柱坐标系下导热微分方程三维高精度数值解法

柱坐标系下导热微分方程三维高精度数值解法

在解决实际复杂的传热问题时，数值传热学得到了广泛应用。相应的热位移离散一直是解决数值传统问题的关键之一。在数值传热学中，二维柱坐标与极坐标导热微分方程已得到了较好的推广应用。目前在离散与解决三维柱坐标与球坐标时，缺少较为明确的数值求解的离散格式。现今数值传热学对于柱体与球体的数值求解，只是通过简化为径向或者二维极坐标的方式来解决，这给数值传热学在三维柱坐标与球坐标条件下的计算、推广与应用造成了诸多不便，因此合理准确地得到三维圆柱体导热、球体导热偏微分方程显得尤为重要。基于以上考虑本文以三维柱坐标与球坐标为基础，从微分方程的数值解离散格式方面入手，推导出精度较高的柱坐标与球坐标导热微分方程离散格式，并通过一维解析解对比验证其精确度。1导热微分方程离散方法将导热微元体置于直角坐标系中，运用能量守恒原理和傅里叶(Fourier)定律，建立直角坐标系下导热微分方程其中:λ为导热系数;c为导热体热容;S为内热源强度。采用坐标变换法分别得到圆柱坐标系与球坐标系中导热微分方程离散导热微分方程离散的基本方法主要有2种:Taylor级数展开法和有限体积法。为明确其导热偏微分方程的物理概念及保证离散系数的意义，本文采用有限体积法，即控制容积法。2积分法面元首先给方程(2)两边同时乘以r，然后对偏微分方程两边同时在图1所示的控制容积以及非稳态的时间项中积分:1)稳态项积分处理2)对于r、φ、z扩散项积分3)源项积分其中:源项中S表示成为未知量的线性函数;SC为常数部分;SP表示S随温度T变化而变化的曲线在P点的斜率。4)离散结果整理以上结果可得:其中:3控制容积在非稳态时间项中积分对控制方程(3)两边同时乘以r2sin2θ，对导热微分方程在图2所示的控制容积在非稳态时间项中积分得:1)非稳态项积分2)对r，φ2个方向的导热扩散项积分3)应用积分第一中值定理推导θ扩散项当离散的区域划分较细时，有θξ≈θP，因此4)源项积分5)球体离散结果通过整理以上结果可得其中:4示例证明4.1网格无关性分析为验证其离散解数值解的准确性，考察一个内外径分别为R1、R2的圆筒壁，圆筒的内外两侧保持无量纲温度T1、T2，其径向导热解析解为无热源稳态导热圆柱边界条件:应用本文离散方程，得到如图3所示高精确度的数值解，误差为8.86×10-3%。通过增加计算区域网格的的数目，计算其误差的大小，进行网格无关性的分析，误差的计算方式为式(9)中:error表示误差;T表示解析解;Tnum表示本文数值解。根据误差分析网格无关解得到如图4所示的误差与网格数的关系。通过数值计算得出:当网格数增加到5000时，计算误差已经控制在1%以内，随着网格的加密计算误差逐渐减少。本文的解析解误差为8.86×10-3%，选用计算网格数为37×20×16=11840。4.2维径向导热为验证其球壳离散解数值解的准确性，选取内外径分别为R1、R2的球壳，球壳的内外两侧保持恒温T1、T2，验证其一维径向导热问题。解析解为无热源稳态导热圆柱边界条件:应用本文离散方程，得到如图5所示的数值解，误差为0.53%。5数值计算误差分析研究了圆柱体与球体的三维导热微分方程，对其进行有限容积法的高精度的数值计算离散格式推导。在离散球体的过程中，运用积分第一中值定理从理论上处理了复杂θ扩散项的离散系数。该离散格式为科研工作者进行三维柱坐标与球坐标下导热微分方程的数值求解提供了良好的借鉴。该离散格式的验证应用FORTRAN语言编写计算，运行稳定，在理论基础上验证了解析解与数值解的误差，将球体的误差范围控制在了0.5%以内，为三维柱体与球体导热偏微分方程的研究与工程应用提供了高精度、可靠的数值计算离散格式。被积项积分时，θ扩散项的热量在θ方向中通过θe、θw2个界面，导热面作为连续的界面，因此导热方程可作为连续方程。对于均有sinθ≥0，即同号。运用推广的积分第一中值定理可得:存在一点ξ∈[w,e]，使得关于θ的导热项记做误差采用2-范数误差分析的方式进行计算，范数图6为误差与网格数的关系。通过图