成人高考数学平面解析几何

平面解析几何初步罗展华2006年8月一、知识要求及变化1．整体定位“标准”中对“平面解析几何初步”这部分内容的整体定位如下：解析几何用代数方法研究图形的几何性质，体现了数形结合的重要数学思想。在本模块中，学生将在平面直角坐标系中建立直线和圆的代数方程，运用代数方法研究它们的几何性质及其相互位置关系，并了解空间直角坐标系。体会数形结合的思想，初步形成用代数方法解决几何问题的能力。怎样正确理解本部分内容的整体定位呢？第一，本部分内容是在初中学习直线基础上，利用平面直角坐标系，将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题；运用代数方法研究直线的几何性质及其相互位置关系，分析代数结果的几何含义，解决几何问题。第二，用代数方法研究几何图形是解析几何的核心。学生在初中曾经学过建立直角坐标系且初步研究过一次函数、二次函数及反比例函数的图像，这是借助几何图形来直观认识一次函数、二次函数及反比例函数的性质，即从数到形。直线和圆是最基本的几何图形，也是学生非常熟悉的两种图形，学生已经知道如何从“形”的角度刻画它们的性质。“解析几何初步”则主要是用代数方法刻画直线和圆，研究它们的性质，即从形到数；再利用直线与圆的方程来研究直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系，即用数来研究形。这部分内容也是学习圆锥曲线的基础，学生应熟知直线与圆的方程中参数的几何意义。用代数方法研究直线与圆时，首先应强调确定直线与圆的几何要素，根据几何要素，用代数方法刻画直线与圆，推导出直线与圆的方程。对于直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系，也要突出几何要素。例如，对于两圆的位置关系，首先，把确定圆的几何要素（圆心、半径）与确定圆的位置关系的几何要素（圆心距）用代数表示出来，再用代数关系的几何意义（两圆的圆心距与两圆半径的数量关系表示的几何意义）来判断圆与圆的位置关系。也就是说，我们强调用“几何”来引导代数的恒等变换的计算。其次是在学习中，我们提倡画图，不希望把解析几何变成纯粹的形式推导，例如：通过解两圆的方程构成的方程组来判断两圆的位置关系。第三，坐标系是数形结合的载体之一。在坐标系中，平面上的点与数对可以建立一一对应关系，从而可以用方程来表示几何图形，通过方程来研究几何图形的性质。在本部分内容中，还介绍了空间直角坐标系。对于空间直角坐标系，只要求学生会用空间直角坐标系来刻画点的位置，并通过表示特殊长方体的顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式。这里不要求讨论空间图形的方程。本部分内容的知识结构是：2．课程标准的要求（1）直线与方程①在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素；②理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式；③能根据斜率判定两条直线平行或垂直；④根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系；⑤能用解方程组的方法求两直线的交点坐标；⑥探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。（2）圆与方程①回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程；②能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系；③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。（3）在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想。（4）空间直角坐标系①通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置。②通过表示特殊长方体（所有棱分别与坐标轴平行）顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式。“标准”中对“解析几何初步”的要求只是阶段性要求，在选修1、2中，还将进一步学习圆锥曲线与方程的内容。因此，对本部分内容的教学要把握好“度”，特别是对于解析几何思想的理解不能一步到位。3．课程标准要求的具体化和深广度分析（1）如何认识“在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素”首先，让学生通过观察具体的直线，了解一点一方向或两个点可以完全确定一条直线，即确定直线位置的几何要素是一点和一方向或两个点。其次，让学生了解，可以用倾斜角来刻画直线的方向（在学习了平面向量之后，还可以用向量来刻画直线的方向），对不垂直于x轴的直线，也可以用斜率来刻画直线的方向。（2）如何认识“理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式”①从静态的观点看，直线的倾斜角是直线与x轴的正方向所夹的角；在直角坐标系中，直线的方向可以用直线相对于x轴正方向的倾斜角来刻画。倾斜角是是直线与x轴正方向所成的角。可以从以下几方面理解：②从用运动变化的观点来看，直线的倾斜角是由x轴按逆时针方向转动所成的角；③倾斜角α的取值范围是：0o

≤

α≤180o；④倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对x轴正方向的倾斜程度，而倾斜程度刻画了直线在直角坐标系中的方向；⑤平面直角坐标系中每一条直线都有一个确定的倾斜程度，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等；直线的斜率是用代数方法刻画直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，它的意义是当沿x轴正方向运动一个单位时，直线上的点上升的高度。直线的斜率可以用变化率来刻画，也可以用倾斜角的正切值来刻画，斜率是一个数值。理解斜率需要注意以下几点：①两点可以唯一确定一条直线，因此，两点就唯一确定了过这两点的直线的倾斜程度。直线斜率的计算公式与两点的顺序无关，即两点的横、纵坐标在公式中的前后次序可以同时颠倒；②垂直于x轴的直线是一种特殊的情况，按照斜率的定义，它的斜率是不存在的。因此，要认识到对于一般直线来说，要考虑不垂直于x轴和垂直于x轴两种情况，前者有斜率，后者无斜率。如果用直线的倾斜角来表述，直线的倾斜角α=90o时，斜率不存在，但是直线存在。③倾斜角和斜率都是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度，使用斜率比倾斜角更加方便，斜率的绝对值越大，倾斜程度也越大。直线的倾斜角和直线的斜率一样，都是刻画直线倾斜程度的量，但直线的倾斜角侧重于用几何直观来刻画直线的方向，而直线的斜率则侧重于用数量来刻画直线的方向。任何直线都有倾斜角，但不是任何直线都有斜率。例如，当直线的倾斜角α=90o时，斜率不存在，但是倾斜角存在。（3）如何认识“能根据斜率判定两条直线平行或垂直”一方面，要掌握用斜率判定两条直线平行和垂直的方法，感受用代数方法研究几何图形性质的思想；另一方面，也要从几何上认识为什么斜率的关系能够反映直线的平行或垂直。（4）如何“根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系”确定直线位置的几何要素是一点和一个方向或两个点。方向可以用斜率来刻画，因此，给定一点和斜率可以确定直线，这就是点斜式。两点可以确定一条直线，这就是两点式。两点决定了直线的方向，因此，两点式本质上与点斜式是一致的。斜截式方程则是点斜式方程的一种特殊情形，而直线方程的一般式是对几种方程形式的概括。这里，不应该刻意让学生去区分和记忆这几种方程的形式。而是要让学生掌握在直角坐标系中如何确定直线的几何要素（一个定点坐标和直线的斜率），如何根据几何要素确定直线的方程。对于直线的斜截式方程，在教学过程中，可以与一次函数进行比较，并注意分析方程中的参数与的几何意义。例如：当取任意实数时，方程y=kx+2表示的直线都经过点（0，2），它们是一组共点直线；当取任意实数时，方程y=2x+b表示的直线彼此平行，它们是一组平行直线。这里渗透了直线系的思想，但不要扩大范围，点到为止即可。这部分内容的学习要求学生会根据条件选择直线方程的某一种形式，求出直线的方程，并能根据直线的方程画出直线，研究直线的性质（倾斜角、截距、斜率）。（5）如何认识“能用解方程组的方法求两直线的交点坐标”这里要求学生理解直线上的点的坐标满足该直线方程，从而可以用解方程组的方法求两直线的交点坐标，并解决一些与直线交点有关的问题。有了直线的方程，对直线之间位置关系的研究就可以转化为对它们方程的研究。即可用解方程组求交点的方法研究两直线的位置关系，这是解析几何的特点。但是，一定要注意避免单纯的恒等变形，要引导学生在“几何要素导向下”求解方程组，强调解析几何的基本思想。（6）如何认识“探究并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离”对此，要把握好三点：①先从特殊情形入手：以数轴上两点间的距离公式为出发点，探究出平面上两点间的距离公式；③把求两平行线间的距离的问题转化为求直线上一点到另一条与之平行的直线的距离。②掌握求点到直线的距离公式的基本思想和算法：首先，确定过该点且垂直于已知直线的直线方程（由于这两条直线相互垂直，这条直线的斜率可由已知直线的斜率得到，从而，可以用点斜式给出直线方程）。其次，求这两条直线的交点。最后，求该交点到已知点的距离。这个距离就是已知点到直线的距离。点到直线的距离公式可以用解方程组求出交点，再利用两点间的距离公式来推导出来，也可以放到必修数学4中用向量的方法来推导。这种推导过程有助于学生进一步体会用代数方程研究几何问题的方法和数形结合的思想，渗透对立统一的观点。（7）如何认识“回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程”三点确定圆的几何要素可以转化为圆心和半径。圆心到三点的距离相等，因此，圆心是三点确定的两条线段的垂直平分线的交点，这样就可以确定圆心了，确定了圆心，半径是很容易确定的。这道题目给的条件比较自然，学生通过这道题可以加深对于圆的几何要素的理解，即三点可以确定一个圆。（8）如何认识“能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系”判断直线与圆、圆与圆的位置关系也要突出几何要素，把握好以下几点：①圆心到直线的距离是刻画圆与直线的位置关系的几何要素。通过比较圆心到直线的距离和与圆半径之间的大小关系可以判断直线和圆的位置关系；②两圆的圆心距是刻画两圆位置关系的几何要素。通过圆心距和半径之间的大小关系可以判断圆与圆的位置关系；③利用直线和圆的方程求出直线与圆的交点坐标、圆与圆的交点坐标来判断他们的位置关系，是用代数方法解决几何问题的基本方法，也是解析几何的特点。但是，要注意在用代数方法研究几何问题时，一定要回到原来的几何问题上去，例如，画出几何图形，从几何上认清问题的代数解表示的意义，而不要变成纯形式的代数运算。在利用方程来来判断圆与圆的位置关系时，也要注重体会在“几何要素引导”下用代数方法研究几何图形位置关系的思想，不必讨论多个圆的位置关系。例如，不讨论一般的阿波罗尼斯问题（求一圆与已知三圆相切的问题）。（9）如何认识在“平面解析几何初步”的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想”这里只要求通过用代数方程刻画直线、圆等具体几何图形，并通过研究他们的方程来研究直线、圆的性质以及他们之间的位置关系，来体会用代数方法处理几何问题的思想。渗透直线与圆上的点的坐标与其方程解的关系的思想，但不要求讨论一般曲线与方程的关系。（10）如何认识“通过具体情景，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置”；“通过表示特殊长方体（所有棱分别与坐标轴平行）顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式”。首先，要通过具体情境，比如确定办公室在大厦中的位置、调节灯在房间的位置等，来感受空间点的定位需要通过三个量（类似长方体中的长、宽、高）来确定，与平面直角坐标系类比，可以建立空间直角坐标系。在空间直角坐标系中，认识坐标平面上点的坐标的特点，并会用坐标来刻画点的位置。对空间任意一点A，确定其坐标的一般方法：过A作Z轴的平行线交平面XOY于B，过B分别作X、Y轴的平行线，分别交Y,X轴于C、D，则由OD、OC、BA的长度和方向便可求得点A的坐标。反过来，给定点的坐标，用类似的方法可以在直角坐标系中画出点A。（11）如何正确认识“通过特殊长方体顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式。”利用勾股定理，求出给定长、宽、高的长方体的对角线长。再通过表示特殊长方体（所有棱分别与坐标轴平行）顶点的坐标，利用长方体的对角线长的公式，得出空间两点间的距离公式。会求给定空间两点间的距离。但是，不要再扩展。4．教学要求（1）标准与大纲要求的对比与说明教学内容“标准”目标表述“大纲”目标表述直线与方程①在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素。②理解直线的倾斜角和斜率的概念,经历