六讲MATLAB在数学建模中的应用市公开课一等奖百校联赛特等奖课件

第六讲MATLAB在数学建模中应用一、在线性规划中应用1、数学原理：线性规划是处理线性目标函数和线性约束一个较为成熟方法，当前已经广泛应用于军事、经济、工业、教育、商业和社会科学等许多方面。线性规划标准形式是第1页第2页线性规划标准形式要求目标函数最小化，约束条件取等式，变量非负，不符合这几个条件线性规划要首先转化为标准形式。线性规划求解方法主要是单纯形法（simpleMethod),此法由Dantzig于1947年提出，以后经过屡次改进，2、线性规划MATLAB求解：linprog函数数学模型：第3页其中：f，x，b，beq，lb，ub为向量，A，Aeq为矩阵。使用形式：x=linprog(f,A,b)x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)第4页x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)[x,fval]=linprog(…)[x,fval,exitflag]=linprog(…)[x,fval,exitflag,output]=linprog(…)[x,fval,exitflag,output,lambda]=linprog(…)注：以上几个形式在使用时依据详细模型适当选取。每一个形式都有特定涵义。可查相关书籍第5页3、实例例1.投资问题：某单位有一批资金用于4个工程项目标投资，用于各个工程项目得到净收益（投入资金百分比）如表所表示：工程项目ABCD收益（%）1510812因为某种原因用项目A总投资小于其它各各项目标和，用用项目B和C投资要大于项目D投资。试确定使该单位收益最大投资分配方案。第6页分析问题建立模型：用x1,x2,x3,x4分别代表用于项目A、B、C、D投资百分数，因为各项目标投资百分数之和为100%，所以x1+x2+x3+x4=1依据题意可建立下面数学模型：第7页把它转化为标准形式为首先输入以下系数：第8页f=[-0.15;-0.1;-0.08;-0.12]；A=[1-1-1-1;0-1-11]；b=[0;0]；Aeq=[1111]；beq=[1]；lb=zeros(4,1)；调用linprog函数[x,fval,exitflag,output,lambda]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb)结论：4个项目标投资百分数分别为0.50、0.25、0.00和0.25时可取得最大收益，最大收益为13%第9页二、其它应用动物繁殖规律问题：某农场喂养某种动物能到达最大年纪为15岁，将其分为三个年纪组：第一组0~5岁，第二组6~10岁，第三组11~15岁。动物从第二个年纪组开始繁殖后代第二个年纪组动物在其中年纪段平均繁殖4个后代，第三年纪组动物在其年纪段平均繁殖3个后代。第一年纪组和第二年纪组动物能顺利进入下一年纪组成活率分别为0.5和0.25.假设农场现有三个年纪组动物各1000头，第10页依据相关生物学研究结果，对于足够大时间值k,有其中是莱斯利矩阵L唯一正特值请检验这一结果是否正确，假如正确给出适当k值计算5年后、后、后各年纪段动物数量。后农场三个年纪段动物情况会怎样？第11页以五年为一个年纪段，则某一时刻三个年纪段动物数量能够用一个向量X(k)=[x1(k)x2(K)x3(k)]T为第k个时间段动物数分布向量。问题分析：由题设，在初始时刻0~5岁、6~10岁、11~15岁三个年纪段动物数量分别为x1(0)=1000，x2(0)=1000，x3(0)=1000假如每五年平均向市场供给动物数c=[sss]T，在后农场动物不至于灭绝前提下，c为多少为好？第12页当k=0,1,2,3时，X(k)表示现在、五年后、十年后、十五年后动物数分布向量。依据第二年纪段和第三年纪段繁殖能力，在第k个时间段，第二年纪组动物在其年纪段平均繁殖4个后代，第三年纪组动物在其年纪段平均繁殖3个后代。由此得第一个年纪组在第k+1个时间段数量以下：x1(k+1)=4x2(k)+3x3(k)同理，依据第一年纪组和第二年纪组存活率，可得等式X2(k+1)=0.5x1(k)X3(k+1)=0.25x2(k)第13页K=0,1,2,3可得数学模型以下：或写成矩阵形式：X（k+1)=LX(k)其中是莱斯利矩阵第14页由此得X（k+1)=Lk+1X(０)程序和计算X0=[1000;1000;1000]A=[043;0.500;00.250]X1=A*X0X2=A*X1X3=A*X2X4=A*X3第15页为了计算L特征值，输入下面命令eig(A)得到特征值为ans=1.5000-1.3090-0.1910这说明只有一个正特征值1.5为了验证运行下面程序；第16页x=[1000;1000;1000];d1=1.5;A=[043;0.500;00.250];y=A*x;y1=d1*x;k=1;whilemax(abs(y-y1))>0.1x=y;y=A*x;y1=d1*x;k=k+1;endx,k

第17页可知当k=285时，有结论x0=[1000;1000;1000];d1=1.5;A=[043;0.500;00.250];x1=A*x0,x2=A*x1,x3=A*x2,x4=A*x3x1=7000500250x2=27503500125x3=143751375875x4=1.0e+003*8.12507.18750.3438深入思索第18页当k=285时x=1.0e+053*2.90780.96930.1615这说明多年以后，动物数量是大得非常惊人。从计算结果能够看出，假如没有其它原因，可预计农场动物总量会逐步增加。假如每年向市场供给动物c=[sss]T,分析动物数分布向量改变规律可知X(1)=AX(0)-cX(2)=AX(1)-cX(3)=AX(2)-cX(4)=AX(3)-c第19页X(４)=A４X(０)-(A3+A2+A+I)c考虑后动物不灭绝，应有Ｘ(4)>0即(A3+A2+A+I)c<A