线性方程组(ch2.4-5-6)省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件

第2章线性方程组§2.1线性方程组§2.2向量及其线性运算§2.3向量间线性关系§2.4向量组秩§2.5线性方程组解结构§2.6Rn标准正交基第1页9/16/20231集美大学理学院本章关键点线性方程组向量组线性相关性解法(消元法)解判定解结构线性相关与线性无关极大无关组与秩第2页9/16/20232集美大学理学院§2.4向量组秩一、向量组极大线性无关组即:向量组中线性无关部分组不惟一存在；线性无关部分组包含向量个数也可能不一样.线性无关,考查向量组可见线性无关,线性无关,另外，任意4个向量组合都线性相关，如这里,含有这么特征（线性无关，个数再多一个就线性相关）就是以下要引入极大线性无关组.第3页9/16/20233集美大学理学院(2)

该向量组中任意r+1个向量（假如有话）都线性相关.注意:“极大”是指该部分组是向量组中包含向量个数“最多”线性无关向量组.若一个向量组部分组满足(1)线性无关;定义2.11

则称为向量组一个极大线性无关组.

简称极大无关组。第4页9/16/20234集美大学理学院由零向量组成向量组没有极大无关组;在包含非零向量向量组中有极大无关组,且极大无关组所含向量个数大于1;线性无关向量组极大无关组是这个向量组本身.一个向量组极大无关组可能不是唯一;与向量组第5页9/16/20235集美大学理学院1、定义2.12

若向量组(I)中每个向量均可由向量组(II)线性表示,则称

向量组(I)能够由向量组(II)线性表示.若向量组(I)和(II)能够相互线性表示出，则称向量组(I)和(II)等价，记作(I)≌(II).二、向量组线性表示2、向量组线性表示性质传递性：若向量组(I)可由向量组(II)线性表示，而向量组(II)又可由向量组(III)线性表示，则向量组(I)也可由向量组(III)线性表示。第6页9/16/20236集美大学理学院证：要证向量组(I)线性相关，即证存在一组不全为0数

k1,k2,…,ks，使得k1α1+k2α2+…+ksαs=0……….(*)

即以（α1,α2,…,αs）为系数矩阵齐次线性方程组有非0解。实际上：定理2.8向量组和它极大无关组等价。推论向量组任意两个极大无关组之间等价定理2.9

若向量组(I)

α1,α2,…,αs可由向量组(II)

β1,β2,…,βt线性表示，若s>t，则向量组(I)线性相关。第7页9/16/20237集美大学理学院由条件知，

αj=a1jβ1+a2jβ2+…+atjβt,(j=1,2,…,s)代入（*）式得

k1

(a11β1+a21β2+…+at1βt)

+k2

(a12β1+a22β2+…+at2βt)

+……………….+ks

(a1sβ1+a2sβ2+…+atsβt)

=0即(a11k1+a12k2+…+a1sks)β1

+(a21k1+a22k2+…+a2sks)β2

+……………….+(at1k1+at2k2+…+atsks)βt=0第8页9/16/20238集美大学理学院由s>t知，齐次线性方程组a11x1+a12x2+…+a1sxs=0a21x1+a22x2+…+a2sxs=0……………….at1x1+at2x2+…+atsxs=0有非0解。即可取不全为0数k1,k2,…,kt作为上式解。注：①向量组(I)可由向量组(II)表示，若向量组(I)线性无关，则s≤t。②向量组(I)和(II)可相互表示，若向量组(I)(II)线性无关，则s=t。③

一个向量组任意两个极大无关组所含向量个数相同。第9页9/16/20239集美大学理学院三、向量组秩注：①仅含零向量向量组不存在最大无关组,要求秩为零;

②任意含非零向量向量组秩大于1;

③线性无关向量组秩即向量组所含向量个数定理2.10若{α1,α2,…,αs}≌{β1,β2,…,βt}，则r(α1,α2,…,αs)=r(β1,β2,…,βt).证：设向量组{α1,α2,…,αs}与{β1,β2,…,βt}秩分别为r和p，且设它们极大无关组分别为{αi1,αi2,…,αir}和{βj1,βj2,…,βjp},则第10页9/16/202310集美大学理学院{α1,α2,…,αs}≌{αi1,αi2,…,αir}，{β1,β2,…,βt}≌{βj1,βj2,…,βjp}，又因为{α1,α2,…,αs}≌{β1,β2,…,βt}，所以由传递性知{αi1,αi2,…,αir}≌{βj1,βj2,…,βjp},再由定理2.9注②知，r=p.即r(α1,α2,…,αs)=r(β1,β2,…,βt)。第11页9/16/202311集美大学理学院四、向量组秩与矩阵秩关系,,显然矩阵A既对应m个行向量又对应n个列向量:A行向量组A列向量组第12页9/16/202312集美大学理学院定义2.14矩阵A行向量组秩称为矩阵A行秩；矩阵A列向量组秩称为矩阵A列秩定理2.12矩阵A秩等于它列向量组秩(列秩)；也等于它行向量组秩(行秩)。例1设矩阵A=，则A行秩为3，列秩为3，即矩阵A行秩等于列秩注:该定理不但说明了矩阵行向量组与列向量组内在关系,而且能够得到求向量组秩方法.第13页9/16/202313集美大学理学院设A~B,则A、B列向量组有相同线性关系.(经过列变换后,A、B行向量也有相同线性关系)行性质：本性质包含以下涵义:

②A列向量组α1,α2,…,αn中,若αi可由其中αj1,αj2,…,αjs线性表示:αi=k1αj1

+k2αj2

+…+ktαjsB中列向量组β1,β2,…,βn中对应βi可由其中βj1,βj2,…,βjs线性表示:βi=k1βj1

+k2βj2

+…+ktβjs①A列向量组α1,α2,…,αn中任意s个向量αj1,αj2,…,αjs线性无关B中列向量组β1,β2,…,βn中对应s个向量βj1,βj2,…,βjs线性无关第14页9/16/202314集美大学理学院解结构矩阵第15页9/16/202315集美大学理学院解结构矩阵第16页9/16/202316集美大学理学院解结构矩阵对矩阵进行初等行变换将其化为行最简形,得第17页9/16/202317集美大学理学院行第18页9/16/202318集美大学理学院1.(1)3;(2)2.答案练习第19页9/16/202319集美大学理学院§2.5线性方程组解结构一、引例这里R(A|β)=R(A)<n,所以有没有穷多个解.自由未知量个数n-R(A)=1.第20页9/16/202320集美大学理学院所以方程组(1)与下面方程组同解令x3=c,则原方程组解为为何它能够代表方程组(1)全部解呢?这就是方程组解结构问题!!第21页9/16/202321集美大学理学院二、齐次线性方程组解结构齐次线性方程组记为齐次线性方程组解几个基本性质:齐次线性方程组解线性组合也是齐次线性方程组解第22页9/16/202322集美大学理学院由性质知,当AX=0有非0解时,则它必有没有穷多个解,这无穷多个解组成一个n维向量组,只要找到该向量组一个极大无关组,就可用它线性组合来表示齐次线性方程组全部解.定义2.15若是齐次线性方程组AX=0解向量组一个极大无关组,则称是齐次线性方程组AX=0一个基础解系.第23页9/16/202323集美大学理学院定理2.13若齐次线性方程组AX=0系数矩阵A秩R(A)=r<n,则方程组基础解系存在,且每个基础解系中恰有n-r个向量.证:

第24页9/16/202324集美大学理学院即上面增广矩阵所代表线性方程组为:其中为自由未知量.它与原方程组AX=0同解因为自由未知量可取任意值,令分别取(1,0,…,0),(0,1,…,0),…,(0,0,…,1),则得方程组AX=0n-r个解:第25页9/16/202325集美大学理学院下证是AX=0一个基础解系.显然是AX=0n-r个解,下面只要证它是AX=0全部解所组成向量组一个极大无关组即可.分两步:(i)证实是线性无关(ii)证实AX=0任意一个解可表为线性组合.(定义2.11)第26页9/16/202326集美大学理学院(i)所以线性无关.(ii)设为AX=0任一个解,则有所以第27页9/16/202327集美大学理学院第28页9/16/202328集美大学理学院第29页9/16/202329集美大学理学院第30页9/16/202330集美大学理学院所以是AX=0一个基础解系.从而方程组AX=0全部解为求解基础解系方法:①对增广矩阵(系数矩阵)施以初等行变换化成以下形式②确定n-r个自由未知量齐次线性方程组解结构第31页9/16/202331集美大学理学院令分别取(1,0,…,0),(0,1,…,0),…,(0,0,…,1),则得方程组AX=0n-r个解即为基础解系.例1求以下齐次线性方程组一个基础解系,并用此基础解系表示方程组全部解(通解)解方程组系数矩阵对系数矩阵进行初等行变换,得第32页9/16/202332集美大学理学院令自由未知量从而得到方程组两个非零解:第33页9/16/202333集美大学理学院在求解过程中,也可对增广矩阵进行初等行变换,得到同解方程组,进而得到全部解.第34页9/16/202334集美大学理学院例2求以下齐次线性方程组一个基础解系,并用此基础解系表示方程组全部解(通解)解第35页9/16/202335集美大学理学院r(A)=2<n=4,方程组有没有穷多解，基础解系含2个向量，得同解方程组令自由未知量,得基础解系全部解为第36页9/16/202336集美大学理学院例3求以下齐次线性方程组一个基础解系:解第37页9/16/202337集美大学理学院r(A)=2,方程组基础解系含有3个向量.得令自由未知量第38页9/16/202338集美大学理学院方程组普通解为此即齐次线性方程组一个基础解系.第39页9/16/202339集美大学理学院练习：答案：第40页9/16/202340集美大学理学院例4设矩阵A,B满足AB=0,且R(A)=r.则R(B)≤n-r.P99例2对任意两矩阵A,B,当AB=0时,总有R(A)+R(B)≤n三、非齐次线性方程组解结构非齐次线性方程组可表为

AX=β,当β=0时,得到齐次线性方程组

AX=0称为非齐次线性方程组导出组.第41页9/16/202341集美大学理学院线性方程组解几个基本性质:定理2.14若μ1是非齐次线性方程组AX=β一个解，ν是导出组AX=0全部解，则μ=μ1+ν是非齐次线性方程组AX=β全部解。证：要证μ=μ1+ν是非齐次线性方程组AX=β全部解，只需证对于任意一个AX=β解μ*可表为μ=μ1+ν形式即可（其中

μ1是AX=β解，ν是AX=0某个解）。实际上，令ν1=μ*-μ1，则有性质2知，它是AX=0某个解.从而μ*可表为μ=μ1+ν形式。＃

第42页9/16/202342集美大学理学院设μ1是非齐次线性方程组AX=β一个解，且导出组AX=0全部解为ν=c1ν1+c2ν2+…+cn-rνn-r(其中ν1,ν2,…,νn-r是AX=0基础解系)，则非齐次线性方程组AX=β全部解为

μ=μ1+c1ν1+c2ν2+…+cn-rνn-r,故要求非齐次线性方程组AX=β全部解，只需AX=β一个解

（称为特解），再求其导出组AX=0基础解系即可。

例5判断以下线性方程组是否有解?若方程组有解,在有没有穷多解时,试求其导出组基础解系,并用基础解系表示其全部解:非齐次线性方程组解结构第43页9/16/202343集美大学理学院解所以方程组有解，并有没有穷多解,第44页9/16/202344集美大学理学院令自由未知量可得原方程组一个特解：由令自由未知量（x2,x4）分别取（1，0），（0，1）得导出组基础解系第45页9/16/202345集美大学理学院所以全部解为求该方程组通解.第46页9/16/202346集美大学理学院于是导出组任何一个非零解都可作为其基础解系.显然,是导出组非零解,可作为其基础解系.故方程组通解为第47页9/16/202347集美大学理学院第48页9/16/202348集美大学理学院

例7

求出一个齐次线性方程组,使它基础解系由以下向量组成:即第49页9/16/202349集美大学理学院这个方程组同解方程组为第50页9/16/202350集美大学理学院其基础解系为第51页9/16/202351集美大学理学院故所求齐次线性方程组系数矩阵所求齐次线性方程组为第52页9/16/202352集美大学理学院练习：第53页9/16/202353集美大学理学院答案：第54页9/16/202354集美大学理学院§2.6Rn标准正交基一几个相关概念基

在Rn中，称任意n个线性无关向量

α1,α2,…,αn为Rn一组基.

初等单位向量组(单位坐标向量组)

标准基或自然基第55页9/16/202355集美大学理学院2坐标设α1,α2,…,αn为Rn一组基，则对任意α∈Rn，α能够惟一表示成α1,α2,…,αn线性组合，即存在a1,a2,…,an∈R，使

α=a1α1+a2α2+…+anαn称组合系数a1,a2,…,an为α在基α1,α2,…,αn下坐标，记作(a1,a2,…,an)。例1分别求α=(d1,d2,…,dn)T在标准基(ε1,ε2,…,εn)和基α1=(1,0,…,0)T，α2=(1,1,…,0)T，…，αn=(1,1,…,1)T下坐标。

第56页9/16/202356集美大学理学院3内积

设α=(a1,a2,…,an)T，β=(b

1,b

2,…,bn)T为Rn中两个向量，则称为向量α和β内积。性质：(1)

αTβ=βTα;(2)(kα)Tβ=kαTβ;

(3)(α+β)Tγ=αTγ+βTγ;(4)

αTα≥0,且αTα=0

α=0。第57页9/16/202357集美大学理学院4向量长度设α=(a1,a2,…,an)T∈Rn，记称为向量α长度或模。当||α||=1时，称α为单位向量。性质：(1)||α||≥0,且||α||=0

α=0;(2)||kα||=|k|·||α||;(3)|αTβ|≤||α||·||β||，且|αTβ|=||α||·||β||

α,β线性相关。向量单位化或标准化：

若α≠0,则α/||α||为单位向量。第58页9/16/202358集美大学理学院5正交设α,β

∈Rn

，若αTβ=0，则称α与β正交。若α1,α2,…,αs(s≥2)为非零向量组且两两正交，则称α1,α2,…,αs为一个正交向量组。若正交向量组中每一个