信号经验模态分解中虚假模态分量消除方法

信号经验模态分解中虚假模态分量消除方法

现有补偿方法的发展信号采集频率与经验模型分解误差密切相关。当采样频率在信号频率的2～10倍范围内,EMD分解中派生虚假模态分量,信号分解不服从能量守恒原理。现有补偿方法是通过插值方法增加信号采样点数从而减少经验模态分解误差。盖广洪提出对采样频率不足的原始信号进行重构,采用sinc函数,通过内插的方式来增加采样点数,从而增加采样频率,该方法在旋转机械的振动信号重构中取得了良好效果。由于插值误差有滤波效应,因此它适合于采样频率与信号频率比不太高的情况。黄海提出了傅里叶插值方法,同样能增加采样点数,并在语音信号重构中取得明显效果。由于泄漏误差对傅里叶变换的干扰,该方法的应用对象有局限性。因此,在正常采样条件下,探索一种全新的方法,剔除虚假模态分量,消除EMD分解误差,实现高精度经验模态分解,显得非常重要。1采样信号的emd分解EMD分解法在寻找离散信号的局部最大值及最小值过程中,不一定得到实际信号的极值,只能取得离散信号的极值。因此,所得的包络线并非实际信号的包络线,如图1所示。在经验模态分解中,极值偏差造成包络误差,即信号筛选处理误差。当采样频率恒定,随着实际信号频率的提高,这种误差会更加突出。为了说明EMD分解误差形成过程,设单频等幅正弦波信号的频率为330Hz,如果采样频率足够高,对采样后的离散信号X采用EMD分解,则分解结果只有一个波形,即为原信号。但当采样频率为1024Hz(采样率为3.10)时,情况就大不相同。采样后的信号如图2(a)所示,信号X失去等幅形状。对它进行EMD分解,分解结果如图2(b,c)所示,第1阶本征模态分量(IMF1)x1在原信号上叠加了误差,改变了波形。同时产生第2阶本征模态分量(IMF2)x2,它是派生得到的,称为虚假模态分量。图3则是采样信号X和IMFi分量对应的频谱。上述特例中EMD分解过程可以描述为X=x1+x2(1)X=x1+x2(1)第1阶本征模态分量x1包含真实信号X和误差e,见图2(b),第2阶本征模态分量x2为虚假模态分量p,见图2(c),于是式(1)表达为X=X+e+p(2)X=X+e+p(2)因此得到e=-p(3)e=−p(3)第1阶本征模态分量误差e与虚假模态分量p大小相同,相位相反。对式(1)两边平方积分∫∞-∞X2dx=∫∞-∞(x1+x2)2dx=∫∞-∞(x21+x22+2x1x2)dx=∫∞-∞[x21+x22+2p(X-p)]dx(4)∫∞−∞X2dx=∫∞−∞(x1+x2)2dx=∫∞−∞(x21+x22+2x1x2)dx=∫∞−∞[x21+x22+2p(X−p)]dx(4)由于原信号X与虚假模态分量p的频率不相同,它们相互正交,得∫∞-∞2p(X-p)dx=-2∫∞-∞p2dx(5)∫∞−∞2p(X−p)dx=−2∫∞−∞p2dx(5)所以式(4)为∫∞-∞X2dx=∫∞-∞(x21+x22-2p2)dx<∫∞-∞(x21+x22)dx(6)∫∞−∞X2dx=∫∞−∞(x21+x22−2p2)dx<∫∞−∞(x21+x22)dx(6)原信号X的平方积分小于各模态分量平方和的积分。这意味着信号X的EMD分解在虚假模态存在情况下能量不守恒。2emd分解过程中误差分量的存在状态对一般情况,EMD分解的完备性是指分解后n个本征模态分量xi与余量r相加获得原信号XX=n∑i=1xi+r(7)X=∑i=1nxi+r(7)当信号采样率不足,多个虚假模态分量存在时,信号X分解表达为X=w∑i=1ci+u∑j=1pj+r(8)X=∑i=1wci+∑j=1upj+r(8)其中:ci为本征模态分量;pi为虚假模态分量;r为分解残余量;n=w+u,w≥1,u≥0。如图3(b)所示,第1阶本征模态分量中除真实模态分量外,还存在分解误差。由此推断,在一般情况下,EMD分解中存在多个本征模态分量,所有本征模态分量和中包含原始信号X和分解误差ew∑i=1ci=X+e(9)∑i=1wci=X+e(9)在忽略分解残余量r情况下,式(8)简化为X≈X+e+u∑i=1pi(10)X≈X+e+∑i=1upi(10)由此得到e=-u∑i=1pi(11)e=−∑i=1upi(11)由于虚假模态pi分布在不同阶的本征模态分量上,它们相互正交,因此总分解误差e是由相互正交、相位与虚假模态pi相反的u个分量组成。设总分解误差e是由u个误差分量ei组成,误差分量ei与虚假模态分量pi一一对应,且大小相等,方向相反,个数相等。误差分量存在于采样率相对低的模态分量中。由于第1阶本征模态分量中信号采样率最低,所以大多数情况下误差分量存在于第1阶模态分量c1中。经验表明,只有在极端情况下有一部分误差分量存在于第2阶本征模态分量c2中。另外,与式(6)类同,当虚假模态分量存在时,原信号的平方积分小于各模态分量平方和的积分,表达式为∫∞-∞X2(t)dt<∫∞-∞[w∑i=1c2i+u∑i=1p2i]dx=∫∞-∞[n∑i=1x2i]dx(12)相反,当EMD分解没有虚假模态分量出现时,考虑分解残余量的存在,有∫∞-∞X2(t)dt≥∫∞-∞[n∑i=1x2i]dx(13)EMD分解结果服从能量守恒。因此,在采样不足的情况下,EMD分解中虚假模态分量的性质归纳如下:(1)虚假模态分量与第1阶本征模态分量c1(也有可能分解误差分量存在c2)中对应的误差分量大小相等,相位相反,个数相等;(2)虚假模态分量的频率分量低于第1阶本征模态分量的频率;(3)虚假模态分量存在时,信号EMD分解结果不服从能量守恒。3第1阶本征模态分量的确定根据EMD分解的完备性、能量原理守恒和虚假模态分量的性质,检验和除去虚假模态分量,消除本征模态分量中误差的方法称模态函数消除法。在数字信号处理中,用信号x的均方值ψ2x代替信号的平方积分,具体操作步骤如下:(1)应用性质(3)总体检验EMD分解中是否存在虚假模态分量,如果存在,则能量不守恒ψ2X<4∑i=1ψ2xi(14)EMD分解结果需逐一检验,否则退出检验;(2)分量检验与剔除虚假模态。当第1阶本征模态分量x1与真实本征模态分量xi(高阶本征模态分量)相加时,则能量增加,用均方值表示为ψ2x1+xi>ψ2x1(15)当第1阶本征模态分量x1与本征模态分量xj(高阶本征模态分量)相加时,如果第1阶本征模态分量的成分与本征模态分量相互抵消,则能量减少则本征模态分量xj判为虚假模态分量,并从分解结果中剔除该虚假模态分量xj;(3)模态更新。用第1阶本征模态分量与虚假模态分量相加以后的分量更替第1阶本征模态分量。在更新的第1阶本征模态分量中,误差分量被虚假模态分量抵消,从而达到误差分量被剔除的目的。如果存在多个虚假模态分量,则模态更新操作需逐一进行xnew1=x1+xj(17)因此,模态函数消除法归纳如下:在EMD分解以后,用第1阶本征模态分量与高阶本征模态分量逐一相加,检验其能量增减。对能量增加的高阶本征模态分量判定为真实本征模态分量,并加以保留;相反,对分量相加以后能量减少的高阶本征模态分量判定为虚假模态分量,加以剔除。让第1阶本征模态分量与虚假模态分量相加以后的分量成为更替的第1阶本征模态分量,从而形成新的第1阶本征模态分量。完成模态消除法以后,所有的虚假模态分量被剔除,真实的本征模态分量被保留,从而第1阶本征模态分量得到提纯。4虚假模态分量的计算基于模态函数消除法,编制相应的程序,用仿真数据证实其方法的有效性。设仿真信号有两个分量X(t)=sin(2π400t)+0.5sin(2π5t)(18)当采样频率为1024Hz时,信号经验模态分解如图4所示,模态分解有4个结果,它们是x1,x2,x3和x4。根据模态函数消除法,能量判别为ψ2X=0.6218<4∑i=1ψ2xi=0.6881(19)从虚假模态性质(3)知,信号的EMD分解不服从能量守恒,推知分解结果中包含虚假模态分量。用第1阶本征模态分量与高阶本征模态分量逐一相加,检验其能量增减,其计算结果见表1。从结果知:x2和x3是虚假模态分量,消除误差以后的本征模态分量最后的形式为ΙΜF1=xnew1=x1+x2+x3(20)ΙΜF2=x4(21)经过模态函数消除法处理以后,信号经验模态分解结果如图5所示。第1阶本征模态分量的波形得到很大改进,原信号与各本征模态分量的能量关系为ψ2X=ψ2ΙΜF1+ψ2ΙΜF2=0.5012+0.1206=0.6218(22)由此可见,通过模态函数消除法处理,信号EMD分解结果既符合能量守恒,又服从经验模态分解的完备性,信号EMD分解具有