【解析】广东省东莞四中2019-2020学年高一下学期6月段考数学试题

东莞四中20192020学年第二学期高一年级6月段考数学试题一､单选题1.下列函数中，周期为的奇函数是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】通过判断四个函数的周期性、奇偶性，可选出答案.【详解】函数的周期为，不符合题意；函数是偶函数，不符合题意；函数的周期为，不符合题意；是周期为的奇函数，符合题意.故选：D.【点睛】本题考查三角函数的周期性与奇偶性，属于基础题.2.圆心为，且与x轴相切的圆的标准方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由于圆心为，圆与x轴相切，所以可得圆的半径为2，从而可得圆的标准方程.【详解】解：因为圆心为，圆与x轴相切，所以圆的半径为2，所以圆的标准方程为，故选：B【点睛】此题考查由圆心和半径写圆的标准方程，属于基础题.3.（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用两角和差正弦公式化简求得结果.【详解】.故选：.【点睛】本题考查利用两角和差正弦公式求值的问题，属于基础题.4.已知向量，不共线，设，，若，则实数k的值为（）A. B.1 C. D.1【答案】A【解析】【分析】由，可知存在实数，使得，进而列出式子，可求出实数k的值.【详解】由题意，可知，因为，所以存在实数，使得，即，整理得，即.故选：A.【点睛】本题考查共线向量定理的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.5.某高中学校三个年级共有学生2800名，需要用分层抽样的方法抽取一个容量为40的样本，已知高一年级有学生910名，高二年级抽出的样本人数占样本总数的，则抽出的样本中有高三年级学生人数为（）A.14 B.15 C.16 D.17【答案】B【解析】【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得出结论.【详解】解：高二年级人数为人，则高三人数人，则高三抽取的人数为人.故选：B.【点睛】本题主要考查分层抽样的应用，属于基础题.6.有五条线段长度分别为，从这5条线段中任取3条，则所取3条线段能构成一三角形的概率A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】从五条线段中任取三条共有种可能，其中能构成三角形的有，，三种可能，故所取三条线段能构成一个三角形的概率为,故选B由题意知本题是一个古典概型.7.若则的值为（）A.1 B.2 C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】化简可知,利用同角三角函数的基本关系式,求得,即可得出结果.【详解】又，故选:B.【点睛】本小题主要考查利用同角三角函数的基本关系式进行化简求值,考查化归与转化的数学思想方法,属于基础题.8.在中，P是AB上的一点，若，且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由平面向量加减法法则对化简，再与对比可求出的值.【详解】解：由，得，所以，所以，所以，故选：A【点睛】此题考查平面向量加减法法则，属于基础题.9.已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】时，，可知，从而可列出式子，求出的取值范围.【详解】由题意，时，，因为函数在区间上单调递减，所以，则，解得，所以，解得，因为，所以，.故选：D.【点睛】本题考查正弦函数单调性的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.10.已知圆，圆，分别为圆上的点，为轴上的动点，则的最小值为()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出圆关于轴的对称圆的圆心坐标A，以及半径，然后求解圆A与圆的圆心距减去两个圆的半径和，即可求得的最小值，得到答案．【详解】如图所示，圆关于轴的对称圆的圆心坐标，半径为1，圆的圆心坐标为,，半径为3，由图象可知，当三点共线时，取得最小值，且的最小值为圆与圆的圆心距减去两个圆的半径之和，即，故选D．【点睛】本题主要考查了圆的对称圆的方程的求解，以及两个圆的位置关系的应用，其中解答中合理利用两个圆的位置关系是解答本题的关键，着重考查了数形结合法，以及推理与运算能力，属于基础题．二､多选题11.下列命题中，结论正确的有（）A.B.若，则C若，则A､B､C､D四点共线；D.在四边形中，若，，则四边形为菱形.【答案】BD【解析】【分析】根据平面向量的数量积及平行向量共线定理判断可得；【详解】解：对于A，，故A错误；对于B，若，则，所以，，故，即B正确；对于C，，则或与共线，故C错误；对于D，在四边形中，若，即，所以四边形是平行四边形，又，所以，所以四边形是菱形，故D正确；故选：BD【点睛】本题考查平行向量的数量积及共线定理的应用，属于基础题.12.已知函数，下列结论正确的有（）A.函数是奇函数；B.函数是周期函数，且周期为2；C.函数的最小值为2；D.函数的图象关于直线对称.【答案】BCD【解析】【分析】根据三角函数的性质对选项逐一判断即可.【详解】解：对于，因为，所以不是奇函数，故选项错误；对于，，故是周期函数，2为的一个周期，故选项正确；对于，，故，故选项正确；对于，因为所以，所以函数的图象关于直线对称.故选项正确.故选：BCD.【点睛】本题主要考查三角函数的周期、最值、对称轴、奇偶性，属于中档题.三､填空题13.已知，，若，则实数________．【答案】1【解析】【分析】根据向量垂直的坐标表示求解即可.【详解】即故答案为：【点睛】本题主要考查了由向量垂直求参数，属于基础题.14.空间两点，之间的距离为，则实数____________.【答案】【解析】【分析】利用空间中两点间距离公式可直接构造方程求得结果.【详解】，，解得：.故答案为：.【点睛】本题考查空间中两点间距离公式的应用，属于基础题.15.____________.【答案】【解析】【分析】直接根据两角和的正切公式计算可得；【详解】解：故答案为：【点睛】本题考查两角和的正切公式的应用，属于基础题.16.把函数的图象向右平移，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的，则所得图象的函数解析式为____________，其对称轴方程为____________.【答案】(1).(2).【解析】【分析】根据三角函数左右平移和伸缩变换原则可得到所求函数解析式；令，求得即为所求对称轴方程.【详解】将向右平移得：，将横坐标缩短到原来的，得到所求函数解析式为；令，解得：，所求对称轴方程为.故答案为：；.【点睛】本题考查三角函数的平移和伸缩变换、正弦型函数对称轴方程的求解问题；求解正弦型函数对称轴的常用方法是整体对应的方式，结合正弦函数的性质来进行求解.四､解答题17.已知x是第四象限角，且.（1）求，的值；（2）求的值.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）由，并结合，可求出和，再根据x是第四象限角，可求出，的值；（2）结合三角函数诱导公式，对原式进行化简，可求出答案.【详解】（1）由，得，又，，解得，又x是第四象限角，，；（2），，，原式.【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系、三角函数诱导公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.18.已知单位向量，，且，求：（1）向量，的夹角；（2）；（3）若向量与向量垂直，求实数k的值.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）给两边平方化简，求出，然后利用向量的夹角公式求解即可；（2）给平方化简，再开方可得结果；（3）由向量与向量垂直，得，化简后可求出k的值.【详解】解：（1）设向量的夹角为；由已知得，；；；；；.（2）；（3）向量与向量垂直，.，解得.【点睛】此题考查向量的夹角、向量的模、两向量垂直的关系等知识，考查了计算能力，属于基础题.19.某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，所得数据如下表所示：x681012y2356（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；（2）试根据最小二乘法原理，求出y关于x的线性回归方程，并在给定的坐标系中画出回归直线；（3）试根据（2）求出的线性回归方程，预测记忆力为9的学生的判断力.参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公式：，.【答案】（1）见解析；（2）线性回归方程：，图形见解析；（3）【解析】【分析】（1）根据表中数据可画出散点图；（2）根据表中数据，分别求出，，，，代入公式中，可求出，再由，可求出，从而可得到线性回归方程；（3）根据回归方程，将代入，可求出答案.【详解】（1）散点图如下图所示：（2），，，，，，故线性回归方程为，图形见上图.（3）由题意，该同学的记忆力为9，则预测他的判断力为：，预测这位同学的判断力大约为4.【点睛】本题考查散点图，考查回归直线方程，考查利用回归方程对总体进行估计，考查学生的计算求解能力，属于中档题.20.某校从参加高一年级期中考试的学生中抽出60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段，…，，，然后画出如下部分频率分布直方图.观察图形信息，回答下列问题：（1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）估计这次考试的及格率（60分及60分以上为及格）和平均分；（3）把从分数段选取的最高分的两人组成B组，分数段的学生组成C组，现从B，C两组中选两人参加科普知识竞赛，求这两个学生都来自C组的概率.【答案】（1）0.3；（2）71；（3）【解析】【详解】试题分析：（1）频率分布直方图中每个小长方形的面积等于该组的频率，且各组的频率之和等于1，所以设第四组频率为x，（0.01+0.015×2+0.025+0.005）×10+x=1，解得：x=0.3.所以第四组频率为0.3.于是可以补全频率分布直方图；（2）60分及60分以上为及格，所以为频率分布直方图中的后四组，即第三、四、五、六组，这四组频率和为0.15+0.3+0.25+0.05=0.75，所以及格率为75%，平均分为各组数据的中点值乘以该组的频率之和，即平均分为45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71；（3）本问考查古典概型，设B组两人为、，分数段的学生人数为：人，即C组只有3人，设这3人为、、，则从B、C两组的5人中抽选2人去参加竞赛的基本事件有：（b1,b2）（b1,c1）,（b1,c2）,（b1,c3）,（b2,c1）,（b2,c2）,（b2,c3）,（c1,c2）,（c1,c3）,（c2,c3,则包含的基本事件有（c1,c2）,（c1,c3）,（c2,c3）共3种.因此.故选中的2人都来自C组的概率为.试题解析：（1）设第四组的频率为x，则根据频率分布直方图可有：，解得：x=0.3.所以第四组频率为0.3.频率分布直方图如下：所以及格率为75%平均分为：45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71（3）分数段的学生人数为：人，即C组只有3人；把从B组抽取的2人记为、；组的3人记为、、，则从B、C两组的5人中抽选2人去参加竞赛的基本事件有：（b1,b2）（b1,c1）,（b1,c2）,（b1,c3）,（b2,c1）,（b2,c2）,（b2,c3）,（c1,c2）,（c1,c3）,（c2,c3,则包含的基本事件有（c1,c2）,（c1,c3）,（c2,c3）共3种.因此.故选中的2人都来自C组的概率为.考点：1.频率分布直方图；2.古典概型．21.已知函数.（1）求函数的单调递增区间；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）首先由辅助角公式可得，再根据余弦函数的性质计算可得；（2）由可得，再根据同角三角函数的基本关系可得，而根据两角和的余弦公式计算可得；【详解】解：（1），令，解得，函数的单调递增区间为.（2），，，，又，，，.【点睛】本题考查三角恒等变换及三角函数的性质的应用，属于中档题.22.已知点P(2,2),圆，过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.(1)求点M的轨迹方程;(2)当|OP|=|OM|时,求l的方程及△POM的面积.【答案】(1)；(2)直线的方程为，的面积为.【解析】【分析】求得圆的圆心和半径.（1）当三点均不重合时，根据圆的几何性质可知，是定点，所以的轨迹是以为直径的圆（除两点），根据圆的圆心和半径求得三点有重合的情形时，的坐标满足上述求得的的轨迹方程.（2）根据圆的几何性质（垂径定理），求得直线的斜率，进而求得直线的面积.【详解】圆，故圆心为，半径为.(1)当C,M,P三点均不重合时,∠CMP=90°,所以点M的轨迹是以线段PC为直径的圆(除去点P,C),线段中点为，，故的轨迹方程为(x1)2+(y3)2=2(x≠2,且y≠2或x≠