专题一：求曲线的轨迹方程-学案

专题一：求曲线的轨迹方程课前自主练习：1．如图1，中，已知，，点在轴上方运动，且，则顶点的轨迹方程是．图1图2图3图42．如图2，若圆：上的动点与点连线的垂直平分线交于点，图1图2图3图4则的轨迹方程是．3．如图3，已知点，点在圆上运动，的平分线交于，则的轨迹方程是．4．与双曲线有共同的渐近线，且经过点的双曲线方程为．5．如图4，垂直于轴的直线与轴及抛物线分别交于点、，点在轴上，且点满足，则线段的中点的轨迹方程是．几种常见求轨迹方程的方法：1．直接法：由题设所给（或通过分析图形的几何性质而得出）的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法．直接法求轨迹方程的一般步骤：建系——设点——列式——代换——化简——检验；【例1】（1）求和定圆的圆周的距离等于的动点的轨迹方程；（2）过点作圆：的割线，求割线被圆截得弦的中点的轨迹．解：（1）设动点，则有或．即或．故所求动点的轨迹方程为或．（2）设弦的中点为，连结，则．∵，∴，化简得：．其轨迹是以为直径的圆在圆内的一段弧（不含端点）．【例2】已知直角坐标平面上一点和圆：，动点到圆的切线长等于圆的半径与的和．求动点的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．解：如图，设切圆于，又圆的半径，∴，∴，由已知．设，则，∴，即．可化为．故所求的轨迹是以点为中心，实轴在轴上的双曲线的右支，顶点为，如图．2．定义法：如果动点的轨迹是确定的某种曲线或间接（通过转化）确定的某种曲线，则可根据曲线的定义建立轨迹方程，一般是利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．在运用椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件．用定义法求轨迹方程的基本思路是：①用曲线的定义判断轨迹的形状（定型）；②判断轨迹的位置（定位）；③求曲线的基本量（定量）；④写出轨迹方程．【例3】如图，设是上的动点，另有点，线段的垂直平分线交半径于点，当点在圆周上运动时，求点的轨迹方程．解：连接，∵，∴．又在半径上．∴．，且．由椭圆定义可知：点轨迹是以、为焦点的椭圆．，得：，．从而．故所求椭圆方程为．【例4】已知定圆的半径为，定点与圆的圆心的距离为．又一动圆过定点，且与定圆相切．求动圆圆心的轨迹方程．解：以所在的直线为轴，以的中点为原点建立坐标系，如图．当动圆与定圆外切时，；当动圆与定圆外切时，．由双曲线的定义知动圆圆心的轨迹应是以、为两焦点的双曲线（外切时为右支，内切时为左支）．显然，，又，故．所以所求的点轨迹方程是：．3．动点转移法：若动点随已知曲线上的点的变动而变动，且、可用、表示，则将点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点的轨迹方程．这种方法称为动点转移法（或代换法或相关点法）．【例5】已知定点、为抛物线，上任意一点，点在线段的中点，当点在抛物线上变动时，求点的轨迹方程．解：设点，且设点，则有．∵点是线段的中点．由中点坐标公式得：，∴．将此式代入中，并整理得：，即为所求轨迹方程．它是一条抛物线．【例6】求以轴为准线，离心率为，且过定点的椭圆左顶点的轨迹方程．解：左顶点为，左焦点为，则，，即；又，∴．把，代入得：，即．说明：注意确定圆锥曲线的条件“两点一参数”（焦点与长轴长）确定椭圆与“一点一线一数”（焦点、准线、离心率）确定椭圆．4．待定系数法：当动点的轨迹是确定的某种曲线时，设出这种曲线的方程，然后列方程，求出所设的参数，进而求出方程．如求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求．【例7】若抛物线和以坐标轴为对称轴、实轴在轴上的双曲线仅有两个公共点，又直线被双曲线截得的线段长等于，求此双曲线方程．解：设所求双曲线方程为，将代入整理得：．∵抛物线和双曲线仅有两个公共点，根据它们的对称性，这两个点的横坐标应相等，因此方程应有等根．∴，即．由和得：．由弦长公式得：．即．由得：，．∴双曲线的方程是．5．参数法：当动点的坐标、之间的直接关系不易建立时，可适当地选取中间变量，并用表示动点的坐标、，从而动点轨迹的参数方程消去参数，便可得到动点的的轨迹的普通方程，但要注意方程的等价性，即有的范围确定出、的范围．【例8】抛物线的焦点为，过点作直线交抛物线于不同两点、，以、为邻边作平行四边形，求顶点的轨迹方程．解：设，：，中点为，，，与联立得：．，，．，．，∵，为中点，∴，．消得：．巩固练习：1．平面上和两相交的定圆（半径不等）同时相外切的动圆圆心的轨为（）（A）椭圆的一部分（B）椭圆（C）双曲线的一部分（D）双曲线2．已知动点与定点的距离比动点到轴的距离大，则动点的轨迹（）（A）抛物线（B）抛物线的一部分（C）抛物线和一射线（D）抛物线和一直线3．已知定直线和外一点，过与相切的圆的圆心轨迹是（）（A）抛物线（B）双曲线（C）椭圆（D）直线4．一动圆与两圆和都外切，则动圆圆心轨迹为（）（A）圆（B）椭圆（C）双曲线的一支（D）抛物线5．已知椭圆的焦点是、、是椭圆上的一个动点．如果延长到，使得，那么动点的轨迹是（）（A）圆（B）椭圆（C）双曲线的一支（D）抛物线6．已知点、，动点满足，则点的轨迹是（）（A）圆（B）椭圆（C）双曲线（D）抛物线7．与圆外切，又与轴相切的圆的圆心的轨迹方程是（）（A）（B）和（C）（D）和8．过抛物线的焦点作直线与此抛物线相交于两点、，则线段中点的轨迹方程为（）（A）（B）（C）（D）9．过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于A、B两点，点与点关于轴对称，为坐标原点，若，且，则点的轨迹方程是（）（A）（B）（C）（D）10．已知两点、，点为坐标平面内的动点，满足，则动点的轨迹方程为（）（A）（B）（C）（D）11．与双曲线有共同的渐近线，且经过点的双曲线方程是（）（A）（B）（C）（D）12．设为双曲线上一动点，为坐标原点，为线段的中点，则点的轨迹方程是．13．已知，是圆：（为圆心）上一动点，线段的垂直平分线交于，则动点的轨迹方程为．14．倾斜角为的直线交椭圆于、两点，则线段中点的轨迹方程是．15．求焦点在坐标轴上，中心在原点且经过和两点的椭圆方程．16．已知双曲线与椭圆共焦点，它的一条渐近线方程为，则双曲线的方程是．17．已知是椭圆上的任意一点，从右焦点作的外角平分线的垂线，垂足为，求点的轨迹方程．18．如图，直线：与直线：之间的阴影区域（不含边界）记为，其左半部分记为，右半部分记为．（1）分别用不等式组表示和；（2）若区域中的动点到，的距离之积