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经济数学基础辅导第21讲顾静相5.2微积分基本定理教学要求

熟练掌握运用牛顿—莱布尼茨公式计算定积分．变上限定积分设函数f(x)在区间[a,b]上连续，对于任意的

x

[a,b]，

f(x)在区间[a,x]上也连续，所以函数

f(x)在

[a,x]上也可积．定积分

的值依赖上限

x，因此它是定义在

[a,b]上的

x

的函数．记

，则

(x)称为变上限定积分．

变上限定积分

定理5.1如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则

是以

x为积分上限的定积分，

(x)的导数等于被积函数在积分上限

x处的值．即

．

变上限定积分

定理5.1如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则

是以

x为积分上限的定积分，

(x)的导数等于被积函数在积分上限

x处的值．即

．

由定理5.1可知：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则函数就是f(x)在区间[a,b]上的一个原函数．

变上限定积分例1求．变上限定积分例1求．解当

x0时，此极限为“

”型不定式，利用洛必达法则，有===．变上限定积分例2计算．变上限定积分例2计算．解设

u=x2，则

．即

是

x的复合函数，利用复合函数求导公式得，==

．变上限定积分

一般地，如果

g(x)可导，则.在计算有关导数时，可把上述结果作为公式使用．微积分基本定理

定理5.2设函数f(x)在区间[a,b]上连续，F(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数，则

．

微积分基本定理定理5.2设函数f(x)在区间[a,b]上连续，F(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数，则

．上式称为牛顿－莱布尼茨公式，定理5.2通常称为微积分基本公式．

它揭示了定积分与不定积分之间的联系．牛顿－莱布尼兹公式则为定积分的计算提供了有效的计算方法．微积分基本定理求函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，只需求出f(x)在区间[a,b]上的一个原函数F(x)，然后计算F(b)-F(a)就可以了，在求函数f(x)的原函数F(x)时，可直接利用基本积分表．定积分计算例3计算定积分．定积分计算例3计算定积分．解因为

是e2x的一个原函数，由牛顿－莱布尼茨公式得

．定积分计算例4计算定积分，其中

．定积分计算例4计算定积分，其中

．解因为f(x)在[]上不连续，但是分别在区间[]和[0,1]上连续，利用定积分对区间的可加性，有定积分计算解因为f(x)在[]上不连续，但是分别在区间[]和[0,1]上连续，利用定积分对区间的可加性，有定积分计算例5计算定积分．定积分计算例5

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