圆锥曲线专题复习第二十一讲：仿射变换（原卷版）

第二十一讲：仿射变换【学习目标】基础目标：掌握椭圆的简单性质，椭圆与圆的变换过程；应用目标：掌握椭圆相关，求解点，点和面积的关系，与圆之间的变换形式；拓展目标：能够熟练应用仿射，将椭圆变换成圆，进行更加特殊化处理先关问题.素养目标：通过数形结合，转化与化归等思想方法，培养独立思考和逻辑分析能力，提升学生的数学运算和数学抽象的核心素养.【基础知识】我们以椭圆为例阐述上述性质．椭圆，经过仿射变换，则椭圆变为了圆，并且变换过程有如下对应关系：（1）点变为；（2）直线斜率变为，对应直线的斜率比不变；（3）图形面积变为，对应图形面积比不变；（4）点、线、面位置不变（平⾏直线还是平⾏直线，相交直线还是相交直线，中点依然是中点，相切依然是相切等）；（5）弦长关系满足，因此同一条直线上线段比值不变，三点共线的比不变总结可得下表：变换前变换后方程横坐标纵坐标斜率面积弦长不变量平行关系；共线线段比例关系；点分线段的比拓展：（1）圆的面积为，所以椭圆的面积为.（2）在椭圆中，面积的最大值：.【考点剖析】考点一：点、线的仿射变换例题1、MN是椭圆上一条不过原点且不垂直于坐标轴的弦，P是MN的中点，则_________，A，B是该椭圆的左右顶点，Q是椭圆上不与A，B重合的点，则_________．CD是该椭圆过原点O的一条弦，直线CQ，DQ斜率均存在，则_________．变式训练1、设直线和椭圆有且仅有一个公共点，求和的取值范围．变式训练2、在椭圆上求一点，使它到直线的距离最短，并求此距离．变式训练3、已知椭圆,直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为．（Ⅰ）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；（Ⅱ）若过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时的斜率，若不能，说明理由．考点二：图形面积的仿射变换例题1、已知点A(0，－2)，椭圆E：(a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点.(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点.当△OPQ的面积最大时，求l的方程.变式训练1、已知椭圆：（）的离心率为，，，，的面积为1.（1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：为定值.变式训练2、平面直角坐标系中，过椭圆右焦点的直线交于两点，为的中点，且的斜率为．（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）为上的两点，若四边形的对角线，求四边形的最大值．【当堂小结】1、知识清单：（1）椭圆的简单性质即应用；（2）椭圆与圆之间的仿射变换；（3）椭圆与圆之间仿射变换中的点，线和面积的变换倍数；2、易错点：点，线的仿射倍数变换；3、考查方法：数形结合思想，数与形的转化；4、核心素养：数学运算，数学抽象.【过关检测】MPAxyBC1、如图，在平面直角坐标系中，分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于两点，其中在第一象限，过作轴的垂线，垂足为，连接，并延长交椭圆于点，设直线的斜率为．MPAxyBC（Ⅰ）当直线平分线段时，求的值；（Ⅱ）当时，求点到直线的距离；（Ⅲ）对任意，求证：．2、在平面直角坐标系中，已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，短轴长是2，离心率为．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)，是椭圆上满足三角形的面积为的任意两点，为线段的中点，射线交椭圆于点.设，求实数的值.3、如图，椭圆（其中）与过点的直线有只且只有个公共点，且椭圆的离心率．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设分别为椭圆的焦点，为线段的中点，求证：．4、已知椭圆的一个焦点为，离心率为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线互相垂直，求点的轨迹方程．5、如图，椭圆的中心为原点，离心率，一条准线的方程为．（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；(Ⅱ)设动点满足：，其中是椭圆上的点，直线与的斜率之积为，问：是否存在两个定点，使得为定值？若存在，求的坐标；若不存在，说明理由．6、在平面直角坐标系中，椭圆的右准线为直线，动直线交椭圆于两点，线段的中点为，射线分别交椭圆及直线于点，如图，当两点分别是椭圆的右顶点及上顶点时，点的纵坐标为（其中为椭圆的离心率），且．(1)求椭圆的标准方程；(2)如果是的等比中项，那么是否为常数？若是，求出该常数；若不是，请说明理由．7、平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是，以为圆心