数学建模讲座

数学建模讲座2010年10月28日数学最基本的学科特征在于来源的实践性、结构的抽象性、模型的多样性、推理的精密性、计算的精确性、体系的统一性、应用的广泛性。一、数学建模竞赛简介1985年开始由美国工业与数学学会举办数学建模竞赛(MCM),每个大学限4队.1992年我国大学生数学建模竞赛开始举办，1999年有26省（市、自治区）460所学校参加。1992年由中国工业与应用数学学会(CSIAM)组织第一次竞赛1994年起由教育部高教司和CSIAM共同举办，每年一次(9月)全国高校规模最大的课外科技活动1999年开始设立大专组的竞赛1989年我国大学生开始参加这项竞赛。1990年上海率先举办了“上海市大学生数学模型竞赛”答卷按省（市、自治区）和全国两级评奖全国组委会网址：/mcm/竞赛宗旨：创新意识团队精神重在参与公平竞争中国的大学生数学建模竞赛基本上是MCM的翻版，所不同的是：1、政府部门（教育部门）组织；四大赛：（1）电子设计；（2）数学建模；（3）机械设计；（4）结构设计2、时间为9月下旬第一周末（72小时）；3、所有专业的本、专科生都可参加；4、A、B题本科生（除农、林、医）做，C、D题专科生、农、林、医专业的学生做。2004年开始全国高校研究生数学建模2008年开始网络形式全国大学生数学建模竞赛各高校、各地区组织联赛竞赛内容：竞赛的题目一般来源于工程技术和管理科学等方面经过适当简化加工的实际问题，不要求预先掌握深入的专门知识，而具有较大的灵活性供参赛者发挥。竞赛形式：开卷形式的通讯比赛，可以使用任意图书资料和互联网，自由的收集资料、调查研究。由三名学生组成一队，各参赛队任选一竞赛题。在三、四天时间内，团结合作、奋力攻关，完成一篇数学建模全过程的论文。评奖标准：没有事先设定的标准答案，多名专家从以下几个方面来综合评定（1）问题分析及假设的合理性；（2）模型的正确性和创造性；（3）运算结果的正确性；（4）结论和讨论的科学性；（5）论文表达的清晰性等。大学阶段难得的一次近似于“真刀真枪”的训练，模拟了毕业后工作时的情况，既丰富、活跃了广大同学的课外生活，也为优秀学生脱颖而出创造了条件。历年赛题的分析

随着数学建模竞赛的深入开展，竞赛的规模越来越大，竞赛的水平也在不断地提高，竞赛水平的提高主要体现在赛题水平的提高，而赛题的水平主要体现在赛题的综合性、实用性、创新性、即时性,以及多种解题方法的创造性、灵活性等，特别是给参赛者留有很大的发挥创造的想象空间。可从问题的实际意义、解决问题的方法和题型三个方面作一些简单的分析。历年赛题浏览：1992年:(Ａ)作物生长的施肥效果问题(北理工：叶其孝）(B)化学试验室的实验数据分解问题（复旦：谭永基）1993年:(Ａ)通讯中非线性交调的频率设计问题（北大:谢衷洁）(Ｂ)足球甲级联赛排名问题（清华：蔡大用）1994年:(Ａ)山区修建公路的设计造价问题（西电大：何大可）(Ｂ)锁具的制造、销售和装箱问题（复旦:谭永基等）1995年:(Ａ)飞机的安全飞行管理调度问题（复旦:谭永基等）(Ｂ)天车与冶炼炉的作业调度问题（浙大:刘祥官等）1996年:(A)最优捕鱼策略问题（北师大：刘来福）(B)节水洗衣机的程序设计问题（重大：付鹂）1997年:(A)零件参数优化设计问题（清华：姜启源）(B)金刚石截断切割问题（复旦：谭永基等）1998年:(A)投资的收益和风险问题（浙大：陈淑平）(B)灾情的巡视路线问题（上海海运学院:丁颂康）1999年:(A)自动化机床控制管理问题（北大：孙山泽）(B)地质堪探钻井布局问题（郑州大学：林诒勋）(C)煤矸石堆积问题（太原理工大学：贾晓峰）2000年:(A)DNA序列的分类问题（北工大：孟大志）(B)钢管的订购和运输问题（武大：费甫生）(C)飞越北极问题（复旦大学：谭永基）(D)空洞探测问题（东北电力学院：关信）2001年:(A)三维血管的重建问题（浙大：汪国昭）(B)公交车的优化调度问题（清华：谭泽光）(C)基金使用计划问题（东南大学：陈恩水）2002年:(A)汽车车灯的优化设计问题（复旦:谭永基等）(B)彩票中的数学问题（信息工程大学：韩中庚）(D)球队的赛程安排问题（清华：姜启源）2003年:(A)SARS的传播问题（集体）(B)露天矿生产的车辆安排问题（吉林大：方沛辰）(D)抢渡长江问题（华中农业大学：殷建肃）2004年:(A)奥运会临时超市网点设计问题(北工大：孟大志)(B)电力市场的输电阻塞管理问题(浙大:刘康生）(C)酒后开车问题（清华大学：姜启源）(D)公务员的招聘问题（信息工程大学：韩中庚）2005年:(A)长江水质的评价与预测问题（信息工大:韩中庚）(B)DVD在线租赁问题（清华大学：谢金星等）(C)雨量预报方法的评价问题（复旦大学：谭永基）2006年：A题:出版社的资源配置B题:艾滋病疗法的评价及疗效的预测C题:易拉罐形状和尺寸的最优设计D题:煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制2007年A题：中国人口增长预测B题：乘公交，看奥运C题：手机“套餐”优惠几何D题：体能测试时间安排2008年A题数码相机定位B题高等教育学费标准探讨C题地面搜索D题NBA赛程的分析与评价2009年A题制动器试验台的控制方法分析B题眼科病床的合理安排C题卫星和飞船的跟踪测控

D题会议筹备2010年A题储油罐的变位识别与罐容表标定B题2010年上海世博会影响力的定量评估C题输油管的布置D题对学生宿舍设计方案的评价从问题的实际意义方面分析,大体上可以分为工业、农业、工程设计、交通运输、经济管理、生物医学和社会事业等七个大类。

有的问题属于交叉的，或者是边缘的。

从问题的解决方法上分析，涉及到的数学建模方法有几何理论、组合概率、统计分析、优化方法、图论、网络优化、层次分析、插值与拟合、差分方法、微分方程、排队论、模糊数学、随机决策、多目标决策、随机模拟、灰色系统理论、神经网络、时间序列、综合评价方法、机理分析等方法。

用的最多的方法是优化方法和概率统计的方法.用到图论与网络优化方法；用到层次分析方法；用到插值拟合方法；用到神经网络方法；用灰色系统理论方法;用到时间序列分析方法;用到综合评价方法；机理分析方法和随机模拟都多次用到;其它的方法都至少用到一次。大部分题目都可以用两种以上的方法来解决,即综合性较强.数学建模竞赛的竞争日趋激烈

数学建模竞赛的发展趋势

由于数学建模在创新人才培养中的地位和作用所在，数学建模受到了越来越多的人的重视和关注，特别是引起了更多领导们的重视。另一方面，也是因为数学建模竞赛有很强的可比性和竞争性，竞赛成绩是反映能力和水平的一个实力型指标,也是高校评估的一个重要指标。从近几年的竞赛题目来看，题目的水平在不断提高、难度在增加、实用性在增强;特别是综合性和开放性也在增强，这是一大潮流，从发展趋势上来看，有逐步走向国际化的趋势，同国际接轨是必然的；随着计算机技术和工具软件功能的增强,数据信息量也在逐步地增大，这也是现代应用的特点之一。这些变化都为我们提出了更高的要求。全国大学生数学建模竞赛题越来越(1)综合性增强,进一步体现创新意识.(2)开放性增大,逐步同国际接轨.(3)即时性增强,扩大竞赛的社会效益.(4)实用性增强,贴近现代实际的科研工作.(5)挑战性增强,吸引更多青年学生的参与热情.我校开展数学建模的历史、方法、成绩、措施我校于1999年开始参加全国大学生数学建模竞赛。我校组织参加全国大学生数学建模采用的模式1、每年四月分组织我校大学生数学竞赛2、暑期培训大约一个月，主要讲授《数学模型》及Matlab软件的使用；大量的模拟训练。3、开学至竞赛前的训练。4、三天的竞赛。二、我校数学建模竞赛情况我校参加“全国大学生数学建模竞赛”获奖情况1999国家二等奖程焕军金华进汤中良省二等奖张平王凯钱向明2000省一等奖周志红夏科军鞠熠昊省一等奖汤虹何文余刚省二等奖金华进黄武钢汤中良省二等奖陶海东张家业江李雅省二等奖周汝梁叶飞虹侯湘洪2001省一等奖陈光荣曾罡周玲霞2002省一等奖刘细强王鸿豪梅文婷省一等奖骆名文余亮顾广花省二等奖徐枫严小雨徐飞2003省二等奖严小雨夏长春李奇兵2004省一等奖佘志强陈德良陈娟2005国家二等奖佘志强陈德良陈娟2006年：省二等奖姚东文鞠月琴赵衡2007年：省三等奖魏翔王能波李珍珍2008年：省一等奖，谢尧城、郑云龙、韩庆英省二等奖，胡峰、陈绪燕、秦龙2009年全军覆没！2010年的情况目前不清楚！初步估计又可能是一个2009年！全国特等奖（第二阶段）,刘飞，魏翔，王能波全国一等奖（第三阶段），刘飞，魏翔，王能波 全国二等奖（第二阶段），虞宋超，曾金玲，杨建辉2008年第一届数学中国杯数学建模网络挑战赛2009年：全国三等奖（第一阶段）杨建辉虞宋超尹富林全国三等奖（第一阶段）胡峰秦龙陈绪燕 全国一等奖（第一阶段）谢尧城颜丽周月元全国三等奖（第二阶段）郑云龙陶红凡胡敏 全国二等奖（第二阶段）杨建辉虞宋超尹富林全国二等奖（第二阶段）胡峰秦龙陈绪燕全国二等奖（第二阶段）谢尧城颜丽周月元 2010年“scienceword”杯数学建模网络挑战赛全国二等奖（第一阶段）：容征、李郭、叶珍芳全国二等奖（第一阶段）：李伟能、刘娟、华斌全国优秀奖（第一阶段）：许闹、裴良珍、黄胜猛全国一等奖（第二阶段）：李郭、容征、叶珍芳全国二等奖（第二阶段）：李伟能、刘娟、华斌全国优秀奖（第二阶段）：许闹、裴良珍、黄胜猛研究生竞赛2009年：全国三等奖彭柳艳罗劲郭君全国三等奖董鹏真李先锋尧燕玲2008年：全国二等奖米瑞利林祥云王学文全国三等奖朱怡李先锋赵志冲 2007年：全国三等奖郑仟等2006年：全国一等奖郑仟等2005年：全国三等奖田志华等对参赛同学的基本要求1）具有一定的计算机操作能力及编程能力，尤其要能熟练使用Matlab,Lingo,Mathematica,SPSS,Word等软件，这一方面的要求会越来越高。2）一队里至少有一人具有较好的协调能力及写作能力。3）每人要求具有较好的数学功底及数学素质，起码是已经学过《高等数学》或《微积分》、《线性代数》、《概率论与数理统计》，还要求对“运筹学”、“计算机算法设计”、“离散数学”、“组合学”等等方面有所涉猎。4）要求每人具备一定的工程背景知识。5）具有较灵活的思维及快速猎取知识的能力。6）良好的心理素质、及时妥协能力、吃苦的精神、以及与他人协作的能力。三、数学建模的一般过程模型准备模型假设模型构成模型评价模型检验模型求解模型应用模型准备1、问题分析

深入理解问题的含义和背景。确立解决该问题的最高层目标。

从最高层目标出发顺藤摸瓜，即揭示影响最高目标的各个子层。坚持抓主要因素和主要关系的原则2、符号设定符号设定是与问题分析过程相伴完成的同时也与建立模型过程结伴而行。任何一个建模过程中，最高目标层的符号都是相对独立地首先设定的。

模型假设1、意义：假设是简化实际问题的必须手段。假设能缩小问题的涉及范围，使问题的条件更加明确且条理更加清晰。做假设的过程中，能进一步辨清问题的主次方面。2、作用：简化问题，有利于辨识并列出与问题的研究目标更紧密的相关因素及其关系。使模型更加严谨。拟建立的数学模型常被认为是对实际问题的近似刻划，这种数学形式应该符合数学的要求，不能显示出任何逻辑破绽。

降低问题难度。清晰地记录我们所建的模型忽略是哪些因素和关系，为以后改进模型奠定基础。3、原则：1、假设必须合理且典型。2、建模初期由宽到严，模型改进中由严到宽。3、注重与建模其它阶段的配合。例１：方桌问题的假设：１）视方桌的４只脚依次为４个点。２）方桌是规则的，即４点在一个平面上。３）拟放置方桌的地面连续且不特别陡峭。４）把放稳理解为４个脚同时着地。模型建立１、过程基于“问题分析”阶段的结果，已经理清了问题的各条线路、各个层次、各个片段及其相互关系，建立模型就是把这些分析结果先分别表示成数学形式，然后再把这些形式合理整合成一个统一的数学形式。２、原则对问题每一个方面所选择的数学表达都应能合理表达该方面的因素间的关系。有利于模型的整合及模型的求解模型求解模型求解必须在明确认识模型的数学归类的基础上进行.1）结论为归纳型或猜想型的模型，用论证的方式给出求解过程。2）表达式或表达式组类型的模型，用相应的数学算法计算出问题的结论。这类模型中的大多数都有很大的运算量，运算结构也较复杂，或者现有数学方法不可能给出其精确解，于是，不借助于计算机，求解工作一般无法完成。3）数据模型和随机模型，一般都有很大的运算量或者基于大量的模拟才能给出问题的更精确结论，甚至对有些特别复杂的问题，由于涉及的因素太多且不确定性太大，数学模型自身就是一个计算机模拟过程。4）必要时对所建模型作适当简化后方可进行求解。有些问题的数学模型，现有数学理论并没有给出完善的求解方法，例如多目标非线性规划模型，这时需要我们根据实际问题的属性和要求，适当地简化模型，得到适应于问题要求的参考解。5）有些问题的数学模型本身就是一个数学处理过程，并不能明确地把问题集中地表达成某种数学形式，而是采用一系列数学处理得出了问题的结果。对这类问题，自然不需要单独列出模型求解这一步。6）计算机是数学建模的得力助手。很多模型的求解都面临大量的计算，所建模型是否与实际吻合，常需要用模型的解来判断，而且这种工作，在建立一个实际问题的数学模型过程中也常需要重复多遍。因此，熟练使用计算机计算数学问题是对数学建模工作者的必须要求。这一方面要求具有一定的编程水平，更重要地是能熟练使用现有计算软件包。现时用于数学建模中较好的软件包有：Mathematica;Matlab;SAS.模型评价对模型解答的意义作出解释，模型对数据依赖性作出分析，对模型相关因素的敏感性作出分析，对假设条件的现实性作出说明。模型检验1、模型的事实检验公理性检验.常用法则检验和自然法则检验.经验误差分析.建模碰到的有些问题是已经有研究历史的问题,如果所得的经验已被几乎所有事实证明,那么,我们的模型所得出的结论不应该例外.2、模型的数学检验数值模拟检验统计检验.这种检验多用在数据建模的过程中.预测检验.借用所建模型模型,用历史预测现实,以验证模型的准确度.四、数学建模竞赛论文的结构1、摘要2、问题重述3、问题分析4、符号说明5、模型假设6、模型建立7、模型求解8、模型结果分析9、模型优缺点10、改进方向11、参考文献12、附录五、几个简单建模例子一个雨天，你有件急事需要从家中到学校去，学校离家不远，仅一公里，况且事情紧急，你来不及花时间去翻找雨具，决定碰一下运气，顶着雨去学校。假设刚刚出发雨就大了，但你不打算再回去了，一路上，你将被大雨淋湿。一个似乎很简单的事情是你应该在雨中尽可能地快走，以减少雨淋的时间。但如果考虑到降雨方向的变化，在全部距离上尽力地快跑不一定是最好的策略。试建立数学模型来探讨如何在雨中行走才能减少淋雨的程度。1、雨中行走问题1建模准备建模目标：在给定的降雨条件下，设计一个雨中行走的策略，使得你被雨水淋湿的程度最小。主要因素：淋雨量，降雨的大小，降雨的方向（风），路程的远近，行走的速度2）降雨大小用降雨强度厘米/时来描述，降雨强度指单位时间平面上的降下水的厚度。在这里可视其为一常量。3）风速保持不变。4）你一定常的速度米/秒跑完全程米。2模型假设及符号说明1）把人体视为长方体，身高米，宽度米，厚度米。淋雨总量用升来记。3模型建立与计算1）不考虑雨的方向，此时，你的前后左右和上方都将淋雨。淋雨的面积雨中行走的时间降雨强度模型中结论，淋雨量与速度成反比。这也验证了尽可能快跑能减少淋雨量。从而可以计算被淋的雨水的总量为2.041（升）。经仔细分析，可知你在雨中只跑了2分47秒，但被淋了2升的雨水，大约有4酒瓶的水量。这是不可思议的。表明：用此模型描述雨中行走的淋雨量不符合实际。原因：不考虑降雨的方向的假设，使问题过于简化。2）考虑降雨方向。人前进的方向若记雨滴下落速度为（米/秒）雨滴的密度为雨滴下落的反方向表示在一定的时刻在单位体积的空间内，由雨滴所占的空间的比例数，也称为降雨强度系数。所以，因为考虑了降雨的方向，淋湿的部位只有顶部和前面。分两部分计算淋雨量。顶部的淋雨量前表面淋雨量总淋雨量（基本模型）可以看出：淋雨量与降雨的方向和行走的速度有关。问题转化为给定，如何选择使得最小。情形1结果表明：淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时淋雨量达到最小。假设你以6米/秒的速度在雨中猛跑，则计算得情形2结果表明：淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时淋雨量达到最小。假设你以6米/秒的速度在雨中猛跑，则计算得情形3此时，雨滴将从后面向你身上落下。出现这个矛盾的原因：我们给出的基本模型是针对雨从你的前面落到身上情形。因此，对于这种情况要另行讨论。当行走速度慢于雨滴的水平运动速度，即这时，雨滴将淋在背上，而淋在背上的雨水量是淋雨总量为再次代如数据，得结果表明：当行走速度等于雨滴下落的水平速度时，淋雨量最小，仅仅被头顶上的雨水淋湿了。若雨滴是以此时，淋雨总量为这意味着你刚好跟着雨滴前进，前后都没淋雨。从背后落下，你应该以的角的角度落下，即雨滴以当行走速度快于雨滴的水平运动速度，即你不断地追赶雨滴，雨水将淋湿你的前胸。被淋得雨量是淋雨总量为4结论若雨是迎着你前进的方向向你落下，这时的策略很简单，应以最大的速度向前跑；若雨是从你的背后落下，你应控制你在雨中的行走速度，让它刚好等于落雨速度的水平分量。5注