直线与圆的位置-教学设计

2.5.1直线与圆的位置关系课程基本信息课题2.5.1直线与圆的位置关系教科书书名：普通高中教科书数学选择性必修第一册教学目标教学目标：1.理解直线与圆的位置关系，掌握对直线与圆的位置关系进行判断的两种方法.2.类比直线与直线研究位置关系的方法，探究用方程判断直线与圆位置关系的方法.3.运用直线与圆的方程的不同形式、位置关系的不同表达方式，实现位置关系与数量关系的转化.教学重点：利用方程表达、判断直线与圆的位置关系.用坐标法解决几何问题.教学难点：1.利用直线与圆的方程判断直线与圆的位置关系.2.理解代数法几何法的关系，灵活运用多种方式表达、判断直线与圆位置关系.教学过程时间教学环节主要师生活动3分钟（一）梳理提炼引言：前面我们学习了直线的方程、圆的方程，用直线的方程研究了两条直线的位置关系，本节课我们类比用直线的方程研究两直线位置关系的方法，运用直线和圆的方程，研究直线与圆的位置关系.问题1直线与圆有哪些位置关系？师生活动：学生回忆思考，教师在黑板呈现、整理三种位置关系的图形表示、定义、几何表示.在平面几何中，直线与圆的位置关系有三种：直线与圆相交、相切、相离.设计意图：复习直线与圆的位置关系及其定义.追问1：如何判断直线与圆的位置关系？师生活动：观察图形，我们可以通过直线与圆公共点的个数，判定直线与圆的位置关系--直线与圆有两个公共点，直线与圆相交；只有一个公共点，直线与圆相切，没有公共点，直线与圆相离.追问2：还有其他判断直线与圆的位置关系的方法吗？师生活动：将图中的直线看作是可以平行移动的，直线与圆心距离的改变，出现了不同的位置关系.首先看相切这种特殊的位置关系，此时，圆心到直线的距离等于半径.记圆心到直线的距离为d，圆的半径为r.如果,直线与圆相交；,直线与圆相切；,直线与圆相离.这是第二种判断直线与圆位置关系的方法---通过圆心到直线的距离与半径的大小关系进行判断.平移直线的过程中，圆心到直线的距离的变化导致位置关系的变化；反之，位置关系的变化导致圆心到直线的距离与半径间大小关系的变化.以相交为例，直线与圆相交、直线与圆有两个公共点、,它们之间的关系都是充分必要的.设计意图:复习平面几何的判断方法，引导学生将几何直观进行定量表达，通过引言和问题1，回顾初中学习的平面几何知识以及本章前面所学内容，提出本节研究的问题—利用直线与圆的方程，通过定量计算，判断直线与圆的位置关系，使学生体会这种研究思路的逻辑必然，能够在问题的引导下自主提出并研究问题.位置关系相交相切相离直线与圆公共点个数210d与r2分钟（二）探究方案问题2本章我们研究直线、圆的角度是什么?师生活动：在解析几何中，我们用方程研究几何图形.点，我们用有序数对表示；线，用二元一次方程表示；圆，用二元二次方程表示.研究方法是把几何问题转化为代数问题，运用代数方法研究几何图形的性质.设计意图:学生结合问题，回顾高中研究位置关系问题的方法，通过思考，容易发现，本章我们在坐标系中建立了直线方程、圆的方程,并通过它们的方程研究与直线、圆有关的几何问题.通过坐标系，将几何元素，用坐标、方程表示，将几何问题转化为代数问题，再通过代数方法研究几何图形的性质.比较高中初中研究几何图形方法的不同，引导学生考虑将直线与圆位置关系中的几何要素用代数方法表达.追问：类比两直线位置关系的研究方法，怎样通过代数方法，研究直线与圆的位置关系呢?师生活动：如果两直线相交，交点在“形”上的意义是，既在第一条直线上，又在第二条直线上；从“数”上理解，交点坐标既满足第一条直线方程，又满足第二条直线方程，它是两直线方程联立组成的方程组的解.如果两直线平行，则方程组无解.相交与否这一几何位置关系问题，就可以通过方程组有无实数根的代数方法来判断.直线与圆是否有交点的问题，也可以转化为方程组的实根个数问题来解决.设计意图:类比直线与直线的位置关系问题的解决方法，讨论解析几何研究问题的基本思路，学生可以自主寻求到将直线与圆的位置关系中的几何元素进行代数表达的思考方向.具体方案也已经形成—将交点问题的判断转化为方程组实根的情况的判断.逐步体现本节课问题研究的必要性.由形上的不够严谨，过渡到利用d与r的比较，再过渡到类比直线与直线位置关系的研究方法，用方程进行判断.15分钟(三)方案应用例1已知直线l：和圆心为C的圆，判断直线l与圆C的位置关系；如果相交，求直线l被圆C所截得的弦长.思路1：将判断直线与圆的位置关系，转化为判断由它们的方程组成的方程组有无实数解、有几个实数解的问题;两点距离公式求弦长（代数法）.,消去y,得：，因为，方程有两个实数解，所以直线l与圆C有两个交点，直线l与圆C相交.解方程，得，把分别代入方程（1），得到.所以，直线l与圆C有两个交点是.直线l被圆C所截得弦AB的长度.设计意图：学生可以类比直线与直线相交的问题，猜想出直线与圆相交问题的代数解法，从几何到代数，再从代数回归到几何，总结根的判别式的代数、几何意义.直线与圆有两个公共点，相交直线与圆只有一个公共点，相切直线与圆没有公共点，相离思路2：将判断直线与圆的位置关系，转化为圆心到直线距离与半径的大小关系的问题；若相交，利用圆的几何性质--垂径定理，解决弦长问题(几何法).师生活动：将圆C的一般方程，化为标准方程，可得圆心坐标,半径，则圆心到直线l的距离为由于d<r,直线l与圆C有两个公共点，直线l与圆C相交.由垂径定理，弦AB的长度.设计意图：解析几何是用代数方法解决几何问题，但其本质仍是几何问题.分析、解决问题的首选，是利用几何图形的性质.在学习了纯代数的方法，即高中解析几何给我们提供的解法后，将几何图形放在坐标系里，用方程研究之后，学生会产生这样的疑问，将几何图形放在坐标系下了，几何图形的性质仍成立.直线与圆的位置关系，可以由公共点个数判断，也可以综合使用几何方法，由d与r的大小关系判断.在上述解法中，从几何图形上考虑，引导学生思考利用方程，求出圆心到直线的距离，判断直线与圆的位置关系,垂径定理求弦长.同时比较，方法一、二，都是对同样的几何元素进行代数表达，整理得到的结论也指向的是同样的几何图形的位置关系.对用方程研究直线与圆的位置关系问题的方法进行归纳、整理.例2过点P(2,1)作圆O：的切线l，求切线l方程.追问1：过一点作圆的切线，能做出几条?师生活动：从几何图形上分析，题目中说:过一点做圆的切线，能做出几条？这首先涉及点与圆的位置关系，我们可以画图判断，同时把几何条件整理出来；当然，还可以把点的坐标代入圆的方程进行判断.点在圆外.过圆外一点可以作圆的两条切线.设计意图：分析几何条件，师生一起画图、（用代数、几何两种判断方法进行），判断点在圆外，回忆.在分析点与圆位置关系时，又一次利用几何、代数两种思路去解决，不断提示学生，在分析几何问题时可以向两个方向展开思考.追问2：如何用代数方法表示直线与圆相切？师生活动：如何表达直线与圆相切？（板书）过一个点，做圆的切线，又回到了线圆位置关系问题上.上面我们一起分析处理了直线与圆的三种位置关系，从不同角度去刻画位置关系，是解决这一问题的关键.相切，有几种方式表示？--公共点的个数，根的判别式，d与r的比较.设计意图:巩固代数方法解决几何问题的思路，引出本题，指明联系，分析区别.追问3：直线方程选择什么形式？已知直线过一定点，表达它还需要确定一个要素，要么补充直线的斜率，要么补充另一个点，都可确定直线的方程.无论选择哪种形式的直线方程，都可以用两种思路--思路1：将直线与圆的位置关系—相切，转化为由它们的方程组成的方程组只有一组解，，从而确定直线斜率，进而确定直线方程.思路2：将直线与圆的位置关系—相切，转化为圆心到直线距离等于半径或者圆外一点与切点连线与过切点的半径垂直等几何特征，从而确定直线的方程.设计意图：课标在本章的发展要求中明确指出，需要学生根据给定的条件，灵活选取适当形式的直线方程，熟练运用待定系数法求直线方程.无论选择用哪种代数形式表示直线，都可以用以下两种思路--思路1：将直线与圆的位置关系—相切，转化为由它们的方程组成的方程组只有一组解，，从而确定直线方程中的参数.（代数法）；思路2：将直线与圆的位置关系—相切，转化为圆心到直线距离等于半径或者圆外一点与切点连线与过切点的半径垂直等等几何特征，从而确定直线方程中的参数.（几何法）在设两点式的过程中由于参数是两个，因此计算过程比设点斜式要繁复，那么如果利用切点的其他几何性质是否可以简化运算呢？我们知道，由于直线与圆相切，设切点A，则,可以利用斜率之间的等量关系去翻译，也可以规避斜率是否存在的问题，转化为向量进一步刻画，.或由于，直线与圆的两个切点，可以看作是以OP中点为圆心，长为半径的圆相交得到，因此也可以联立两个圆方程，求两圆公共弦所在直线方程，再联立找到切点，确定；同学们还会发现，两切点的连线方程是可求的，通过这条直线与圆的交点，也可以计算出切点坐标，从而得到切线方程.思路1：将直线与圆的位置关系—相切，转化为由它们的方程组成的方程组只有一组解，，从而确定直线方程中的参数.（代数法）思路2：将直线与圆的位置关系—相切，转化为圆心到直线距离等于半径，从而确定直线方程中的参数,也可以通过与圆外一点连线垂直于过切点的半径；或两切点的连线被圆外一点于圆心连线垂直平分等几何性质，建立方程.（几何法）下面我们以设立点斜式，利用的方法为例，将题目完整解决.首先考虑切线斜率不存在的情况，易知直线与圆外离，因此切线l斜率存在.设切线l斜率为k，则切线方程为：.解法1：消元得：直线与圆相切方程有一个实数解由解得：切线l的方程为：或.解法2：直线与圆相切圆心到直线l的距离等于圆的半径切线方程转化为一般式：，，解得.切线l的方程为：或.追问4：直线与圆相切，是一种特殊的位置关系，联立方程组只有一组解，或者转化为圆心到直线距离等于半径，从而确定直线的方程.你能比较这两种方法的差异吗？表示直线时，点斜式最直接；计算上用比较简洁，这提醒我们在处理直线与圆的位置关系问题中，除了运用解方程组的方法外，还可以充分结合图形的几何性质，一定程度上简化运算，最后得到图形之间的位置关系.设计意图：引导学生比较例2的解决方法，利用对几何性质的分析简化代数运算,比如可以利用圆的切线垂直于过切点的半径，两切点的连线被圆外一点与圆心连线垂直平分，等等这些几何性质，建立方程，确定切线斜率.3分钟(四)归纳小结问题3总结研究思路，用方程判断直线与圆位置关系的方法.本节课，我们经历了：回顾、梳理、类比、迁移，通过两个问题，对直线与圆的位置关系问题展开了充分的讨论.你都学会了哪些判断直线与圆位置关系的方法呢?从画图观察