2021-2022学年重庆市北碚区西南大学附中九年级（下）期中数学试卷

第1页（共1页）2021-2022学年重庆市北碚区西南大学附中九年级（下）期中数学试卷一、选择题：本大题12个小题，每小题4分，共48分.在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。1．（4分）2的绝对值是（）A．﹣2 B．2 C．﹣ D．2．（4分）2022年北京冬奥会完美落幕，吉祥物冰墩墩受到了人们的喜爱．其中一款摇摆手摆件，在奥林匹克官方旗舰店的月销量约90万个．将数据90万用科学记数法表示为（）A．9×104 B．9×105 C．9×106 D．9×1073．（4分）中国的华容道，法国的独立钻石棋，匈牙利的魔方，并称为智力游戏界的三大不可思议．下列魔方中，主视图形如三角形的是（）A． B． C． D．4．（4分）如图，在平面直角坐标系中，将△OAB以原点为位似中心放大后得到△OCD，若A（1，0），C（3，0），则△OAB与△OCD的面积比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：95．（4分）关于抛物线y＝﹣3（x+1）2+1的图象，下列说法错误的是（）A．开口向下 B．对称轴是直线x＝﹣1 C．顶点坐标为（1，1） D．与x轴有两个交点6．（4分）下列计算中，正确的是（）A．3+＝3 B．÷＝7 C．×＝5 D．6﹣2＝47．（4分）如图，AC是⊙O的直径，AB，BC是⊙O的弦，CD是⊙O的切线，C为切点，OD与⊙O交于点E．若点C为的中点，∠D＝32°，则∠ACB的度数为（）A．56° B．58° C．61° D．68°8．（4分）小李和小明分别从学校和图书馆同时出发，沿同一条路相向而行，小李骑自行车以250m/min的速度直接去图书馆，小明一开始步行，步行一段时间后，改为跑步前进，到学校的时候恰好用时50min．两人离学校的距离y（单位：m）与时间x（单位：min）之间的函数关系如图所示．下列描述错误的是（）A．学校与图书馆的距离为7500m B．小李从学校到图书馆的时间为30min C．小明步行的速度为220m/min D．当x＝min时，两人相遇9．（4分）按如图所示的程序进行计算，若输入x的值是3，则输出y的值为1．若输出y的值为3，则输入x的值是（）A．7 B．﹣ C．7或﹣ D．无法确定10．（4分）如图，菱形ABCD的对角线交于点O，过点A作AE⊥CD于点E，连接OE．若AB＝3，OE＝，则DE的长度为（）A． B． C． D．11．（4分）若关于x的一元一次不等式组的解集是x＞4，且关于y的分式方程﹣＝3有整数解，则符合条件的所有整数a的和为（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣1 D．012．（4分）已知正整数a，b，c，d满足a＜b＜c＜d，且a+b+c+d＝d2﹣c2+b2﹣a2，关于这个四元方程下列说法正确的个数是（）①a＝1，b＝2，c＝3，d＝4是该四元方程的一组解；②连续的四个正整数一定是该四元方程的解；③若a＜b＜c＜d＜10，则该四元方程有21组解；④若a+b+c+d＝2022，则该四元方程有504组解．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分。请将每小题的答案直接填在答题卡对应的横线上13．（4分）计算sin30°++2﹣1＝．14．（4分）现有四张正面分别标有数字﹣2，﹣1，0，1的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们的背面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数字．前后两次抽取的数字分别记为m，n．则点P（m，n）出现在第二象限的概率为．15．（4分）如图，在矩形ABCD中，BC＝1，AB＝2．以点A为圆心，AB的长为半径画弧交DC于点F．以点D为圆心，DA的长为半径画弧交DC于点E．则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）16．（4分）小李和小张一起承包36亩的土地作为果园基地．他们将36亩土地分成一号、二号、三号区域，三个区域的土地面积均为整数亩，分别用于种植苹果树、桃树、梨树其中的一种（每块区域可任意选择三种果树的一种，同一块区域只能种同一种果树）．小李和小张提出两种种植方案，小李的方案为：在一号区域种苹果、二号区域种桃树、三号区域种梨树；小张的方案为：在一号区域种苹果、在二号区域种梨树、在三号区域种桃树，每种树苗按亩计价，且单价为整数，苹果树苗每亩100元，桃树苗比梨树苗贵，且每亩差价不大于14元，不小于8元，苹果树苗占整个种植树苗的十二分之五，小李方案中，桃树和梨树共花费1590元，小张的方案比小李的方案少花30元．应如何安排三个区域种植树苗的类型，可以使花费最少，最少花费为元．三、解答题：本大题2小题，每小题8分，共16分。解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。17．（8分）计算：（1）（x+y）2﹣y（x+y）；（2）．18．（8分）在▱ABCD中，BE⊥CD于点E．（1）尺规作图：在AB上取一点F，使DA＝DF，连接DF，过点D作AB的垂线，垂足为G．（不写作法，不下结论，保留作图痕迹）；（2）在（1）所作的图形中，证明CE＝AF．请完成下列证明过程：证明：∵DA＝DF且DG⊥AB∴∠AGD＝90°，AG＝AF（）（填写推理依据）∵四边形ABCD是平行四边形∴∠A＝，AD＝BC∵BE⊥CD∴∠CEB＝90°在△ADG和△CBE中∠AGD＝∠CEB∠A＝∠CAD＝BC∴△ADG≌△CBE（）∴CE＝∴CE＝AF．四、解答题：本大题7小题，每小题10分，共70分。解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。19．（10分）2022年3月11日晚，重庆新增3例本土新冠肺炎确诊病例，疫情发生后，重庆某中学高度重视，积极配合市政府的防疫工作，当晚立即在微信上的家长群发布疫情情况统计表，对学生及家长进行摸排．3月12日上午8点，学校防疫小组从该学校的八年级和九年级中各随机抽取了15个班级，对班级填报人数情况进行收集、整理、分析后得到如下信息．八年级15个班级填报人数分别为：45，42，41，52，50，53，55，52，52，50，52，43，49，51，48．九年级15个班级填报人数条形统计图如图：抽取的八、九年级的班级填报人数的平均数、众数、中位数及极差如下表所示：年级平均数众数中位数极差八年级49a50c九年级49.7549b5根据以上信息，解答以下问题：（1）直接写出上表中a，b，c的值：a＝；b＝；c＝；（2）你认为该校八年级和九年级中哪个年级的填报情况更好？请说出你的理由；（3）填报人数达到或超过50人的班级，视为“防疫积极班级”，若该校有90个班级，试估算该校“防疫积极班级”有多少个？20．（10分）如图是某人行天桥的示意图，坡面AB的长度为10米，坡度为1：．为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡而AC的坡度为1：．（1）求新坡面AC的长度；（2）若需在C点的左侧留出3米的通道，判断距离B点5米的文化墙PM是否需要拆除？请说明理由．（参考数据：≈1.7）21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝mx+n（m≠0）与反比例函数y＝（k≠0）交于A，B（﹣3，﹣2）两点，其中点A的横坐标为1．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）将一次函数向下平移8个单位长度后，与x轴交于点C，连接CA，CB，求△ABC的面积；（3）请结合图象，直接写出不等式mx+n≥的解集．22．（10分）某玩具店两周前以40元一个的价格购进一批玩偶，原定以50%的利润率定价，但由于销路不好导致商品积压，于是在周末调价时打折促销，通过两次打折调价，每次打折力度相同，现在的售价为每个48.6元，（1）请问该批玩偶每次打几折？（2）若玩偶库存共20个，计划通过两次相同力度打折调价，清空所有库存，并保证两次降价后销售的总利润不少于200元，则第一次降价至少售出多少件玩偶，才可以进行第二次降价？23．（10分）对于一个各个数位不为0的三位数，从它的百位、十位、个位上任取两个数字可生成一个两位数，那么这个三位数可以生成6个两位数，称这6个两位数为原来三位数的“次生数”．例如：三位数123的6个“次生数”为12，13，21，23，31，32．将一个两位数m的十位数字乘以8，再加上m的个位数字，得到的结果称为m的“八一数”，记作F（m）．例如：m＝23，因为2×8+3＝19，所以23的“八一数”是19，记作F（23）＝19，将一个三位数n的所有“次生数”的“八一数”的和记为H（n），例如：H（123）＝F（12）+F（13）+F（21）+F（23）+F（31）+F（32）＝10+11+17+19+25+26＝108．（1）计算H（857）；（2）证明：任意一个三位数的所有“次生数”的“八一数”的和能被18整除；（3）已知一个三位数n＝100a+20+3c，其中1≤a≤5，1≤c≤5且a，c是整数，H（n）是完全平方数，求出所有满足条件的三位数n．24．（10分）如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝﹣x+4的交点分别位于x轴、y轴上的A、B两点，与x轴的另一交点为C（﹣2，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，连接BC，点P为AB上方抛物线上一动点，过点P作PQ∥BC交AB于点Q，过点P作PR⊥x轴交AB于点R．求△PQR周长最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）问条件下，当△PQR周长最大时，将△PQR绕点R顺时针旋转n°（0＜n＜90），当旋转过程中，PR⊥AB时，记此时三角形为△P1Q1R1，再将△P1Q1R1沿直线AB进行翻折得到△P2Q2R2，将△P2Q2R2沿直线AB进行平移，在平移过程中，若点P2恰好在抛物线上，记此时的三角形为△P3Q3R3，请直接写出此时P3的坐标．25．（10分）如图1，△ABC中，AB＝BC，AB⊥BC，△DEB中，BD⊥BE，点C是△DEB中DE边上一点，点F是DE下方一点，连接DF、EF、BF，BF交AC于点G，∠AEC＝∠DFE＝90°．（1）若∠AGB＝60°，AB＝2，求CG长度．（2）若DF＝3DC，证明：3AE+EF＝BF．（3）如图2，将△EDF沿EF翻折得到△ED'F，过点D作DM⊥D'E，在线段ED'上截取EN＝DM，连接FN，若EF＝2，求FN的最小值．

2021-2022学年重庆市北碚区西南大学附中九年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题12个小题，每小题4分，共48分.在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。1．（4分）2的绝对值是（）A．﹣2 B．2 C．﹣ D．【解答】解：2的绝对值是2．故选：B．2．（4分）2022年北京冬奥会完美落幕，吉祥物冰墩墩受到了人们的喜爱．其中一款摇摆手摆件，在奥林匹克官方旗舰店的月销量约90万个．将数据90万用科学记数法表示为（）A．9×104 B．9×105 C．9×106 D．9×107【解答】解：90万＝900000＝9×105．故选：B．3．（4分）中国的华容道，法国的独立钻石棋，匈牙利的魔方，并称为智力游戏界的三大不可思议．下列魔方中，主视图形如三角形的是（）A． B． C． D．【解答】解：观察图形可知，上列魔方中，主视图形如三角形的是选项C．故选：C．4．（4分）如图，在平面直角坐标系中，将△OAB以原点为位似中心放大后得到△OCD，若A（1，0），C（3，0），则△OAB与△OCD的面积比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9【解答】解：∵A（1，0），C（3，0），∴OA＝1，OC＝3，∵△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD，∴△OAB与△OCD的相似比是OA：OC＝1：3，∴△OAB与△OCD的面积的比是1：9．故选：D．5．（4分）关于抛物线y＝﹣3（x+1）2+1的图象，下列说法错误的是（）A．开口向下 B．对称轴是直线x＝﹣1 C．顶点坐标为（1，1） D．与x轴有两个交点【解答】A．抛物线y＝﹣3（x+1）2+1图象开口向下，故A选项不符合题意；B．对称轴是直线x＝﹣1，故选项B不符合题意；C．抛物线y＝﹣3（x+1）2+1图象的顶点坐标为（﹣1，1），故C选项符合题意；D．当y＝0时，﹣3（x+1）2+1＝﹣3x2﹣6x﹣2＝0，△＝36﹣24＝12＞0，此方程有2个不相等的实数解，所以抛物线与x轴有2个交点，故D选项不符合题意；故选：C．6．（4分）下列计算中，正确的是（）A．3+＝3 B．÷＝7 C．×＝5 D．6﹣2＝4【解答】解：A.3+无法合并，故此选项不合题意；B.÷＝，故此选项不合题意；C.×＝5，故此选项符合题意；D.6﹣2＝4，故此选项不合题意；故选：C．7．（4分）如图，AC是⊙O的直径，AB，BC是⊙O的弦，CD是⊙O的切线，C为切点，OD与⊙O交于点E．若点C为的中点，∠D＝32°，则∠ACB的度数为（）A．56° B．58° C．61° D．68°【解答】解：∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，∵∠D＝32°，∴∠COD＝90°﹣32°＝58°，∵点C为的中点，∴＝，∴∠BAC＝∠COD＝29°，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∴∠ACB＝90°﹣29°＝61°，故选：C．8．（4分）小李和小明分别从学校和图书馆同时出发，沿同一条路相向而行，小李骑自行车以250m/min的速度直接去图书馆，小明一开始步行，步行一段时间后，改为跑步前进，到学校的时候恰好用时50min．两人离学校的距离y（单位：m）与时间x（单位：min）之间的函数关系如图所示．下列描述错误的是（）A．学校与图书馆的距离为7500m B．小李从学校到图书馆的时间为30min C．小明步行的速度为220m/min D．当x＝min时，两人相遇【解答】解：A．由图象可得，学校与图书馆的距离为7500m，故A正确，不符合题意；B．小李从学校到图书馆的时间为x＝7500÷250＝30（min），故B正确，不符合题意；C．小明步行的速度为（7500﹣5500）÷25＝80m/min，故C错误，符合题意；D．根据题意可知，小明步行时两人相遇，∴250x+80x＝7500，解得x＝，∴当x＝min时，两人相遇．故选：C．9．（4分）按如图所示的程序进行计算，若输入x的值是3，则输出y的值为1．若输出y的值为3，则输入x的值是（）A．7 B．﹣ C．7或﹣ D．无法确定【解答】解：∵输入x的值是3≥﹣1，且输出y的值为1，∴1＝，解得b＝1，∴当x≥﹣1时，y＝，当x＜﹣1时，y＝﹣3x+2，若输出y的值为3，①设x≥﹣1，则＝3，解得x＝7，而7≥﹣1，∴此时输入的x是7；②设x＜﹣1，则﹣3x+2＝3，解得x＝﹣，∵﹣＞﹣1，∴x＝﹣不符合题意，综上所述，x＝7，故选：A．10．（4分）如图，菱形ABCD的对角线交于点O，过点A作AE⊥CD于点E，连接OE．若AB＝3，OE＝，则DE的长度为（）A． B． C． D．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴CD＝AD＝AB＝3，OA＝OC，OB＝OD，BD⊥AC，∵AE⊥CD，∴∠AED＝∠AEC＝90°，∴AC＝2OE＝2，∴OA＝AC＝，在Rt△AOB中，由勾股定理得：OB＝＝＝，∴BD＝2OB＝2，∵S菱形ABCD＝CD•AE＝AC•BD＝×2×2＝2，∴AE＝，∴DE＝＝＝，故选：A．11．（4分）若关于x的一元一次不等式组的解集是x＞4，且关于y的分式方程﹣＝3有整数解，则符合条件的所有整数a的和为（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣1 D．0【解答】解：，由①得x＞4，由②得x≥2a﹣2，∵关于x的一元一次不等式组的解集是x＞4，∴2a﹣2≤4，∴a≤3，解关于y的分式方程﹣＝3得y＝，∵为整数，a为整数，且≠2，∴a﹣2可以取﹣6，﹣2，﹣1，1，2，3，6，对应a的值为﹣4，0，1，3，4，5，8，∵a≤3，∴a可取的值为﹣4，0，1，3，∴符合条件的所有整数a的和为﹣4+0+1+3＝0，故选：D．12．（4分）已知正整数a，b，c，d满足a＜b＜c＜d，且a+b+c+d＝d2﹣c2+b2﹣a2，关于这个四元方程下列说法正确的个数是（）①a＝1，b＝2，c＝3，d＝4是该四元方程的一组解；②连续的四个正整数一定是该四元方程的解；③若a＜b＜c＜d＜10，则该四元方程有21组解；④若a+b+c+d＝2022，则该四元方程有504组解．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵a＝1，b＝2，c＝3，d＝4，∴a+b+c+d＝1+2+3+4＝10，d2﹣c2+b2﹣a2＝42﹣32+22﹣12＝16﹣9+4﹣1＝10，∴a+b+c+d＝d2﹣c2+b2﹣a2，∴a＝1，b＝2，c＝3，d＝4是该四元方程的一组解；故①正确；设a＝n，则b＝n+1，c＝n+2，d＝n+3，∴a+b+c+d＝4n+6，d2﹣c2+b2﹣a2＝4n+6，∴a+b+c+d＝d2﹣c2+b2﹣a2，∴连续的四个正整数一定是该四元方程的解；故②正确；∵正整数a，b，c，d满足a＜b＜c＜d，且a+b+c+d＝d2﹣c2+b2﹣a2中连续的四个正整数一定是该四元方程的解；∴a＝1，b＝2，c＝3，d＝4；a＝2，b＝3，c＝4，d＝5；a＝3，b＝4，c＝5，d＝6；a＝4，b＝5，c＝6，d＝7；a＝5，b＝6，c＝7，d＝8；a＝6，b＝7，c＝8，d＝9；∴当a＜b＜c＜d＜10，则该四元方程有6组解；故③错误；∵连续的四个正整数一定是该四元方程的解，设a＝n，则b＝n+1，c＝n+2，d＝n+3，∴a+b+c+d＝n+n+1+n+2+n+3＝4n+6，∵a+b+c+d＝2022，∴4n+6＝2022，∴n＝504，∴a＝504，b＝505，c＝506，d＝507是该四元方程的一组解，并非有504组解，故④错误；综上所述，①②正确．故选：B．二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分。请将每小题的答案直接填在答题卡对应的横线上13．（4分）计算sin30°++2﹣1＝4．【解答】解：sin30°++2﹣1＝+3+＝4．故答案为：4．14．（4分）现有四张正面分别标有数字﹣2，﹣1，0，1的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们的背面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数字．前后两次抽取的数字分别记为m，n．则点P（m，n）出现在第二象限的概率为．【解答】解：画树状图为：共有16种等可能的结果数，其中点P（m，n）在第二象限的结果数为2，所以点P（m，n）在第二象限的概率＝．故答案为：．15．（4分）如图，在矩形ABCD中，BC＝1，AB＝2．以点A为圆心，AB的长为半径画弧交DC于点F．以点D为圆心，DA的长为半径画弧交DC于点E．则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）【解答】解：连接AF，如右图所示，∵四边形ABCD是矩形，∴CD∥AB，∠D＝90°，∵BC＝1，AB＝2，AF＝AB，∴AF＝2，∴sin∠AFD＝，DF＝＝＝，∴∠AFD＝30°，∵DC∥AB，∴∠AFD＝∠FDB＝30°，∴S阴影＝S△AFD+S扇形ABF﹣S扇形ADE＝+﹣＝+﹣＝，故答案为：．16．（4分）小李和小张一起承包36亩的土地作为果园基地．他们将36亩土地分成一号、二号、三号区域，三个区域的土地面积均为整数亩，分别用于种植苹果树、桃树、梨树其中的一种（每块区域可任意选择三种果树的一种，同一块区域只能种同一种果树）．小李和小张提出两种种植方案，小李的方案为：在一号区域种苹果、二号区域种桃树、三号区域种梨树；小张的方案为：在一号区域种苹果、在二号区域种梨树、在三号区域种桃树，每种树苗按亩计价，且单价为整数，苹果树苗每亩100元，桃树苗比梨树苗贵，且每亩差价不大于14元，不小于8元，苹果树苗占整个种植树苗的十二分之五，小李方案中，桃树和梨树共花费1590元，小张的方案比小李的方案少花30元．应如何安排三个区域种植树苗的类型，可以使花费最少，最少花费为2910元．【解答】解：∵苹果树苗占整个种植树苗的十二分之五，∴一号区域面积为36×＝15（亩），∴二号、三号区域共36﹣15＝21（亩），设二号区域x亩，则三号区域（21﹣x）亩，设桃树每亩a元，梨树每亩b元，根据题意可得：，①﹣②得：（a﹣b）（2x﹣21）＝30，∵8≤a﹣b≤14，a、b、x都是整数，∴a﹣b、2x﹣21是30的因数，∴a﹣b＝10，2x﹣21＝3，∴x＝12，a＝b+10，把x＝12代入①得12a+9b＝1590，∴12（b+10）+9b＝1590，解得b＝70，∴a＝80，∴二号区域12亩，则三号区域9亩，桃树每亩80元，梨树每亩70元，∴面积最大的一号区域15亩种植每亩70元的梨树，面积最小的三号区域9亩种植每亩100元的苹果树，可以使花费最少，最少花费为15×70+9×100+12×80＝2910（元），故答案为：2910．三、解答题：本大题2小题，每小题8分，共16分。解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。17．（8分）计算：（1）（x+y）2﹣y（x+y）；（2）．【解答】解：（1）原式＝x2+2xy+y2﹣xy﹣y2＝x2+xy．（2）原式＝÷＝÷＝•＝．18．（8分）在▱ABCD中，BE⊥CD于点E．（1）尺规作图：在AB上取一点F，使DA＝DF，连接DF，过点D作AB的垂线，垂足为G．（不写作法，不下结论，保留作图痕迹）；（2）在（1）所作的图形中，证明CE＝AF．请完成下列证明过程：证明：∵DA＝DF且DG⊥AB∴∠AGD＝90°，AG＝AF（①）（填写推理依据）∵四边形ABCD是平行四边形∴∠A＝②，AD＝BC∵BE⊥CD∴∠CEB＝90°在△ADG和△CBE中∠AGD＝∠CEB∠A＝∠CAD＝BC∴△ADG≌△CBE（③）∴CE＝④∴CE＝AF．【解答】解：（1）如图，（2）证明：∵DA＝DF且DG⊥AB，∴∠AGD＝90°，AG＝AF（等腰三角形三线合一的性质），∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，AD＝BC，∵BE⊥CD，∴∠CEB＝90°，在△ADG和△CBE中，，∴△ADG≌△CBE（AAS），∴CE＝AG，∴CE＝AF．故答案为：①等腰三角形三线合一的性质；②∠C；③AAS；④AG．四、解答题：本大题7小题，每小题10分，共70分。解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。19．（10分）2022年3月11日晚，重庆新增3例本土新冠肺炎确诊病例，疫情发生后，重庆某中学高度重视，积极配合市政府的防疫工作，当晚立即在微信上的家长群发布疫情情况统计表，对学生及家长进行摸排．3月12日上午8点，学校防疫小组从该学校的八年级和九年级中各随机抽取了15个班级，对班级填报人数情况进行收集、整理、分析后得到如下信息．八年级15个班级填报人数分别为：45，42，41，52，50，53，55，52，52，50，52，43，49，51，48．九年级15个班级填报人数条形统计图如图：抽取的八、九年级的班级填报人数的平均数、众数、中位数及极差如下表所示：年级平均数众数中位数极差八年级49a50c九年级49.7549b5根据以上信息，解答以下问题：（1）直接写出上表中a，b，c的值：a＝52；b＝50；c＝14；（2）你认为该校八年级和九年级中哪个年级的填报情况更好？请说出你的理由；（3）填报人数达到或超过50人的班级，视为“防疫积极班级”，若该校有90个班级，试估算该校“防疫积极班级”有多少个？【解答】解：（1）八年级的众数a＝52，九年级的中位数b＝50，八年级的极差c＝55﹣41＝14，故答案为：52，50，14；（2）九年级的填报情况更好，理由：∵九年级的平均数大于八年级的平均数，∴九年级的填报情况更好（答案不唯一）；（3）估算该校“防疫积极班级”有90×＝51（个）．20．（10分）如图是某人行天桥的示意图，坡面AB的长度为10米，坡度为1：．为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡而AC的坡度为1：．（1）求新坡面AC的长度；（2）若需在C点的左侧留出3米的通道，判断距离B点5米的文化墙PM是否需要拆除？请说明理由．（参考数据：≈1.7）【解答】解：（1）过点A作AD⊥CB交CB的延长线于D，设AD＝3x米，∵斜坡AB的坡度为1：，∴BD＝4x米，在Rt△ABD中，AB2＝AD2+BD2，即102＝（3x）2+（4x）2，解得：x＝2，则AD＝3x＝6米，BD＝4x＝8米，∵斜坡AC的坡度为1：，∴tan∠ACD＝＝，则∠ACD＝30°，∴AC＝2AD＝12米；（2）距离B点5米的文化墙PM需要拆除．理由如下：在Rt△ACD中，∠ACD＝30°，则CD＝＝6（米），∴BC＝CD﹣BD＝（6﹣8）米，∵6﹣8+3＞5，∴距离B点5米的文化墙PM需要拆除．21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝mx+n（m≠0）与反比例函数y＝（k≠0）交于A，B（﹣3，﹣2）两点，其中点A的横坐标为1．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）将一次函数向下平移8个单位长度后，与x轴交于点C，连接CA，CB，求△ABC的面积；（3）请结合图象，直接写出不等式mx+n≥的解集．【解答】解：（1）反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点B（﹣3，﹣2），∴k＝﹣3×（﹣2）＝6，∴反比例函数的解析式为y＝，把x＝1代入得，y＝＝6，∴A（1，6），∵把A、B的坐标代入y＝mx+n（m≠0）得，解得，∴一次函数的解析式为y＝2x+4；（2）把y＝0，代入y＝2x+4得，2x+4＝0，解得x＝﹣2，∴D（﹣2，0），将一次函数向下平移8个单位长度后，得到y＝2x﹣4，令y＝0，则0＝2x﹣4，解得x＝2，∴C（2，0），∴CD＝4，∴S△ABC＝S△ACD+S△BCD＝×（6+2）＝16；（3）由图象可知不等式mx+n≥的解集是﹣3≤x＜0或x≥1．22．（10分）某玩具店两周前以40元一个的价格购进一批玩偶，原定以50%的利润率定价，但由于销路不好导致商品积压，于是在周末调价时打折促销，通过两次打折调价，每次打折力度相同，现在的售价为每个48.6元，（1）请问该批玩偶每次打几折？（2）若玩偶库存共20个，计划通过两次相同力度打折调价，清空所有库存，并保证两次降价后销售的总利润不少于200元，则第一次降价至少售出多少件玩偶，才可以进行第二次降价？【解答】解：（1）设该批玩偶每次打x折，依题意得：（1+50%）×40×（）2＝48.6，解得：x1＝9，x2＝﹣9（不合题意，舍去）．答：该批玩偶每次打9折．（2）设第一次降价售出y件玩偶，才可以进行第二次降价，依题意得：（1+50%）×40×0.9y+48.6（20﹣y）﹣40×20≥200，解得：y≥．又∵y为正整数，∴y的最小值为6．答：第一次降价至少售出6件玩偶，才可以进行第二次降价．23．（10分）对于一个各个数位不为0的三位数，从它的百位、十位、个位上任取两个数字可生成一个两位数，那么这个三位数可以生成6个两位数，称这6个两位数为原来三位数的“次生数”．例如：三位数123的6个“次生数”为12，13，21，23，31，32．将一个两位数m的十位数字乘以8，再加上m的个位数字，得到的结果称为m的“八一数”，记作F（m）．例如：m＝23，因为2×8+3＝19，所以23的“八一数”是19，记作F（23）＝19，将一个三位数n的所有“次生数”的“八一数”的和记为H（n），例如：H（123）＝F（12）+F（13）+F（21）+F（23）+F（31）+F（32）＝10+11+17+19+25+26＝108．（1）计算H（857）；（2）证明：任意一个三位数的所有“次生数”的“八一数”的和能被18整除；（3）已知一个三位数n＝100a+20+3c，其中1≤a≤5，1≤c≤5且a，c是整数，H（n）是完全平方数，求出所有满足条件的三位数n．【解答】（1）解：H（857）＝F（85）+F（87）+F（58）+F（57）+F（78）+F（75）＝69+71+48+47+64+61＝360；（2）证明：设三位数的百位为a、十位为b、个位为c，它的“次生数”为ab，ac，ba，bc，ca，cb，相应的“八一数”为8a+b，8a+c，8b+a，8b+c，8c+a，8c+b，和为8a+b+8a+c+8b+a+8b+c+8c+a+8c+b＝18a+18b+18c＝18（a+b+c），故任意一个三位数的所有“次生数”的“八一数”的和能被18整除；（3）分两种情况：当1≤c≤3时，H（n）＝18（a+2+3c），∵H（n）是完全平方数，6≤a+2+3c≤16且a，c是整数，∴a+2+3c＝8，∴a＝3，c＝1，∴n＝100×3+20+3×1＝323；当4≤c≤5时，H（n）＝18（a+3+3c﹣10）＝18（a﹣7+3c），∵H（n）是完全平方数，6≤a﹣7+3c≤13且a，c是整数，∴a﹣7+3c＝8，∴a＝3，c＝4，∴n＝100×3+20+3×4＝332．故所有满足条件的三位数n是323或332．24．（10分）如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝﹣x+4的交点分别位于x轴、y轴上的A、B两点，与x轴的另一交点为C（﹣2，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，连接BC，点P为AB上方抛物线上一动点，过点P作PQ∥BC交AB于点Q，过点P作PR⊥x轴交AB于点R．求△PQR周长最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）问条件下，当△PQR周长最大时，将△PQR绕点R顺时针旋转n°（0＜n＜90），当旋转过程中，PR⊥AB时，记此时三角形为△P1Q1R1，再将△P1Q1R1沿直线AB进行翻折得到△P2Q2R2，将△P2Q2R2沿直线AB进行平移，在平移过程中，若点P2恰好在抛物线上，记此时的三角形为△P3Q3R3，请直接写出此时P3的坐标．【解答】解：（1）由题意可知，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴A（3，0），B（0，4），将A（3，0），B（0，4），C（﹣2，0）代入抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），∴，解得．∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+4．（2）由（1）知OC＝2，OB＝4，OA＝3，如图，过点Q作QM⊥PR于点M，∴∠BOC＝∠QMP＝90°，∵BC∥PQ，PR∥y轴，∴∠OBC＝∠QPR，∴△OBC∽△MPQ，∴OC：OB＝MQ：PM＝2：4；∵PR∥y轴，∴∠OBA＝∠QRP，∴△OBA∽△MRQ，∴OB：OA＝MR：QM＝4：3，设QM＝3m，则PM＝2QM＝6m，RM＝4m，∴QR＝5m，QP＝3m，P