2023学年完整公开课版函数极值

第二章函数、导数及其应用第十一节导数的应用课堂实效·检测课时作业主干知识·整合热点命题·突破导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充分条件.(2)函数的极值不是唯一的.即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个.请注意以下几点:(1)极值是一个局部概念.由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小.并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.也就是说极值与最值是两个不同的概念.oaX1X2X3X4baxy(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值,如下图所示,x1是极大值点,x4是极小值点,而f(x4)>f(x1).解：=3x2-12=3(x-2)(x+2)令=0得x=2,或x=-2下面分两种情况讨论：(1)当>0即x>2,或x<-2时;例1、求函数f(x)=x3-12x+12的极值。

x

(-∞,-2)-2

(-2,2)2

(2,+∞)+0

-0+f(x)单调递增↗28单调递减↘-4单调递增↗当x变化时，,f(x)的变化情况如下表；因此，当x=-2时，f(x)有极大值，并且极大值为f(-2)=28当x=2时，f(x)有极小值，并且极小值为f(2)=-4图象如右练习1、求函数f(x)=6+12x-x3=12-3x2=3(4-x2)=3(2-x)(2+x)x(-∞,-2)-2(-2,2)2(2,+∞)-0+0

-f(x)↘-10↗22↘命题方向二利用函数的极值求参数的值[例2]已知f(x)＝ax5－bx3＋c在x＝±1处有极大值为4，极小值为0，试确定a、b、c值．[分析]对参数的分类讨论是本题的难点．[解析]

f′(x)＝5ax4－3bx2＝x2(5ax2－3b)．由题意，f′(x)＝0应有根x＝±1，故5a＝3b，于是f′(x)＝5ax2(x2－1)(1)当a＞0时，x(－∞，－1)－1(－1,1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)

极大值

极小值

(2)当a＜0时，x(－∞，－1)－1(－1,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)

极小值

极大值

[说明]本题从逆向思维的角度出发根据题设条件进行逆向联想，合理地实现了问题的转化，使抽象问题具体化．[例3]求函数f(x)＝－x4＋2x2＋3(x∈[－3,2])的最大值和最小值．命题方向三求函数的最值[解析]

f′(x)＝－4x3＋4x＝－4x(x－1)(x＋1)由f′(x)＝0得x＝0或x＝1或x＝－1，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x-3(-3，-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,2)2f′(x)＋0－0＋0-f(x)-60

极大值4

极小值3

极大值4

－5∴当x＝－3时，f(x)取得最小值－60，当x＝－1或x＝1时，函数f(x)取得最大值4.[例4]设函数f(x)＝2x3＋3ax2＋3bx＋8c在x＝1及x＝2时取得极值．(1)求a，b的值；(2)若对于任意的x∈[0,3]，都有f(x)<c2成立，求c的取值范围．当x∈(2,3)时，f′(x)>0.所以当x＝1时，f(x)取得极大值f(1)＝5＋8c，又f(0)＝8c，f(3)＝9＋8c.则当x∈[0,3]时，f(x)的最大值为f(3)＝9＋8c，因为对于任意的x∈[0,3]，有f(x)<c2恒成立，所以9＋8c<c2，解得c<－1或c>9，因此c的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)．[规律方法](1)不等式恒成立问题与函数最值有密切的关系，解决有关不等式恒成立问题，通常转化为最值问题来解：c≥f(x)恒成立⇔c≥f(x)max；c≤f(x)恒成立⇔c≤f(x)min.(2)高次函数或非基本初等函数的最值问题，通常采用导数法解决．上例改为“若对任意的x∈[0,3]都有f(x)≥c2成立，求c的取值范围”，如何解答？[解析]

由例题可知f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，若对于任意的x∈[0,3]，都有f(x)≥c2成立，只需f(x)在x∈[0,3]上的最小值大于c2即可．又当x＝1或x＝2时，f′(x)＝0，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x0(0,1)1(1,2)2(2,3)3f′(x)＋0－0＋f(x)8c

极大