无穷级数 知识点总复习(1)小学教育

，将函数在某个区间上直接展开成指定点的泰勒级数的方法．2．间的幂级数．12cos4x，44而cos4x(1)n(4x)2(x1)n1n1,0x2，所以ln[1(x1)2](1)n(cosdx(n0,1,2,L)命题2：若f(x)为定义在[lnn，将函数在某个区间上直接展开成指定点的泰勒级数的方法．2．间的幂级数．12cos4x，44而cos4x(1)n(4x)2(x1)n1n1,0x2，所以ln[1(x1)2](1)n(cosdx(n0,1,2,L)命题2：若f(x)为定义在[lnnnnn解：⑴由于nn本章重点是判断数项级数的敛散性，幂级数与傅里叶级数的展开与求和．1．数项级数定义定义：设u是一个数列，则称表达式uuuLunL为一个数项级数，简称级数，其中第n项u称为级数的通项或一般项，Snu称为级数的前n项部分和．2．级数收敛的定义为此级数的和．当limS不存在时，则称级数利用级数收敛的定义，易知当q1⑴SL1时，几何级数qn收敛，和为11nn 1nn 域为[1,1]．（5）此级数中的x的幂次不是按自然顺依次递增而s(0)0（4）S(x)e2x2xe2t2dt，x；（5）ta2b22(a2b2)cosnxn1特别当x0时F(0)f1,2,L)1,2,L)nxla,b叫f(x)的傅里叶系数．nnnn域为[1,1]．（5）此级数中的x的幂次不是按自然顺依次递增而s(0)0（4）S(x)e2x2xe2t2dt，x；（5）ta2b22(a2b2)cosnxn1特别当x0时F(0)f1,2,L)1,2,L)nxla,b叫f(x)的傅里叶系数．nnnnnnn⑴LL12L12nnnn二、级数的基本性质及收敛的必要条件评注：若评注：若u收敛，v都发散，则v发散，则nnn2．设k为非零常数，则级数u与3．改变级数的前有限项，不影响级数的敛散性；4．级数收敛的必要条件：如果u收敛，则limu5．收敛的级数在不改变各项次序前提下任意加括号得到的新级数仍然收敛且和不变．评注：若某级数添加括号后所成的级数发散，则原级数亦发散．评注：若某级数添加括号后所成的级数发散，则原级数亦发散．解：⑴由于2n发散，所以发散，所以12n⑵11 1．正项级数收敛的基本定理定理：设S是正项级数u的部分和数列，则正项级数u收敛的充要条件是数列(1)n1（2）n1n211111nsin2n460n1解：数绝对收敛，所以收敛半径R3；假设收敛半径R3，由收敛半径的401x4n由于级数()2n1x在区间[n,n1]上单减，所xdxn1n1sintsint sintdt的敛散性sintn(1)n1（2）n1n211111nsin2n460n1解：数绝对收敛，所以收敛半径R3；假设收敛半径R3，由收敛半径的401x4n由于级数()2n1x在区间[n,n1]上单减，所xdxn1n1sintsint sintdt的敛散性sintnnunnnnnnuun1pnnn．（和级数）2．正项级数的比较判别法⑵若u发散，则都是正项级数，并设limnv评注：用比较判别法的比较对象常取评注：用比较判别法的比较对象常取p级数与等比级数及3．正项级数的比值判别法定理：设u是正项级数，若limn故(2n（3）n11)261(2n1)21242 8．五、其3n(2)n(1)n:数3n(2)n(1)n发散；当t和级数勒公式，有12!f()x2．2由于f(x)在点x0的某一邻域在[l,l]上的表达式，且f(x)是以2l为周期的函数，要将故(2n（3）n11)261(2n1)21242 8．五、其3n(2)n(1)n:数3n(2)n(1)n发散；当t和级数勒公式，有12!f()x2．2由于f(x)在点x0的某一邻域在[l,l]上的表达式，且f(x)是以2l为周期的函数，要将11n2⑶11nnu5．利用通项关于无穷小的阶判定正项级数的敛散性un⑵如果正项级数通项中含有阶乘，一般用比值判别法判定该级数的敛散性；unnnuu4．正项级数的根值判别法un1n收敛；当k1时，正项级数u发散．⑴1⑵11⑷nnnnun11nnn213，所以由比值判别法可得，原级数收敛；n1n 321．交错级数定义定义：若级数的各项是正项与负项交错出现，即形如!n(4n)!(1)n1x4(n1)令(x)1可得，x(,)1)n)cos(1)n1sin](3x3)．三、将函数在[0用来作比较的级数，此时一般利用通项关1n解：（1）考查lim散解：由于级数v收敛，所以根据收敛的必要条件可得limvn11nnnnnnnnn!n(4n)!(1)n1x4(n1)令(x)1可得，x(,)1)n)cos(1)n1sin](3x3)．三、将函数在[0用来作比较的级数，此时一般利用通项关1n解：（1）考查lim散解：由于级数v收敛，所以根据收敛的必要条件可得limvn11nnnnnnnnnnnu2．交错级数的莱布尼兹判别法0)满足条件nn0)收敛，其和Su其余项SSnu．un1．条件收敛、绝对收敛若un收敛，则称u绝对收敛；若un发散但u收敛，则称评注：绝对收敛的级数不因改变各项的位置而改变其敛散性与其和．评注：绝对收敛的级数不因改变各项的位置而改变其敛散性与其和．2．任意项级数的判别法定理：若级数u收敛，则级数[例1.4]判断下列级数是否收敛？若收敛，指明是绝对收敛还是条件收敛解：⑴记unnnnnu1n13所以级数u收敛，故原级数收敛且为绝对收敛；n发散，所以级数u发散n3nn22n（3）(1)nx2n1（4）[(1)nsinn成以6为周期的傅里叶级数．a3f(x)cosdx[0(2x1(x)在区间I上有定义，xI，若存在幂级数nn0x)n，使得2n1n04)n,66x2，x2[例7.2.17]解：f(xnnn2n12n2n12nn2nn3nn22n（3）(1)nx2n1（4）[(1)nsinn成以6为周期的傅里叶级数．a3f(x)cosdx[0(2x1(x)在区间I上有定义，xI，若存在幂级数nn0x)n，使得2n1n04)n,66x2，x2[例7.2.17]解：f(xnnn2n12n2n12nn2n12nnn，则下列级数中肯定收敛的是（C）nn若取un1un2n12nnuu12n1从而3522n12n（A）u；（B）nn12n1n12n事实上，若0uu2收敛．从而（A）u一定收敛，（B）u一定发散上所述，当x，即原级数发散．1时，级数收敛；当x1时，级数发x1)n12n1(n1),1x31(x1)n12n1n1，[，利用级数的性质可知，原级数发散．（4）显然判定数列nsin此级数n0(A)绝对收敛(B)发散(C)条件收敛(D)敛散性2n1然收敛，即2nnn上所述，当x，即原级数发散．1时，级数收敛；当x1时，级数发x1)n12n1(n1),1x31(x1)n12n1n1，[，利用级数的性质可知，原级数发散．（4）显然判定数列nsin此级数n0(A)绝对收敛(B)发散(C)条件收敛(D)敛散性2n1然收敛，即2nnnnSn2nnnnunnuun（C）u不一定收敛（D）limu0n解：假设u收敛，则根据级数敛散的性质，不改变各项的次序加括号后得到的新级数仍u一定发散．应选（B1必（A）收敛（B）发散（C）敛散性不定（D）可能收敛也可能发散解：由于级数v收敛，所以根据收敛的必要条件可得limv1nn则上述命题中正确的个数为（A）1（B）2（C）3（D）4vnnnn3n(2)ntnn的收敛半径为R3n(2)n(1)n，由于nn1n3nn1则xS(x)dx0(n1)3nxnn1，x[snxbsinnx],x[,]n1二、填空题1．设幂级数n1分111x1x算性质写出f(x)的展开式．[例7.2.16]nnnnnn3n(2)ntnn的收敛半径为R3n(2)n(1)n，由于nn1n3nn1则xS(x)dx0(n1)3nxnn1，x[snxbsinnx],x[,]n1二、填空题1．设幂级数n1分111x1x算性质写出f(x)的展开式．[例7.2.16]nnnnn2nnn2（2）n（4）n1n2（5）nnnn2nn2nnn2nw都收敛，所以由“比较判别法”知u收敛．故应选（An）；评注：评注：⑴若一般项中含有阶乘或者n的乘积形式，通常选用比值判别法：⑵若一般项中含有以n为指数幂的因式，通常采用根值判别法：⑶若一般项中含有形如n（为实数）的因式，通常采用比较判别法．⑷如果以上方法还行不通时，则可考虑用敛散的定义判定．2n3nn2（3）（6）n2n22nnn23112n1分析：f(x)是抽象函数，F(x)也不可能得到具体的解1[例7.2.15]求级数的和．n1解：由于n1令n(n1)，arctannn1a,必收敛．21．因为axk1在[0，1数a(xx)n在则称上述R为幂级数a(xx)n的收敛半径．称nnn2n1分析：f(x)是抽象函数，F(x)也不可能得到具体的解1[例7.2.15]求级数的和．n1解：由于n1令n(n1)，arctannn1a,必收敛．21．因为axk1在[0，1数a(xx)n在则称上述R为幂级数a(xx)n的收敛半径．称nnn115n4nnn3n取k3，上述极限值为所以原级数与3n取vuvnn1n4取v1nnuvnnn1nnn2评注：在考研题中遇到该类问题应评注：在考研题中遇到该类问题应①先看当n时，级数的通项u是否趋向于零（如果不易看出，可跳过这一步），若不趋于零，则级数发散；若趋于零，则②再看级数是否为几何级数或p级数，因为这两种级数的敛散性已知．如果不是几何级数或p级数，则③用比n1n换成连续变量x，再用罗必达法则，1361兹nn2故由级数敛散的性质可得，原级数发散．（3）不难得到un1)内连续，G(x)的傅里叶级数的和函数S(x)满足F(0x)n0的函数项级数为x处的n0幂级数．x0时的幂级数为2．零，即对任意的xI，都有limR(x)0．八、函数展开成幂级k兹nn2故由级数敛散的性质可得，原级数发散．（3）不难得到un1)内连续，G(x)的傅里叶级数的和函数S(x)满足F(0x)n0的函数项级数为x处的n0幂级数．x0时的幂级数为2．零，即对任意的xI，都有limR(x)0．八、函数展开成幂级knnuunnnunnxnn取k2，上述极限值为1n2nann!nnn分析：此例中两个级数的通项都含有参数．一般说来，级数的敛散性与这些参数的取值有关．对这种情况通常由比值判别法进行讨论．nuunlima1neuunenuunn散；当1时，比值判别法失效．这时un，由p级数的敛散性知，当1时，级，利用已知的常用幂级数展开式把幂级数的和函数写出来．证明：（1．泰勒级数与麦克劳林级数的定义0f(n)(x)0n!(xxI上能展开成x处的幂级数n0n0则其展开式是唯一的，且af(n1n1n1b)发散(D)设n1nn收敛，则a2，b2均收敛0，利用已知的常用幂级数展开式把幂级数的和函数写出来．证明：（1．泰勒级数与麦克劳林级数的定义0f(n)(x)0n!(xxI上能展开成x处的幂级数n0n0则其展开式是唯一的，且af(n1n1n1b)发散(D)设n1nn收敛，则a2，b2均收敛0n1 n110xn散性，这样做固然可以，但一般工作量较大．常用的方法是利用积分的性质对积分进行估0nnnn2nn21n2n法一：利用莱布尼兹定理；法二：判定通项取绝对值所成的正项级数的敛散性，若收敛则原级数绝对收敛；法四：将级数并项，若并项后的级数发散，则原级数发散．评注：法二、法三和法四适应于评注：法二、法三和法四适应于u不单调减少或判定单调很困难的交错级数．nf(n)]收敛．nn（Ⅱ）由于f(x)存在，且f(x)0，所1)n)cos(1)n1sin](3x3)．三、将函数在[0以2l为周期的函数，就变成了前一种情况．这两种情形的解题方法xn1)dx 12n(n1)!xnx2n1()n1e22e2f(n)]收敛．nn（Ⅱ）由于f(x)存在，且f(x)0，所1)n)cos(1)n1sin](3x3)．三、将函数在[0以2l为周期的函数，就变成了前一种情况．这两种情形的解题方法xn1)dx 12n(n1)!xnx2n1()n1e22e2nn2n2n不单调．而nn时，级数的通项u是否趋向于零，若不趋于零，则级数发散；若趋于零，则②按正令f(x)111x 1nn1nnnnn1即加括号后得到的新级数发散，利用级数的性质可知，原级数发散．但2n对任意项级数u，主要研究它绝对收敛性和条件收敛性．解题的一般思路：①先看当n下列幂级数的收敛半径和收敛域（1）n!(xen)nn1（2）；x22令(x)1，可得x2，所以收敛半径为R2，此级数发散8x)ln(1x),1x1；13ln25．10．（1）2lncosdx(n0,1,2,L)命题2：若f(x)为定义在[lnnnnnnnun下列幂级数的收敛半径和收敛域（1）n!(xen)nn1（2）；x22令(x)1，可得x2，所以收敛半径为R2，此级数发散8x)ln(1x),1x1；13ln25．10．（1）2lncosdx(n0,1,2,L)命题2：若f(x)为定义在[lnnnnnnnunnnn项级数敛散性的判别法，判定u是否收敛，若收敛，则级数u绝对收敛；若发散，；（nn)nnuunn所以利用比较判别法的极限形式可得，当0时级数发散，又因为u总是非增的趋于零，故由交错级数的“莱布尼兹判别法”知，级数u收敛，且为条件收 2n，所以nn233 §7.2幂级数本节重点是求幂级数的收敛域、求幂级数的分111x1x算性质写出f(x)的展开式．[例7.2.16]式）设u,v都是正项级数，并设unn1n1v,(nN)，则⑴则运算性质写出f(x)的展开式．[例7.2.18]将f(x)nnb收敛，且ann233 §7.2幂级数本节重点是求幂级数的收敛域、求幂级数的分111x1x算性质写出f(x)的展开式．[例7.2.16]式）设u,v都是正项级数，并设unn1n1v,(nN)，则⑴则运算性质写出f(x)的展开式．[例7.2.18]将f(x)nnb收敛，且annn1nnnann又因为an1由于级数2发散，所以级数n 因为原级数为交错级数，且满足莱布尼兹判别法的条件，因此级数为条件收敛．（3）这是任意项级数．考虑每三项加一括号所成的级数(11 五、关于数项级数敛散性的证明题证明某个未给出通项具体表达式的级数收敛或发散这类题，一般用级数收敛的定义、比又由于c11n（Ⅱ）级数n存在；a11nnnn2n不论取何值，总有limu级数发散；limnsin0，故当是整对收敛，说明理由（1）sinn2nn,,为常数；（2）(n12．正项级数的比较判别法定理：（正项级数比较判别法的非极限形x0展开为2为周期的傅里叶级数．16．把f(x)10x,5xn又因为不论取何值，总有limu级数发散；limnsin0，故当是整对收敛，说明理由（1）sinn2nn,,为常数；（2）(n12．正项级数的比较判别法定理：（正项级数比较判别法的非极限形x0展开为2为周期的傅里叶级数．16．把f(x)10x,5xn又因为annnM12n2nnaa，a1nn分析：已知条件中出现高阶导数，可考虑使用泰勒公式完成．xx12由于f(x)在点x0的某一邻域内连续，故存在M0，使得在x0的某小邻域内由比较判别法可知，级数（当n充分大时）xn0，又v1，所以nlimS，故级数u发散，故应选（B）．nL等情形中的一种）；②求幂级数axk(n)的和函数S(x)，都绝对收敛，显然集合2,3,4,e中的点都满足不等式x32，R，则ax2n的收敛半径为．n1n14n0，又v1，所以nlimS，故级数u发散，故应选（B）．nL等情形中的一种）；②求幂级数axk(n)的和函数S(x)，都绝对收敛，显然集合2,3,4,e中的点都满足不等式x32，R，则ax2n的收敛半径为．n1n14．已知幂级数a(x1)nn1nnnnnnnnnn1由根值判别法知，级数(1级数u发散又u是一交错级数，u1ln(1n)0(n)，且uu里叶系数，写出F(x)的傅里叶级数；④利用狄里赫莱又ba0aln(1t)0t0[例7.2.26]设f(x)arctanx3n3又因为f(x)傅里叶级数的和函数S(x)满足：115132x1L级数u发散又u是一交错级数，u1ln(1n)0(n)，且uu里叶系数，写出F(x)的傅里叶级数；④利用狄里赫莱又ba0aln(1t)0t0[例7.2.26]设f(x)arctanx3n3又因为f(x)傅里叶级数的和函数S(x)满足：115132x1L2n1n1nn2nnn困难．不妨先假设级数通项a0(n)，再看由递推公式两端取极限时能否导出矛n0 2n32n3解：⑴当x1时，原级数为1兹判别法”的条件，故收敛；12L1L1 2xL1nx，这是交错级数，且满足“莱布尼12x11Lnx考察级数[1 所以根据正项级数的“比较判别法”的极限形式知，级数[1综上所述，当x1时，级数收敛；当x1时，级数发散．分析：该级数的通项以递推公式给出，这给级数类型的判定以及通项a是否收敛于零带来n盾．一旦产生矛盾，便可确定级数发散．nn实数S(x)，使得S(x)u(x)成立．定义域为I的函数S(1x2n1，则xS(t)dt02n3nn1()n 11x21n1n1n1b)发散(D)设n1nn收敛，则a2，b2均收敛0,n1,2,,L，所以该级数也收敛；当x1时，对应的级数为n21 x2nnnnnnn1实数S(x)，使得S(x)u(x)成立．定义域为I的函数S(1x2n1，则xS(t)dt02n3nn1()n 11x21n1n1n1b)发散(D)设n1nn收敛，则a2，b2均收敛0,n1,2,,L，所以该级数也收敛；当x1时，对应的级数为n21 x2nnnnnnn11x2nnn2a3n从而an13nn32n32nn14232n11an111n1aa11收敛，故级数12（Ⅰ）求anY12(Xn（Ⅱ）由题意S2a2n12a2114a所以S1 433 本节重点是求幂级数的收敛域、求幂级数的和函数、将函数展开成幂级数．7x112x2(x4)112所以f(x)n0)(x(x4)n(x)是以2为周期的连续函数，其傅里叶系数Bn1F(x)si数展开成幂级数反三角型函数f(x)展开成幂级数的一般思路：①证明：由于f(x)在点x0连续，且limx0f(x)x0，所00nnn007x112x2(x4)112所以f(x)n0)(x(x4)n(x)是以2为周期的连续函数，其傅里叶系数Bn1F(x)si数展开成幂级数反三角型函数f(x)展开成幂级数的一般思路：①证明：由于f(x)在点x0连续，且limx0f(x)x0，所00nnn00010002n1．函数项级数的定义2．收敛域3．和函数评注：求函数项级数收敛域时，主要利用收敛域的定义及有关的数项级数的判别法．评注：求函数项级数收敛域时，主要利用收敛域的定义及有关的数项级数的判别法．1．幂级数的定义02．阿贝尔定理⑴如果该幂级数在点x收敛，则对满足xx的一切的x对应的级数⑵如果该幂级数在点x发散，则对满足xx0xx的一切的x对应的级数(x)xx21,(x2)，则f(x)0所以单调减少，由莱布尼，利用级数的性质可知，原级数发散．（4）显然判定数列nsin1x2)]展开成x的幂级数．1，而(1)n13L(2n1)2）由于an1故数列a有下界．1(a1n2n则可知，lima存n00(x)xx21,(x2)，则f(x)0所以单调减少，由莱布尼，利用级数的性质可知，原级数发散．（4）显然判定数列nsin1x2)]展开成x的幂级数．1，而(1)n13L(2n1)2）由于an1故数列a有下界．1(a1n2n则可知，lima存n000000000x处收敛，也不是在整个数轴上收敛，则必定存在一个正数R，它具有下述性质：0x处收敛，定义R．则称上述R为幂级数a(xx)n的收敛半径．称开区间(xR,xR)为幂级数法一：⑴求极限x)n的收敛半径R00nx000nxm010．求下列数项级数的和（1）(1)n1n(2n1)3n（2(x)在xnf(k)(x)0nk0的余项R(x)在I上收敛到，收敛半径R3．又因为级数a(x3)n在x0处收敛，在x6处出现高阶导数，可考虑使用泰勒公式完成．f(x)x0，证明级数10．求下列数项级数的和（1）(1)n1n(2n1)3n（2(x)在xnf(k)(x)0nk0的余项R(x)在I上收敛到，收敛半径R3．又因为级数a(x3)n在x0处收敛，在x6处出现高阶导数，可考虑使用泰勒公式完成．f(x)x0，证明级数n⑴解：⑴1anna则收敛半径为Rm；n法三；⑴求极限000xxm0则收敛半径为Rm．n收敛半径Rnan⑵nnn11⑵收敛半径Rlimnn当x51时，对应级数为n11n1nn1nnx22201收敛半径为R；122义：设函数项级数u(x)的收敛域为I，则任给xI，存在唯一的1[例1.4]判断下列级数是否收敛？若收敛，指明是绝对收敛还较判别法”得u2收敛．从而(1)nu2收敛，故应选（D）．(1a2，所以根据级数的性质可得22n1n1a)从而3522n0nnnn义：设函数项级数u(x)的收敛域为I，则任给xI，存在唯一的1[例1.4]判断下列级数是否收敛？若收敛，指明是绝对收敛还较判别法”得u2收敛．从而(1)nu2收敛，故应选（D）．(1a2，所以根据级数的性质可得22n1n1a)从而3522n0nnnn00xx01024 2n04．幂级数在其收敛区间内可以逐项求导，且求导后所得到的幂级数的收敛半径仍为R．即有5．幂级数在其收敛区间内可以逐项积分，且积分后所得到的幂级数的收敛半径仍为R．即有00n000⑵x4n100x 14n 1在一个正数b,使得ab(aa)（n=1,2,…）,试证明nn兹nn2故由级数敛散的性质可得，原级数发散．（3）不难得到u六、其它[例7.1.16]设正项数列a单调减少，且(1)na1n1n1在一个正数b,使得ab(aa)（n=1,2,…）,试证明nn兹nn2故由级数敛散的性质可得，原级数发散．（3）不难得到u六、其它[例7.1.16]设正项数列a单调减少，且(1)na1n1n1则上述命题中正确的个数为（A）1（B）2（C）3（00000000nn1．函数展开成幂级数的定义n2．展开形式的唯一性则其展开式是唯一的，且七、泰勒级数与麦克劳林级数1．泰勒级数与麦克劳林级数的定义00002．函数展开成泰勒级数的充要条件处的泰勒公式八、函数展开成幂级数的方法叶系数为a(n0,1,2L),b(n11,2,3L)．求F(22-22-2+n的敛散性．其中an4．设a为单调减少的正项另一发散，则原级数发散；法四：将级数并项，若并项后的级数发散较法．取v所以原级数发散．1n，因为limnuvlimn1n02n 叶系数为a(n0,1,2L),b(n11,2,3L)．求F(22-22-2+n的敛散性．其中an4．设a为单调减少的正项另一发散，则原级数发散；法四：将级数并项，若并项后的级数发散较法．取v所以原级数发散．1n，因为limnuvlimn1n02n nnnn (n10(x)n利用泰勒级数的定义及泰勒级数收敛的充要条件，将函数在某个区间上直接展开成指定2．间接法通过一定的运算将函数转化为其它函数，进而利用新函数的幂级数展开将原来的函数展用的幂级数展开式是下列一些常用函数的麦克劳林展开公式．幂级数常用的七个展开式xn11解：由于n15展开成以10为周期的傅里叶级数17．将f(x)x2(0x级数收敛的基本定理定理：设S是正项级数u的部分和数列，则正项对收敛．现x2显然不满足n02，故级数a(xn0nnn1n14n1(1x1)，则S(x)(x4n14n1)101x4lnn12n12015展开成以10为周期的傅里叶级数17．将f(x)x2(0x级数收敛的基本定理定理：设S是正项级数u的部分和数列，则正项对收敛．现x2显然不满足n02，故级数a(xn0nnn1n14n1(1x1)，则S(x)(x4n14n1)101x4lnn12n1202n满足：对一切x2的x值，级数2xn2nnn1212绝对收敛．现x2显然不满足（A）条件收敛（B）绝对收敛（C）发散（D）不定2点收敛，根据阿贝尔定理当x2时，对应的幂级数都绝对收敛，所以当x1时，对应的幂级数绝对收敛，而此时对应级数为a．所以应选（B）nn假设R4．由收敛半径的定义知x1R时，对应的级数都绝对收敛，所以级数在x3处应绝对收敛，矛盾．所以R4．因此收敛半径R4．求幂级数收敛半径的方法我们在常考知识点中介绍过，如果幂级数中的幂次是按自然数an4n1(1x1)，则S(x)(x4n14n1)101x4lnx)n0的函数项级数为x处的n0幂级数．x0时的幂级数为2．)na是交错级数，若lima0，由莱布尼兹判别法可知，该级数收敛，但u发散，所以不正确；关于命题（4），因为wuv(n1002n（4）n2xn4n1(1x1)，则S(x)(x4n14n1)101x4lnx)n0的函数项级数为x处的n0幂级数．x0时的幂级数为2．)na是交错级数，若lima0，由莱布尼兹判别法可知，该级数收敛，但u发散，所以不正确；关于命题（4），因为wuv(n1002n（4）n2xn2n23Rnnnnnnnn，这是交错级数，满足莱布尼兹定理的条件，故收敛；n如果幂级数中的幂次不是按自然数顺序依次递增的（如缺少奇数次幂或缺偶次幂等），这时知识点中介绍的法一与法三）求出幂级数的收敛半径．x)n的收敛半径为R．为了求幂级数的收敛域还需判别在xx0R与xxR处级数（2）（5）(1)n1e的幂次是按自然数顺序依次递增的，其收敛半径可直接按公式计算：aann2nn311nn2nn31nctanxx11x2x21展开成x的幂级数．f(x)11x2(x)是以2为周期的连续函数，其傅里叶系数Bn1F(x)siL00当x0时，称幂级数f(n)(0)n!xnf(0)f(0函数，n1幂级数xn1通项的系数是n的有理分式，应利用逐项求nnn2n2（1）若ab，则Rctanxx11x2x21展开成x的幂级数．f(x)11x2(x)是以2为周期的连续函数，其傅里叶系数Bn1F(x)siL00当x0时，称幂级数f(n)(0)n!xnf(0)f(0函数，n1幂级数xn1通项的系数是n的有理分式，应利用逐项求nnn2n2（1）若ab，则R在x2在x1处，级数成为1nnbnb33在x1处，级数成为1．解：设幂级数xnR1a，R2b．因此幂级数的收敛半径为R1．1若幂级数a(x2)n在x1处收敛，问此级数在x4处是否收敛，式，将ln(1axk)与ln(1bxl)展开；③利用幂级数的数1LL在哪些x处收敛？在哪些x1L1 2x1111L345，发散；⑶当1时，敛散性不确定．n或为，则级数u有4．正项级若幂级数a(x2)n在x1处收敛，问此级数在x4处是否收敛，式，将ln(1axk)与ln(1bxl)展开；③利用幂级数的数1LL在哪些x处收敛？在哪些x1L1 2x1111L345，发散；⑶当1时，敛散性不确定．n或为，则级数u有4．正项级b1n2unnnn2an2a1a1 b．1．1n2nn时，对应的幂级数绝对收敛，所以收敛半径R3；而633R，所以级数a(x3)n在x6处绝对收敛，与已知矛盾．故R3．综上可得，收敛半径R3．nnn评注：函数项级数评注：函数项级数u(x)求收敛域有时也利用变量代换化为幂级数，利用幂级数求收敛域的方法来完成，或者利用数项级数其它判别法、及性质完成．02a4a[(n2)(n1)a2na4a]xnn1所以a2a知f()收敛，所以根据正项级数的比较判别法知，级数f(n1)（1）；（2）解：将f(x)作偶延拓，得到[,(1)n1；n性判别法各项为非负（u0）的级数u称为正项级数．n11．正项nx202a4a[(n2)(n1)a2na4a]xnn1所以a2a知f()收敛，所以根据正项级数的比较判别法知，级数f(n1)（1）；（2）解：将f(x)作偶延拓，得到[,(1)n1；n性判别法各项为非负（u0）的级数u称为正项级数．n11．正项nx2 3nx3n求下列函数项级数的收敛域x2221nnnn以0n1exdxnendxenn由于limn2n2lim12单．对于y(x)的表达式想通过解方程得到非常困难，因为所给方1n12点收敛，根据阿贝尔定理当x2时，对应的幂级数都绝对收ln(1t)0t0[例7.2.26]设f(x)arctanx133以0n1exdxnendxenn由于limn2n2lim12单．对于y(x)的表达式想通过解方程得到非常困难，因为所给方1n12点收敛，根据阿贝尔定理当x2时，对应的幂级数都绝对收ln(1t)0t0[例7.2.26]设f(x)arctanx133n23n2n1n2n1n23n2313n从而幂级数313111求幂级数和函数的基本方法：⑴求出其收敛域；⑵利用幂级数的四则运算性质、逐项求数；⑶对所得到的和函数做相反的分析运算，便得原幂级数的和函数．评注：评注：①若幂级数通项的系数是n的有理分式，一般可用逐项求导来求和函数；②若幂级数通项的系数是n的有理整式，一般可用逐项积分来求和函数．分析：幂级数(2n1)xn通项的系数是n的有理整式，故应利用逐项积分来求和函数，幂级数xn1通项的系数是n的有理分式，应利用逐项求导来求和函数．123．设b0，若级数[ab收敛，证明级数n124．若f(x02n10n111由性质5的“注”可知级数(12n1110n所以必有f(x)0，即级数f(n)是正项级数．n1根据拉格朗R2b．因此幂级数的收敛半径为R1．min(R,R)121m1123．设b0，若级数[ab收敛，证明级数n124．若f(x02n10n111由性质5的“注”可知级数(12n1110n所以必有f(x)0，即级数f(n)是正项级数．n1根据拉格朗R2b．因此幂级数的收敛半径为R1．min(R,R)121m1=x212101x所以和函数为S(x)2（2）limnn12，所以收敛半径为R212nn2n，则xS(x)21故S(x)n2n1x12x2．解：收敛半径为Rlimnnt)cos(nu)]du2A01 1 1212由上述类似方R2b．因此幂级数的收敛半径为R1．min(R,R)121m2)x2n3(2n)!,x(,)．14．[n014(1)n(因为limnnuvlimnn1n4所以原级数收敛．（5）用比 xnt)cos(nu)]du2A01 1 1212由上述类似方R2b．因此幂级数的收敛半径为R1．min(R,R)121m2)x2n3(2n)!,x(,)．14．[n014(1)n(因为limnnuvlimnn1n4所以原级数收敛．（5）用比 xnxxx2n12n令显然又 11 xx 而0 xe222244xe22xe2e2（Ⅰ）求此级数的收敛域2n（Ⅱ）证明此级数满足微分方程yy1（Ⅲ）求此级数的和函数n 2n0（Ⅲ）容易求得上述方程的通解为yCex121)n()4n1,2x2所以f(x)f(0)(1)n11x4037．（1）(2,4)；（2）[3,3)；（3）[2,2]的幂级数．12cos4x，44而cos4x(1)n(4x)2，arctannn1a,必收敛．1)n()4n1,2x2所以f(x)f(0)(1)n11x4037．（1）(2,4)；（2）[3,3)；（3）[2,2]的幂级数．12cos4x，44而cos4x(1)n(4x)2，arctannn1a,必收敛．21．因为axk1在[0，12nnn1n（Ⅰ）证明an2分析：用已知条件推证（Ⅰ）比较简单．对于y(x)的表达式想通过解方程得到非常困难，因为所给方程超出我们所学范围，不过可以通过（Ⅰ）把a的具体表达式求出来，利用已知的常用幂级数展开式把幂级数的和函数写出来．y0011111 1x2n1xex2求数项级数a和的方法之一是利用幂级数的和函数．此方法是：①根据a的特点，满足：S(2)S(2)14nxn2224nxn1四、利用函数以及通项a是否收敛于零带来n盾．一旦产生矛盾，便可确定级数发收敛域求幂级数收敛半径的方法我们在常考知识点中介绍过，如果幂22（C）1,2,116．设f(x)以2为周期的函数，f(x（2）（满足：S(2)S(2)14nxn2224nxn1四、利用函数以及通项a是否收敛于零带来n盾．一旦产生矛盾，便可确定级数发收敛域求幂级数收敛半径的方法我们在常考知识点中介绍过，如果幂22（C）1,2,116．设f(x)以2为周期的函数，f(x（2）（3）x221n+12n02n 3所以S(x)[33x2]6x x2n22n01122n+102n，则xS(x)()n，从而n1[xS(x)]()n1221[例7.2.15]求级数的和．n1解：由于n1令n(n1)(x)sinnx,(0n1x)，(1)k12k11418．当算性质、逐项求导、逐项积分、或变量代换，将幂级数化为常用展开n221112n，则xS(x)()n，从而n1[xS(x)]()n1221[例7.2.15]求级数的和．n1解：由于n1令n(n1)(x)sinnx,(0n1x)，(1)k12k11418．当算性质、逐项求导、逐项积分、或变量代换，将幂级数化为常用展开n2211112n12式的和；②将各个部分分式用或的幂级数展开式展开；③利用幂级数的四则运nn1解：由于令n12nn03031所以S(x)11111311120)F(0)211 22(1)故应选（C）．二、将函数在[l其余项SSn．五、任意项级数及其绝对收敛nn11．条件收敛、列命题中正确的是(A)设正项级数a发散，则a(nN)n1(B2.23]将f(x)xarctanxln解：由于f(x)ar2n110)F(0)211 22(1)故应选（C）．二、将函数在[l其余项SSn．五、任意项级数及其绝对收敛nn11．条件收敛、列命题中正确的是(A)设正项级数a发散，则a(nN)n1(B2.23]将f(x)xarctanxln解：由于f(x)ar2n11将322n1 1112的一般方法是将所给函数在指定区间上展开成傅里叶级数，看它是不x)xx(x)的傅里叶级数展开式为(acosnxn1则其中系延拓的方法，在区间[l,l]外扩充f(x)的定义，使它延拓为.2.19]将函数f(x)lnxx1，在x1处展开成幂级数．的一般方法是将所给函数在指定区间上展开成傅里叶级数，看它是不x)xx(x)的傅里叶级数展开式为(acosnxn1则其中系延拓的方法，在区间[l,l]外扩充f(x)的定义，使它延拓为.2.19]将函数f(x)lnxx1，在x1处展开成幂级数．2xx1x2n1Ⅳ反三角型函数展开成幂级数2，故收敛半径为R于是幂级数的收敛域为(,)．0x4．[例7.,2,3,L)，所以0uwvw，因为v与n1w都收敛，所以由xn的收敛半径为2，则幂级数a(x3)n，故收敛半径为R于是幂级数的收敛域为(,)．0x4．[例7.,2,3,L)，所以0uwvw，因为v与n1w都收敛，所以由xn的收敛半径为2，则幂级数a(x3)n在下列点处必收敛n0(x)dx01(1x)2，x1xx(1,1)，1,1)．1224n14n24Ⅴ其它形式的函数展开成幂级数1(1)n11x2n+(1)n1(1)n1(1)k111(1)n1(1)n11 所以且=x21展开成x的幂级数．xnnn()k换成连续变量x，再用罗必达法则，limxsin(n112n1x2n 1x2nn1n1所以且n1f(x)1+2数的收敛域为[3,3]．（4）此级数缺少x的奇次幂．故需利用()由比较判别法可知，级数n1（当n充分大时）f()绝对收敛nnnn()k换成连续变量x，再用罗必达法则，limxsin(n112n1x2n 1x2nn1n1所以且n1f(x)1+2数的收敛域为[3,3]．（4）此级数缺少x的奇次幂．故需利用()由比较判别法可知，级数n1（当n充分大时）f()绝对收敛n在x0的幂级数展开式为yx26xnn解：依题意有设y在x0展开成幂级数y 1n2n兹nn2故由级数敛散的性质可得，原级数发散．（3）不难得到unkk12．收敛域定义：设u(x)是定义在D上的一个函数项级xx2(2(acosnxbsinnx)，则n1其中的系数b的．[例7.1.15]若f(x)满足：⑴在区间[0,f(x)0解：由于n兹nn2故由级数敛散的性质可得，原级数发散．（3）不难得到unkk12．收敛域定义：设u(x)是定义在D上的一个函数项级xx2(2(acosnxbsinnx)，则n1其中的系数b的．[例7.1.15]若f(x)满足：⑴在区间[0,f(x)0解：由于n22nxxn0的幂级数展开式nnn nnnn211分析：证明恒等式最有力的方法是用拉格朗日中值定理的推论．1n2n对收敛，说明理由（1）sinn2nn,,为常数；（2）(n1级数为交错级数，且满足莱布尼兹判别法的条件，因此级数为条件收1x2)(axn)xaxn1n0即a[(n2)a(n1)a])sinxdx；（3）L(a0)．解：（1）usinn2ns对收敛，说明理由（1）sinn2nn,,为常数；（2）(n1级数为交错级数，且满足莱布尼兹判别法的条件，因此级数为条件收1x2)(axn)xaxn1n0即a[(n2)a(n1)a])sinxdx；（3）L(a0)．解：（1）usinn2ns1n2则三角级数0bnn1n2n1逐项积分的结果呢？于是问题的关键就是如何将被积函数展开成t的幂级数．x xn01n22n．本节重点是傅里叶级数的狄里赫莱定理、将函数展开成傅里叶级数．abnbl径为Rm．[例2.2]求下列幂级数的收敛域n2nn!收敛半径有下述性质：