩低于秒的频率为，人数为，所以C选项正确.成绩高于的频率为，人数为人，D选项错误.故选：D8、C【解析】根据等差数列的通项公式及前项和公式利用条件，列出关于与的方程组，通过解方程组求数列的公差.【详解】设等差数列的公差为，则，，联立，解得.故选：C.9、A【解析】利用切点和斜率求得切线方程.【详解】由，有曲线在点处的切线方程为，整理为故选：A10、C【解析】根据双曲线和直线的对称性，结合矩形的性质、双曲线的定义、离心率公式、余弦定理进行求解即可.【详解】设双曲线的右焦点为F2，过原点倾斜角为的直线为，设M、N分别在第三、第一象限，由双曲线和直线的对称性可知：M、N两点关于原点对称，而MF1NF1，因此四边形是矩形，而，所以是等边三角形，故，因此，因为，所以，在等腰三角形中，由余弦定理可知：，由矩形的性质可知：，由双曲线的定义可知：，故选：C【点睛】关键点睛：利用矩形的性质、双曲线的定义是解题的关键.11、D【解析】若方程表示焦点在轴上的椭圆，则，解得，，故方程表示焦点在轴上的椭圆的概率是，故选D.12、D【解析】根据题意和直线的点方向式方程即可得出结果.【详解】因为直线过点，且方向向量为，由直线的点方向式方程，可得直线的方程为：，整理，得.故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、①.②.【解析】第一空，直接套入“黄金椭圆”新定义即可，第二空，从内切圆入手，找到等量关系，进而得到，求解即可【详解】由题，，所以如图，连接，设内切圆半径为，则，即，∴，∴，∴∴，∴故答案为：；【点睛】本题从新定义出发，第一空直接套用定义可得答案，第二空升华，需要在理解新定义的基础上，借助内切圆的相关公式求解，层层递进，是一道好题．关键点在于找到“”这一关系14、3【解析】设污损的叶对应的成绩是x，由茎叶图可得445＝83＋83＋87＋x＋99，解得x＝93，故污损的数字是3.考点：茎叶图.15、50【解析】利用频率分布直方图的性质求解即可.【详解】第五组的频率为，第一组所占的频率为，则随机抽取400名学生视力在范围内的学生约有人.故答案为：50.16、【解析】应用点线距离公式求点线距离.【详解】由题设，点到距离为.故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（Ⅰ）将数列中的项用和表示，根据等比数列的性质可得到关于的一元二次方程可求得的值，即可得到数列的通项公式；（Ⅱ）根据（Ⅰ）可求得的通项公式，用分组求和法可得其前项和.试题解析：（Ⅰ）设等差数列的公差为，因，且，，成等比数列，即，，成等比数列，所以有，即，解得或（舍去），所以，，数列的通项公式为.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以.点睛：本题主要考查了等差数列，等比数列的概念，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等.18、（1）证明见解析（2）【解析】（1）由已知，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别表示出B、D、E、F点的坐标，然后通过计算向量数量积来进行证明；（2）由第（1）建立的空间直角坐标系，分别表示出对应点的坐标，然后计算平面与平面的法向量，然后通过法向量去计算两平面所成的锐二面角即可.【小问1详解】如图，以为坐标原点，以，的方向分别为，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，由，，，分别为，，的中点，则，，证明：因为，，所以，所以【小问2详解】设平面的法向量为，因为，，所以，令，得设平面的法向量为，则令，得因为所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为19、（1）；（2）.【解析】（1）选择不同的条件，再通过构造数列以及累乘法即可求得对应情况下的通项公式；（2）根据（1）中所求，求得，再利用错位相减法求其前项和即可.【小问1详解】选①：∵，即，∴.即，∴数列是常数列，∴，故；选②：∵，∴时，，则，即∴，∴；当时，也满足，∴；选③：得，所以数列是等差数列，首项为2，公差为1则，∴.【小问2详解】由（1）知当时，，∴又∵时，，符合上式，∴∴∴而相减得∴.20、（1）（2）【解析】（1）运用椭圆的离心率公式，结合椭圆的定义可得在椭圆上，代入椭圆方程，求出，，即可求椭圆的方程；（2）设出直线方程，联立直线和椭圆方程，利用根与系数之间的关系、以及向量数量积的坐标表示进行求解即可.【小问1详解】依题意得，点，满足，可得在椭圆上，可得：，且，解得，，所以椭圆的方程为；【小问2详解】设，，，，，，当时，，此时A,B关于y轴对称，则重心为，由得：，则，此时与椭圆不会有两交点，故不合题意，故；联立与椭圆方程,可得，可得，化为，，，①，设的重心，由，可得②由重心公式可得，代入②式，整理可得可得③①式代入③式并整理得,则，，令，则，可得，，，.【点睛】本题主要考查椭圆的方程以及直线和椭圆的位置关系的应用，利用消元法转化为一元二次方程形式是解决本题的关键.21、（1）（2）证明见解析，【解析】（1）若选①，则由题意可得，解方程组求出，从而可求得椭圆方程，若选②，，再结合离心率和求出，从而可求得椭圆方程，（2）由题意设直线MN的方程为，设，，，将直线方程代入椭圆方程中，消去，再利用根与系数的关系，表示出直线的方程，令，求出，结合前面的式子化简可得线过的定点，表示出的面积，利用基本不等式可求得其最大值【小问1详解】若选①：由题意知，∴.所以椭圆C的方程为.若选②：设圆与圆相交于点Q.由题意知：.又因为点Q在椭圆上，所以，∴.又因为，∴，∴.所以椭圆C的方程为.【小问2详解】由题易知直线MN斜率存在且不为0，因为，故设直线MN方程为，设，，，∴，∴，，因为点N关于x轴对称点为，所以，所以直线方程为，令，∴.又，∴.所以