2021届高考数学考前30天冲刺模拟卷三

考前30天冲刺高考模拟考试卷（3）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.（5分）已知集合4={0,1,2,3,4},集合B={x|万二三,1},则A0|B=（）

A.{2}B.{3}C.{2,3}D.{2,3,4）

2.（5分）等差数列{3〃-2}与等差数列{5-2〃}的公差之和为（）

A.1B.2C.3D.8

3.（5分）若/表示两个不同的平面，机为平面a内一条直线，则（）

A.umllpn是aaHpn的充分不必要条件

B.“〃//£”是“a//£”的必要不充分条件

C."是“的必要不充分条件

D.“加，力”是“a工0”的充要条件

4.（5分）2020年12月18日，国家统计局发布了2019年《中国儿童发展纲要（2011-2020

年）》统计监测报告，报告指出学前教育得到进一步重视和加强.如图为2010年-2019年全

国幼儿园数及学前教育毛入园率的统计图：

2010年—2019年幼儿园数及学前教育毛入园率

则以下说法正确的是（）

A.2015年我国约有75万所幼儿园

B.这十年间我国学前教育毛入园率逐年增长且增长率相同

C.2019年我国幼儿园数比上年增长了约5.2%

D.2019年我国学前教育毛入园率比上年提高了1.7%

5.（5分）函数/（x）=sinxcosx+Gcos2x的图象的一条对称轴为（)

71「冗

AA.x=—B.YC.x=—D.可

123

6.（5分）“华东五市游”作为中国一条精品旅游路线一直受到广大旅游爱好者的推崇.现

有4名高三学生准备2021年高考后到“华东五市”中的上海市、南京市、苏州市、杭州市

四个地方旅游，假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游，则恰有一个地方未被

选中的概率为（）

A-5B-AD-费

7.（5分）已知双曲线C：W-m=l（a>0力>0）的右焦点为F（4,0）,直线y=3互x与双曲

arZr7

线C相交于A,3两点，O为坐标原点，线段AF、8F的中点分别为尸、Q,且加_L而,

则双曲线C的离心率为（）

A.WB.小C.4D.2

8.（5分）对于函数f=（x）,若存在使，（%）=-/（-%），则点（％，/（%））与点（~/，

16-a¥,x>0「-W,-

-/（%））均称为函数f（x）的“先享点”.已知函数/（%）=3,且函数/(x)存在5

6x—x,芭，()

个“先享点”，则实数a的取值范围为（)

A.(0,6)B.(-oo,6)C.(3,-K»)D.(6,+oo)

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中。有多项

符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的对2分，有选错的得0分。

4x-3,x<l

9.（5分）已知函数f（x）=,则下列结论正确的是（）

Inx,x.A

A.函数/a）的定义域为RB.函数/（外在R上为增函数

C.函数/（x）的值域为（T+oo）D.函数/（X）只有一个零点

10.已知。>0,人>0,且4a+Z?=〃〃,则（)

A.述..16B.2。+人..6+44

1161

C.a-b<0D.

11.（5分）若实数a<b,则下列不等关系正确的是（）

B.若。＞1,则log“ab＞2

j22

C.若a＞0,则/-＞工

1+a1+b

D.若a,Z?G(1,3),则;(/一//)一〃2(.2一/)+々一匕＞0

12.(5分)已知三棱锥P-ABC的每个顶点都在球。的球面上，4?=3C=2,

PA=PC<,AB^BC,过3作平面ABC的垂线8Q,且伏2=AB,尸Q=3,P与。都

在平面ABC的同侧，则()

A.三棱锥尸一ABC的体积为*B.PArAB

3

C.PCIIBQD.球O的表面积为97

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.(5分)已知随机变量X~N(2Q2),P(X>0)=0.9,则P(2<X,,4)=.

14.(5分)函数/(x)=x/n«在点(1,0)处的切线方程为.

15.(5分)某驾驶员培训学校为对比了解“科目二”的培训过程采用大密度集中培训与周

末分散培训两种方式的效果，调查了105名学员，统计结果为：接受大密度集中培训的55

个学员中有45名学员一次考试通过，接受周末分散培训的学员一次考试通过的有30个.根

据统计结果，认为“能否一次考试通过与是否集中培训有关”犯错误的概率不超过—.

2

4“2_n(ad-bc)

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(KLk)0.050.0250.0100.001

k3.8415.0246.63510.828

22

16.(5分)设椭圆二+与=l(a>6>0)的焦点为耳，F,,P是椭圆上一点，且Nf；PK=生,

a"b~3

若△片P鸟的外接圆和内切圆的半径分别为A,r,当R=4r时，椭圆的离心率为.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

=aa

17.(10分)从“①5"=〃(〃+?■)；②S2=/，\i；③4=2,。4是%，%的等比中

项.”三个条件任选一个，补充到下面横线处，并解答.

已知等差数列｛q｝的前〃项和为S,,公差d不等于零，,〃wN'.

(1)求数列｛《,｝的通项公式;

(2)若b„=52„„-S2„,数列｛仇｝的前”项和为叱,，求明.

18.(12分)已知AAfiC的三个内角A,B,C的对边分别为a,h,c,且°=布，b=1,

c-b=2bcosA.

(1)求sin3的值；

(2)若4)平分NBAC交BC于。，求三角形4X7的面积S的值.

19.(12分)如图，在四棱锥E-ABC。中，四边形ABCD为平行四边形，ABCE为等边三

角形，点O为3E的中点，且AC=8C=2Q4=2.

(1)证明：平面平面BCE.

(2)若相=小，求二面角3—CE-O的正弦值.

20.(12分)某商城玩具柜台元旦期间促销，购买甲、乙系列的盲盒，并且集齐所有的产品

就可以赠送元旦礼品.而每个甲系列盲盒可以开出玩偶A,4中的一个，每个乙系列

盲盒可以开出玩偶片，B2中的一个.

(1)记事件E,,：一次性购买〃个甲系列盲盒后集齐A,A,,4玩偶；事件工：一次性购

买〃个乙系列盲盒后集齐修，打玩偶；求概率2纭)及P(K)；

(2)礼品店限量出售甲、乙两个系列的盲盒，每个消费者每天只有一次购买机会，且购买

时，只能选择其中一个系列的一个盲盒.通过统计发现：第一次购买盲盒的消费者购买甲系

列的概率为上1，购买乙系列的概率为4而前一次购买甲系列的消费者下一次购买甲系列的

55

Ia

概率为上，购买乙系列的概率为三；前一次购买乙系列的消费者下一次购买甲系列的概率

44

为购买乙系列的概率为g；如此往复，记某人第"次购买甲系列的概率为Q..

①。.；

②若每天购买盲盒的人数约为100,且这100人都已购买过很多次这两个系列的盲盒，试估

计该礼品店每天应准备甲、乙两个系列的盲盒各多少个.

22

21.(12分)已知双曲线C:=—、=l(a>0力>0)的左、右焦点分别为耳，居，点尸(3』)在

a~h~

C上，且|P/"|P&|=10.

(I)求C的方程；

(2)斜率为-3的直线/与C交于A,8两点，点8关于原点的对称点为O.若直线B4,

包»的斜率存在且分别为勺，k2,证明：勺•占为定值.

22.(12分)己知函数f(x)=/nr+a(x2+x),g(x)=f+5x.

(1)讨论函数/(x)的单调性；

(2)当a=2时，证明：/(x)<5(x)-1.

考前30天冲刺高考模拟考试卷(3)答案

1.解：•/A=｛0,1,2,3,4｝,8=｛x|2领k3｝,

AQB=｛2,3｝.

故选：C.

2.解：•.•等差数列｛3"-2｝的公差为3,

等差数列｛5-2〃｝的公差为-2,

等差数列｛3〃-2)与等差数列｛5-2〃｝的公差之和为3-2=1.

故选：A.

3.解：因为加为平面a内一条直线，，*//£,所以a///或a与尸相交，

故umllpn不能推出“a///”，

而a//£,则两平面没有公共点，而，H为平面a内一条直线，所以机//月，

所以“a/夕'可以推出“机//尸”，

所以“机//£”是“a//月”的必要不充分条件，故A不正确，8正确；

根据面面垂直的判定可知，，"为平面a内一条直线，“〃?，力”可以推出“

但“a_L£”不能推出“ml。”,所以“〃?，£”是“a'B”的充分不必要条件，故C、

。不正确.

故选：B.

4.解：对于A,由统计图可知，2015年我国约有22.4万所幼儿园，故选项A错误；

对于3,这十年间我国学前教育毛入园率逐年增长，但是增长率不相同，故选项3错误；

对于C,2019年我国约有28.1万所幼儿园，2018年我国约有26.7万所幼儿园，

所以增长了2&1.26.7=52%,故选项。正确；

26.7

对于。，2019年入园率为83.4%,2018年入园率为81.7%,

所以增长了834-81.722%,故选项。错误.

81.7

故选：C.

5解：

f(x)=sinxcosx+y/3cos2x='sin2x+6x'：='sin2x+—cos2x+—=sin(2x+—)+—

2222232

^2x+—=—+k^^x=—+—,keZ,

32122

当A=0时，x=—,A符合题意，B,C,。不符合题意.

12

故选：A.

6.解：现有4名高三学生准备2021年高考后到“华东五市”中的上海市、南京市、苏州市、

杭州市四个地方旅游，

假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游，

基本事件总数〃=4"=256,

恰有一个地方未被选中包含的基本事件个数根=C：&=144,

则恰有一个地方未被选中的概率为P=-=—=--

n25616

故选：B.

7.解：设点A在第一象限，设坐标为(％,手%)(%>0),

因为点P,Q,O分别为三角形AS尸的三边的中点，且丽1丽，

所以四边形OPFQ为矩形，所以AF_LB/L而OF=4,

则3=08=4,所以J，"+(乎，")2=J?,/=4,解得，〃=近(负值舍去)，

所以点A的坐标为("，3),代入双曲线方程可得：4-4=1-

ab

Xfz2+/?2=16,解得。=2,b=2小,

所以双曲线的离心率为6=£=3=2,

a2

故选：D.

8.解：由题意，/3)存在5个“先享点”，原点是一个，其余还有两对，

即函数>=61-/(工,0)关于原点对称的图象恰好与函数y=i6-or(x>0)有两个交点，

而函数y=6x-丁(儿,0)关于原点对称的函数为y=6x-d(工.0),

即16-or=6X-%3有两个正根，

=%2+--6(x>0),令h(x)=x24---6(x>0),

xx

则〃(X)=2X—/=2，：8),

XX

所以当0cx<2时，〃(x)<0,当x>2时，h\x)>0,

所以/?(x)在(0,2)上单调递减，在(2,yo)上单调递增，

则当x=2时，=4+8-6=6,

且当X—>0和Xf+8时，/(X)->+00,

所以实数。的取值范围为(6,+O0),

故选：D.

9.解：选项A：由已知可得函数定义域为R,故A正确；

选项8：当x<l时，函数f(x)为增函数，当"in寸，函数为增函数，且4J3=l>/〃l=0,

所以函数在R上不单调，故8错误；

选项C：当x<l时，-3</(x)<l,当x..l时，f(x)..O,所以函数的值域为(―3,+oo),故C

正确；

选项。：当x<l时，令4'-3=0,解得x=log&3,当X..1H寸，令/"=0,解得x=l,

故函数有两个零点，故。错误,

故选：AC.

10.解：〃>0,b>0,ab=4a+b..2d4ab，当且仅当.=/?时取等号,

解得就..16,即的最小值为16,A正确；

由已知得弓+'=1,

ba

所以2a+人=(24+力(2+!)=6+华+2..6+2^^=6+4应，

当且仅当⑻=2时取等号，B正确;

ba

由已知无法判断。，〃的大小，故a—人V。无法判断，C错误；

因为士+工=1,

ba

所以_L=1_3,

ab

的“116832

mkX—+—=f11---，

a2b2bb1

结合二次函数的性质可知,=,，即6=8时取等号，此时取得最小值,，

b82

故以-V+华••】，。正确.

a2b22

故选：ABD.

11.解：对于A：基函数y=x",当a=-l时，函数单调递减，所以《尸＞弓尸，故A错

误；

对于8：当log”ah=log4a+log”〃>1+1=2,故8正确;

“不b2a2(b-a)(b2+O2+ab+a+b)

\+a\+b(1+。)(1+。)

由于b＞a＞0,故心一＞又一成立，故C正确；

1+a\+b

对于D：原不等式变形为(；廿_nia2+々)一($3一加"+力＞0,

令g(x)=—x3-me+x

则g'(x)=x2-2fwc+1,△=4m2-4>0,

g'(%)=0,

2

解得：x1=tn-\/ni-1,x2=m+-1

由于n?>*,

3

所以不<1,x2>3,

所以函数g(x)在(1,3)上单调递减，

所以g(a)-g(b)>0,故。正确.

故选：BCD.

12.解：如图，

长方体的高为1,底面是边长为2的正方形，满足AB=BC=2,PA=PCf,AB±BC,

ii7

三棱锥P-ABC的体积为一x—x2x2x1=—,故A正确；

323

PB=>jPD2+BD2=>JPD2+AB2+AD2=V22+22+l2=3,

满足幺2+=依2,可得抬_LAB,故B正确；

8Q_L平面ABC,PZ)_L平面ABC,则8Q//PO,

假设PC//8。，则PC//PD,与与PC相交于P矛盾，故C错误；

三棱锥P-ABC的外接球即长方体DG的外接球，设其半径为R,

则2/?="==3,即R=j可得球O的表面积为4万x(3)2=9乃，故。正确.

22

故选：ABD.

13.解：因为随机变量X服从正态分布N(2,〃)。>0),且P(X>0)=0.9,

所以该正态分布曲线的对称轴为x=2,故尸(X<2)=尸(X>2)=0.5,

所以P(2<X及势)=P(0<X2)=P(X>0)-P(X>2)=0.9-0.5=0.4.

故答案为：04

14.解：由,f(x)=x/nr,得/'(x)=x/nr=/nr+1,

:.f'(1)=1,即函数/(x)=x/z1r在点(1,0)处的切线的斜率为1.

函数/(x)=x/nr在点(1,0)处的切线方程为y-O=lx(x-l),

即x-y—1=0.

故答案为：x-y—1=0.

15.解：2x2列联表如下:

通过未通过总计

集中培训451055

分散培训302050

总计7530105

105x(45x20-30xl0)2一­

K'=-------------------=6.109>5.024,

75x30x50x55

二认为“能否一次考试通过与是否集中培训有关”犯错误的概率不超过0.025,

故答案为：0.025.

16.解：△耳尸工的外接圆的半径R,由正弦定理27?=上以一2c

sinZFJP/ssi.n—71

3

所以R=2叵。

3

又由于R=4〃，所以r

在△片尸工中，由余弦定理可得|斗名|2=|。用2+|也|2—2|出"上八|♦85/£尸乙，而

71

^PF2=-,,

所以4c2=4.2—3|P4I，

22

所以可得：\PFl\\PF2\=^(a-c),

由三角形的面积相等可得：^\PFl\+\PF2\+\FtF2\)-r^^\PFl\\PF2\sinZFtPF2,

所以(2a+2c)r=^(a2-c2)-等，

所以2(a+c)3c=±(/-c2)•—.

632

整理可得：3e2—e—2=0f解得e=—或e=—1,

3

故答案为：

3

17.解：(1)选①S"=”(〃+；•),

可得4=£=1+?，解得q=2,

2

即Sn=n+n>

则4+%=6,即%=4,d=a2-a]=2,

所以a“=2+2("-1)=2〃；

选②S2=a3,aA=a}a2,

可得2q+d=%+2d,at+3d=a}(at+d),

解得<7,=d=2,

所以q=2+2(〃-l)=2〃；

选③q=2,是外,4的等比中项，

2

可得a：=a2a8,即(2+3J)=(2+d)(2+Id),

解得d=2(d=0舍去)，

所以4”=2+2(〃-1)=2”；

(2)由S“=〃2+”,

n+12

可得bn=S2,,„-Sr=(2)+2同—.4"+2",

所以叱=3(4+42+4'+…+4")+(2+2?+2?+…+2")

.4(1-4"),2(1-2")

1-41-2

=4w+,-4+2M+,-2=4n+,+2M+,-6.

18.解:(1)因为c——=>cosA,

又由余弦定理可得。2=b2+c2-2hccosA,

所以〃2=从+H一c(c一力，可得从+0c=/,

因为a=#,b=2,

可得c=1,

由余弦定理a2=/?24-c2-2bccosA,将a=>]6,b=2,c=l,代入，可得

6=4+1—2x2x1xcosA,可得cos4=,

4

所以sinA=姮，由正弦定理，_=_2_,可得sinB=典.

4sinAsin54

(2)由(1)可知sinA=MX,a=-76,c=1,

4

则由正弦定理可得，一=—J,可得sinC=巫，

sinAsinC8

在A43D中，———=——...①

sinNBADsinZADB

在AACD中，———=———，②

sinADACsinZADC

又因为A£>平分/ADC,

所以sinZADB=sinZADC,

②+①，可得2=生=0=2,可得cr>=辿，

cA.BBD3

所以SWK=—DC-AC-sinC=—xx2x边0=也5.

M,x22386

19.(1)证明：连接OC,因为ABCE为等边三角形，所以OCL8E,

因为AC=2,04=1,OC=2--=y/3,所以AC?=AO?+OC2,所以OC_LOA,

2

又因为OAnBE=。，所以OCJ■平面ABE,

又因为OCu平面BCE,所以平面BCEJ_平面43E,

故平面ABEJ■平面BCE.

(2)解：因为AB=AE,所以。所以OE、OC、。4两两垂直，

建立如图所示的空间直角坐标系，

E(1,0,0),8(-1,0,0),A(0,0,1),C(0,衣,0),

EC=(-1,小,0),CD=BA=(\,0,1),设平面ECZ)的法向量为比=(x,y,z),

里加一+底=。，令x=6丽=(用，1,一百),

CDm=x+z=0

平面BEC的法向量为万=(0,0,1),

设二面角8-CE-D的大小为6»,

\nt-n\

则|cos01=sin8=

I训・|万I

20.解：（1）由题意尸（线）=y+产《+卷,

p（居）=1一二!•=竺，

52516

（2）①由题意可知：Q=g,

当”..2时,Q,=；Q_|+g（l-2i）=：-；Qi,

212Q-g2=-11

所以｛Q-2｝是以为首项，-；为公比的等比数列，

②因为每天购买盲盒的100人都已购买过很多次，所以，对于每一个人来说，某天来购买盲

盒时，可以看作"趋向无穷大，

所以购买甲系列的概率近似于|,假设用g表示一天中购买甲系列盲盒的人数，则

g~8（100,|），

所以E（g）=100x|=40,即购买甲系列的人数的期望为40,

所以礼品店应准备甲系列盲盒40个，乙系列盲盒60个.

21.解：(1)设4(-c,0),F式c,0)(00),其中c=J"+从，

因为|PEI|PRI=10，所以J(3+C、)2+1.J(3-C)2+1=10,解得C=4,

所以2a=J(3+4)2+l-J(3-4)2+l=4日解得a=20,

所以。*=c2-a2=8,

所以双曲线。的方程为三-E=i；

88

(2)证明：设A(F，y),B(X2,y2),则。(一々，一%)，

设直线/的方程为y=-3工+机，与双曲线的方程联立，消去y,可得，8x2-6twc+m2+8=0,

由△=(一6加y-32。/+8)>0,可得|相|>8,演+々=羊，尤俨2='

所以Y必=(-3%+ih)(-3x2+ni)

八八/、2cm2+8-3m2c机2

=9^^-3/n(Xj+x2)+m~=9-------3m•—+tn=9———,

2

[i,18-----3(%—x>)

所以她:江i•士1=t=7一二=T,

%-3-x2-3+3%-3%-92_8+3(王_/)

8

所以K"为定值-1.

22.解：⑴f(x)的定义域为(0,+oo),

〃，/、1­2ax2+ax+1

/'(x)=-+a(2x+l)=-----------,

xx

令h(x)=2ax2+a