高考数学理科人教通用版核心讲练大一轮复习课时分层提升练五十七抛物线

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时分层提升练五十七抛物线……30分钟60分一、选择题(每小题5分,共25分)1.设抛物线y2=2px的焦点在直线2x+3y8=0上,则该抛物线的准线方程为 ()A.x=1 B.x=2C.x=3 D.x=4【解析】选D.因为抛物线y2=2px的焦点(p2,0)在2x+3y8=0上所以p=8,所以抛物线的准线方程为x=4.2.已知点A(0,2),抛物线C1:y2=ax(a>0)的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N.若|FM|∶|MN|=1∶5,则a的值为 ()A.14 B.1【解析】选D.依题意,点F的坐标为a4,|KM|∶|MN|=1∶5,则|KN|∶|KM|=2∶1.因为kFN=0-2a4-0=所以8a3.(2020·毕节模拟)已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|=54x0,则x0等于【解析】选A.由抛物线的定义,可得|AF|=x0+14,因为|AF|=54x所以x0+14=54x0,所以x4.(2020·遵义模拟)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y 2 2【解析】选A.①若焦点弦AB⊥x轴,则x1=x2=p2所以x1x2=p2所以y1y2=p2,所以y1②若焦点弦AB不垂直于x轴,可设AB的直线方程为y=kx-联立y2=2px得k2x2(k2p+2p)x+p2则x1x2=p2所以y1y2=p2.故y15.抛物线y2=8x的焦点为F,点P(x,y)为该抛物线上的动点,又已知点A(2,0),则|PA|A.[3,+∞) B.(1,2]C.[1,4] D.[1,2]【解析】选D.由抛物线定义得|PF|=x+2,又|PA|=(x+2)所以|PA|=1+8当x=0时,|PA当x≠0时,|PA|=1+8x+因为x+4x≥2x所以|PA||PF|综上所述,|PA||二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2019·北京高考)设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.则以F为圆心,且与l相切的圆的方程为________________.

【解析】由已知,2p=4,p2=1,所以焦点F(1,0),准线l为x=1,所求圆半径为2,方程为(x1)2+y2答案:(x1)2+y2=47.(2020·泸州模拟)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过F的直线l与抛物线交于A,B两点,直线l的斜率是125,O为坐标原点,若△AOB的面积为138,则p=【解析】根据抛物线定义易知直线AB的方程为y=125·x-p2,将直线方程与抛物线方程联立得:6y25py6p2=0,设A(x1,y1)B(x2,y2),则S=12·p2·|y1y2|=138,|y1所以p4·136p=138⇒答案:38.设抛物线y2=4x的焦点为F,过点F作直线l与抛物线分别交于两点A,B,若点M满足=12,过M作y轴的垂线与抛物线交于点P,若|PF|=2,则M点的横坐标为________.

【解析】抛物线y2=4x的焦点F1,0,由题意知,直线AB的斜率存在.设Ax1,y1,Bx2,y2,M所以y2所以ky24y4k=0,所以y1+y2=4k所以y0=y1+y因为y02=4x′,所以x′=因为|PF|=2,所以x′=1,k2=1,所以x0=x1+x22答案:3三、解答题(每小题10分,共20分)9.如图,已知抛物线y2=2px(p>0)有一个内接直角三角形,直角顶点在原点,两直角边OA与OB的长分别为1和8,求抛物线的方程.【解析】设直线OA的方程为y=kx,k≠0,则直线OB的方程为y=1k由y=kx,y2同理得B点坐标为(2pk2,2pk),由|OA|=1,|OB|=8,可得4p②÷①得k6=64,即k2=4.则p2=16k2(k2故所求抛物线方程为y2=4510.(2020·曲靖模拟)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,A(x1,y1),B(x2,y2)是过F的直线与抛物线的两个交点.求证:(1)y1y2=p2,x1x2=p2(2)1|AF|+(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.【证明】(1)由已知得抛物线的焦点坐标为p2由题意可设直线方程为x=my+p2,代入y2得y2=2pmy+p2,即y2则y1,y2是方程(*)的两个实数根,所以y1y2=p2.因为y12=2px1,y22=2px2,所以y12y所以x1x2=y12y22(2)1|AF|+1|=x1因为x1x2=p24,x1+x得1|AF|+1|BF(3)设AB的中点为M(x0,y0),分别过A,B作准线的垂线,垂足为C,D,过M作准线的垂线,垂足为N,则|MN|=12(|AC|+|BD|)=1=12所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.……20分钟40分1.(5分)(2019·石家庄模拟)直线3x4y+4=0与抛物线x2=4y和圆x2+(y1)2=1从左到右的交点依次为A,B,C,D,则|AB| B.116 D.【解析】选B.由3x-4y所以xA=1,yA=14,xD=4,yD直线3x4y+4=0恰过抛物线的焦点F(0,1),且该圆圆心为F(0,1),所以|AF|=yA+1=54,|DF|=yD所以|AB||CD|2.(5分)抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,O为坐标原点,M为抛物线上一点,且|MF|=4|OF|,△MFO的面积为43,则抛物线的方程为 ()2=6x 2=8x2=16x 2=15【解析】选B.设M(x,y),因为|OF|=p2所以|MF|=2p,由抛物线定义知x+p2=2p,所以x=32p,所以y=±又△MFO的面积为43,所以12×p2×3p=4所以抛物线的方程为y2=8x.3.(5分)如果P1,P2,…,Pn是抛物线C:y2=4x上的点,它们的横坐标依次为x1,x2,…,xn,F是抛物线C的焦点,若x1+x2+…+xn=10,则|P1F|+|P2F|+…+|PnF|= ()A.n+10 B.n+20C.2n+10 D.2n+20【解析】选A.由抛物线的方程y2=4x可知其焦点为(1,0),准线为x=1,由抛物线的定义可知|P1F|=x1+1,|P2F|=x2+1,…,|PnF|=xn+1,所以|P1F|+|P2F|+…+|PnF|=x1+1+x2+1+…+xn+1=(x1+x2+…+xn)+n=n+10.4.(5分)一个顶点在原点,另外两点在抛物线y2=2x上的正三角形的面积为________.

【解析】如图,根据抛物线的对称性得∠AOx=30°.直线OA的方程y=33x,代入y2=2x,得x26x=0,解得x=0或x=6.即得A的坐标为(6,23).所以|AB|=43,正三角形OAB的面积为12×43×6=123答案:1235.(10分)(2020·成都模拟)已知点A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线y2=4x上相异两点,且满足x1+x2=2.(1)若AB的中垂线经过点P(0,2),求直线AB的方程.(2)若AB不垂直于x轴且AB的中垂线交x轴于点M,求△AMB面积的最大值及此时直线AB的方程.【解析】(1)当AB垂直于x轴时,显然不符合题意,所以可设直线AB的方程为y=kx+b,代入方程y2=4x得:k2x2+(2kb4)x+b2=0,所以x1+x2=4-2kb所以直线AB的方程为y=k(x1)+2k因为AB中点的横坐标为1,所以AB中点的坐标为1,2k,所以AB的中垂线方程为y=1k(x1)+2k因为AB的中垂线经过点P(0,2),故3k=2,得k=3所以直线AB的方程为y=32x1(2)由(1)可知AB的中垂线方程为y=1kx+3所以M点的坐标为(3,0).因为直线AB的方程为k2xky+2k2=0,所以M到直线AB的距离d=|3k2由k得k24y2ky+2k所以y1+y2=4k,y1·y2=8|AB|=1+1k2|y1y2所以S△AMB=41+1设1-1k所以S=4t(2t2)=4t3+8t,S′=12t2+8,由S′=0,得t=63所以S=4t3+8t在0,63上递增,在当t=63时,S有最大值,即k=±3Smax=1669,此时直线AB方程为3x±6.(10分)已知抛物线C1:y2=4x和C2:x2=2py(p>0)的焦点分别为F1,F2,点P(1,1),且F1F2⊥OP(O为坐标原点).(1)求抛物线C2的方程.(2)过点O的直线交C1的下半部分于点M,交C2的左半部分于点N,求△PMN面积的最小值.【解析】(1)由题意知F1(1,0),F20,所以=-1,p2,因为F1F所以·=-1,p2·(1,1