空间向量基本定理（四大题型）

1．2空间向量基本定理【题型归纳目录】题型一：基底的判断题型二：基底的运用题型三：正交分解题型四：用空间向量基本定理解决相关的几何问题【知识点梳理】知识点01：空间向量基本定理及样关概念的理解空间向量基本定理：如果空间中的三个向量，，不共面，那么对空间中的任意一个向量，存在唯一的有序实数组，使得．其中，空间中不共面的三个向量，，组成的集合{，，}，常称为空间向量的一组基底．此时，，，都称为基向量；如果，则称为在基底{，，}下的分解式．知识点2：空间向量的正交分解单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示．正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．知识点3：用空间向量基本定理解决相关的几何问题用已知向量表示某一向量的三个关键点：（1）用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．（2）要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．（3）在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立【典型例题】题型一：基底的判断例1．（2023·全国·高二随堂练习）已知为空间的一组基底，则下列向量也能作为空间的一组基底的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】对于A中，由，所以不能作为一组空间基底；对于B中，假设共面，则存在，使得，即，可得，此时方程组无解，所以不共面，所以向量可以作为空间的一组基底；对于C中，由，所以不能作为空间的一组基底；对于D中，由，所以不能作为空间的一组基底.故选：B.例2．（2023·全国·高二课堂例题）如图，在平行六面体中，可以作为空间向量的一个基底的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【解析】因为，，共面，故A错误；因为，，共面，故B错误；因为，，共面，故D错误；因为，，三个向量是不共面的，可以作为一个基底，故C正确；故选：C例3．（2023·高二课时练习）在三棱柱中，可以作为空间向量一组基底的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【解析】对于A，因为向量，，是共面向量，∥，所以，，是共面向量，所以不能作为基底，所以A错误，对于B，因为，，是共面向量，所以不能作为基底，所以B错误，对于C，因为，，这三个向量不共面，所以能作为一组基底，所以C正确，对于D，因为，，是共面向量，所以不能作为基底，所以D错误，故选：C变式1．（2023·高二单元测试）设是空间的一组基底，则一定可以与向量，构成空间的另一组基底的向量是（

）A． B． C． D．或【答案】C【解析】因为是空间的一组基底，所以向量不共面，而向量，，则，，故，与或共面，则不与共面.故选：C.变式2．（2023·高二课时练习）已知是空间向量的一组基底，，一定可以与向量，构成空间向量的另一组基底的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】对于A，因为，所以共面，故A错误；对于B，因为，所以共面，故B错误；对于C，因为不共面，所以不共面．若存在，使成立，则共面，这与已知是空间一组基底矛盾，故不共面，故C正确；对于D，显然共面，故D错误.故选：C.变式3．（2023·全国·高二专题练习）若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间基底的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】对于A，，因此向量共面，故不能构成基底，故A错误；对于B，，因此向量共面，故不能构成基底，故B错误；对于C，假设向量共面，则，即，这与题设矛盾，假设不成立，可以构成基底，故C正确；对于D，，因此向量共面，故不能构成基底，故D错误；故选：C.【方法技巧与总结】空间向量基底．不共面的三个向量构成空间向量的基底．题型二：基底的运用例4．（2023·安徽安庆·高二安徽省桐城中学校考期末）如图，在平行六面体中，已知，则用向量可表示向量为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】在平行六面体中，，所以故选：D．例5．（2023·北京·高二北京十五中校考期中）已知三棱锥，点M，N分别为，的中点，且，，，用，，表示，则等于（）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为，，，所以.故选：D.例6．（2023·全国·高二专题练习）已知正方体，点是的中点，点是的三等分点，且，则等于（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】如图所示，，.故选：D.变式4．（2023·高二单元测试）如图：在平行六面体中，M为，的交点．若，，，则向量（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为在平行六面体中，M为，的交点，，，，所以,故选：B变式5．（2023·高二课时练习）在四面体中，，点在上，且,为中点，则（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】点在线段上，且，为中点，，，．故选：B．变式6．（2023·全国·高二专题练习）如图，在空间四边形中，，，，且，，则等于（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为，即为的中点，所以，因为，所以，.故选：C变式7．（2023·全国·高二专题练习）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，且，若，则（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】，，，，，，.故选：A.变式8．（2023·安徽滁州·高二统考期末）在四面体中，是的中点，是的中点．设，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依题意.故选：D变式9．（2023·广西百色·高二统考期末）在正四面体中，，，，为中点，为靠近的三等分点，用向量，，表示（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为为中点，所以，因为为靠近的三等分点，所以，所以，∴.故选：A.变式10．（2023·全国·高二阶段练习）已知矩形为平面外一点，平面，点满足，．若，则（

）A． B．1 C． D．【答案】C【解析】因为，，所以，因为，所以，，，所以.故选：C变式11．（2023·全国·高二专题练习）半正多面体又称“阿基米德多面体”，它是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.把正四面体的每条棱三等分，截去顶角所在的小正四面体，得到一个有八个面的半正多面体，如图，点P，A，B，C，D为该半正多面体的顶点，若，，，则（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】如下图所示，所以.故选：A.【方法技巧与总结】1、空间中，任一向量都可以用一组基底表示，且只要基底确定，则表示形式是唯一的．2、用基底表示空间向量时，一般要结合图形，运用向量加法、减法的平行四边形法则、三角形法则，以及数乘向量的运算法则，逐步向基向量过渡，直至全部用基向量表示．3、在空间几何体中选择基底时，通常选取公共起点最集中的向量或关系最明确的向量作为基底，例如，在正方体、长方体、平行六面体、四面体中，一般选用从同一顶点出发的三条棱所对应的向量作为基底．题型三：正交分解例7．（2023·高二课时练习）若向量在空间的的一组基底下的坐标是，则在基底下的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为在基底下的坐标是，所以，设在基底下的坐标为，则，因此，所以，即，即向量在基底下的坐标为．故选：C．例8．（2023·广东佛山·高二校联考期中）定义：设是空间向量的一个基底，若向量，则称实数组为向量在基底下的坐标．已知是空间向量的单位正交基底，是空间向量的另一个基底．若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为．【答案】【解析】因为向量在基底下的坐标为，所以，所以向量在基底下的坐标为，故答案为：例9．（2023·全国·高二专题练习）已知是空间的一个单位正交基底，向量用坐标形式可表示为．【答案】【解析】由向量坐标的定义可知，是空间的一个单位正交基底，．故答案为：变式12．（2023·全国·高二专题练习）设是空间的一个单位正交基底，且向量，若，则用基底表示向量．【答案】【解析】设，则，故，解得：，故故答案为：变式13．（2023·高二课时练习）已知是空间的一个单位正交基底，向量是空间的另一个基底，用基底表示向量.【答案】【解析】设，即有，因为是空间的一个单位正交基底，所以有，所以.故答案为：变式14．（2023·全国·高二专题练习）设是空间的一个单位正交基底，且向量，是空间的另一个基底，则用该基底表示向量.【答案】【解析】由题意，不妨设由空间向量分解的唯一性：故，解得则故答案为：变式15．（2023·高二课时练习）向量是空间的一个单位正交基底，向量在基底下的坐标为，则在基底的坐标为．【答案】【解析】由题意知：，若在基底的坐标为，∴，∴，可得，∴在基底的坐标为.故答案为：变式16．（2023·福建福州·高二校考阶段练习）已知是空间向量的单位正交基底，是空间向量的另一个基底，若向量在基底下的坐标是，则向量在基底下的坐标是.【答案】.【解析】因为向量在基底下的坐标是，可得，所以向量在基底下的坐标是.故答案为：.【方法技巧与总结】正交基底的三个向量共起点题型四：用空间向量基本定理解决相关的几何问题例10．（2023·全国·高二专题练习）在平行六面体中，设，，，，分别是，的中点．若，求实数，，的值．【解析】因为，所以，，．例11．（2023·高二课时练习）如图所示，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，，求的长．【解析】设，则，，，，因为，所以．例12．（2023·高二课时练习）如图所示，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，．求线段的长．【解析】设，，，则，，，，∵，∴．∴线段的长为．变式17．（2023·高二课时练习）平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为．(1)求线段的长；(2)若，判断能否构成空间的一组基底，若能，用此基底表示向量；若不能，说明理由．【解析】（1），依题意，结合几何体可得：两两夹角是，故，故，即.（2）是平行六面体同一点引出的三条向量，结合图形可知它们不共面，故可作为空间中的一组基底；假设不是空间的一组基底，于是三个向量共面，故，使得，此时整理可得：，说明共面，这与是空间的基底矛盾，故假设不成立，于是是空间的一组基底；于是变式18．（2023·全国·高二专题练习）如图，在棱长为1的正四面体中，，分别是边，的中点，点在上，且，设，，．(1)试用向量，，表示向量；(2)求．【解析】（1）（2）由题意知，，，，则，，所以变式19．（2023·全国·高二专题练习）已知四面体中三组相对棱的中点间的距离都相等，求证:这个四面体相对的棱两两垂直.已知：如图，四面体，分别为棱的中点，且求证.【解析】证明：设则，，，，，又，同理可证，这个四面体相对的棱两两垂直.变式20．（2023·全国·高二专题练习）如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且．(1)用向量表示向量；(2)求证：共面；(3)当为何值时，．【解析】（1）．（2）证明：，，，共面．（3）当，，证明：设，底面为菱形，则当时，，，，，，．变式21．（2023·高二课时练习）已知平行六面体，底面是正方形，，，，，，设，，．(1)用、、表示，；(2)求的长度．【解析】（1）；即，（2）因为，，，，，，所以所以，即变式22．（2023·高二课时练习）如图，在平行六面体中，AB＝4，AD＝3，，∠BAD＝90°，，且点F为与的交点，点E在线段上，有．（1）求的长；（2）将用基向量来进行表示．设xyz，求x，y，z的值．【解析】（1），85，∴．（2），∴．变式23．（2023·全国·高二专题练习）如图，空间四边形的各边及对角线长都为2，E是的中点，F在上，且.（1）用表示；（2）求向量与向量所成角的余弦值.【解析】（1）因为E是的中点，F在上，且，所以，于是.（2）由（1）得，因此，，又因为，所以向量与向量所成角的余弦值为.变式24．（2023·全国·高二专题练习）已知平行六面体的底面是边长为1的菱形，且，.（1）证明：；（2）求异面直线与夹角的余弦值.【解析】设，，由题可知：两两之间的夹角均为，且，（1）由所以即证.（2）由，又所以，又则又异面直线夹角范围为所以异面直线夹角的余弦值为.【方法技巧与总结】应用空间向量基本定理可以证明空间的线线垂直、线线平行，可求两条异面直线所成的角等．首先根据几何体的特点，选择一个基底，把题目中涉及的两条直线所在的向量用基向量表示．（1）若证明线线垂直，只需证明两向量数量积为0；（2）若证明线线平行，只需证明两向量共线；（3）若要求异面直线所成的角，则转化为两向量的夹角（或其补角）．【过关测试】一、单选题1．（2023·安徽合肥·高二合肥一六八中学校考阶段练习）如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形.若，且，则的长为（

）A． B． C． D．5【答案】C【解析】根据空间向量的运算法则，易得，又因为，所以.故选：C2．（2023·安徽合肥·高二合肥一六八中学校考阶段练习）下列关于空间向量的说法中错误的是（

）A．平行于同一个平面的向量叫做共面向量B．空间任意三个向量都可以构成空间的一个基底C．直线可以由其上一点和它的方向向量确定D．任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量【答案】B【解析】A：平行于平面的向量，均可平移至一个平行于的平面，故它们为共面向量，正确；B：空间任意三个向量都共面时，则不能构成空间的基底，错误；C：直线的方向向量是直线任取一点，向其两个方向的任意方向作出一个向量即可得，故直线上一点和方向向量确定直线，正确；D：由向量的位置的任意性，将空间两个向量某一端点移至重合位置，它们即可构成一个平面，即可为同一平面的向量，正确.故选：B3．（2023·甘肃武威·高二校联考期中）在下列结论中：其中正确结论的个数是（

）①若向量共线，则向量所在的直线平行；②若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面；③若三个向量两两共面，则向量共面；④已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量，总存在实数使得.A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】对于①，若向量共线，则向量所在的直线平行或重合，故①错误；对于②，若向量所在的直线为异面直线，则向量一定共面；故②错误；对于③，若三个向量两两共面，则向量不一定共面；故③错误；对于④，当空间三个向量不共面时，则对于空间的任意一个向量，总存在唯一实数使得，故④错误.故选：A4．（2023·浙江·高二校联考期中）如图，在平行六面体中，．点在上，且，则（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】在平行六面体中，则，.故选：D.5．（2023·全国·高二专题练习）已知，，是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【解析】向量是不共面的三个向量，对于A，，则向量共面，A不能构成空间基底；对于B，，则向量共面，B不能构成空间基底；对于D，，则向量共面，D不能构成空间基底；对于C，假定向量共面，则存在不全为0的实数，使得，整理得，而向量不共面，则有，显然不成立，所以向量不共面，能构成空间的一个基底，C能构成空间基底.故选：C6．（2023·高二课时练习）在三棱柱中，平面ABC，，M是的中点，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如图所示，，故，在直三棱柱，易知，，在中，由，则，由，则，则.答案：C.7．（2023·湖北·高二赤壁一中校联考开学考试）在平行六面体中，底面是菱形，侧面是正方形，且，，，若P是与的交点，M是的中点，则（

）A．5 B．7 C．3 D．【答案】D【解析】由题意可知：，，，，可得：，，，因为，可得，所以，即.故选：D.8．（2023·全国·高二专题练习）如图，在平行六面体中，底面是菱形，侧面是正方形，且，，，若是与的交点，则（

）．A．9 B．7 C．3 D．【答案】D【解析】在平行六面体中，四边形是平行四边形，又是，的交点，所以是的中点，所以，，又，，，所以，即．故选：D．二、多选题9．（2023·辽宁葫芦岛·高二校考开学考试）设向量可构成空间一个基底，下列选项中正确的是（

）A．若，，则B．则两两共面，但不可能共面C．对空间任一向量，总存在有序实数组，使D．则一定能构成空间的一个基底【答案】BCD【解析】由是空间一个基底，知：在A中，若，，则与可以平行，不一定垂直，故A错误；在B中，由基底的定义可知，两两共面，但不可能共面，故B正确；在C中，是空间一个基底，根据空间向量基本定理知，对空间任一向量，总存在有序实数组，使，故C正确；在D中，假设向量共面，则，，化简得，因为不共面，所以，无解，所以不共面，一定能构成空间的一个基底，故D正确．故选：BCD10．（2023·全国·高二专题练习）已知是空间的一组基，下列向量中，可以与构成空间的一组基的向量是（）A． B．C． D．【答案】CD【解析】已知是空间的一组基底向量，则不共面，对于选项A：因为，所以与共面，不合题意，故A错误；对于选项B：因为，所以与共面，不合题意，故B错误；对于选项C：设，显然上式不成立，即与不共面，符合题意，故C正确；对于选项D：设，显然上式不成立，即与不共面，符合题意，故D正确；故选：CD.11．（2023·湖南岳阳·高二校考开学考试）如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD-A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（

）A． B．向量与的夹角是60°C．AC1⊥DB D．BD1与AC所成角的余弦值为【答案】AC【解析】对于A选项，由题意可知，则，∴，所以选项A正确；对于B选项，，所以，，则，∴向量与的夹角是，所以选项B不正确；对于C选项，，又因为，所以，∴，所以选项C正确；对于D选项，设与所成角的平面角为，因为，，所以，，，∴，所以选项D不正确.故选：AC.12．（2023·湖北荆门·高二统考期末）在正方体中，，则（

）A．B．与平面所成角为C．当点在平面内时，D．当时，四棱锥的体积为定值【答案】AC【解析】因为在正方体中，，所以，所以点在四边形内及边界运动（不含）.对于A，因为底面，底面，所以.又，，平面，所以平面，平面，所以，故A正确；对于B，因为平面，设，所以为与平面所成角，即为与平面所成角，设正方体棱长为，，，，由余弦定理可得，故B错误；对于C，当点在平面内时，即点在线段上，所以正确，故C正确；对于D，当时，取的中点，连结，点在线段上运动，因为四边形的面积为定值，，所以点到平面的距离不是定值，所以四棱锥的体积不是定值，故D错误.故选：AC.三、填空题13．（2023·北京昌平·高二校考阶段练习）空间四边形，如图，其对角线､，､分别为､的中点，点在线段上，且，现用基底向量､､表示向量，并设，则､､的和为.【答案】【解析】空间四边形对角线为､，､分别为､的中点，点在线段上，且，，，.故答案为：.14．（2023·浙江·高二浙江省余姚市第五中学校联考期中）在空间四边形中，为中点，为的中点，若，则使、、三点共线的的值是．【答案】/【解析】由题意可知，，，则，，，，三点共线，，．故答案为：.15