中学优困生数学问题表征多样性的调查研究

中学优困生数学问题表征多样性的调查研究

一、数学问题的表征形式数学问题的解决是数学教育的关键，在所有数学教育中起着非常重要的作用。相关研究及理论阐述说明了问题解决在数学教育中的重要性以及数学问题解决的重要意义。其中问题解决的关键与核心是问题表征。在数学解题中,同样一个数学问题用不同的表达形式将会产生不同的结果,导致不同的解题思路;对数学问题做出什么样的表征形式,这种表征形式是否合适,直接影响到数学问题解决的难易程度、快慢和成败效果。本研究以数学认知心理的CPFS结构理论与中学数学解题的理论为依据,通过对部分的高中优困生在数学问题解决过程中的表征形式多样性及其效果进行实证研究,试图寻找优困生数学问题表征多样性的差异及原因,希望能对中学数学教学提供参考。二、学习方法(一)相关概念的定义1.问题的呈现与翻译问题表征,是指问题状态在问题解决者的头脑中是如何呈现或翻译的,是问题解决者对问题信息的提取和理解的过程。对同一问题的问题表征方式不同,使得问题解决的难度及效果也不同。2.优困学生的定义选取数学成绩排名在班级的前25%的学生作为数学优等生,数学成绩排名在班级的后25%的学生作为数学学困生。(二)发放问卷和测试二被试为南宁市一所示范中学高二年级的学生,测试一发放问卷60份,收回问卷58份,有效问卷56份。测试二发放问卷60份,收回57份,有效问卷54份。数据使用统计软件Spss17.0软件处理。(三)数学问题表征的多样性调查问卷是在深入研究表征多元化及高二数学教学内容基础上,引用经典测试题和自编测试题,并几经修改,最后形成一份“中学优困生数学表征多样性的调查问卷”的测试题,测试题分两部分,测试一是由两个问题组成,主要考察被试者数学问题表征的多样性。其中第一题有8个填空与测试题二中的第1、第2题相对应,考察被试对数学问题的图表表征与数式表征有何不同,每个填空4分。如:设a,b,c为整数,若(a-1)(b-2)(c-3)为偶数,你能得到什么结论?设a,b,c是三个实数,若(a+b)(b+c)(c+a)=0,你能得到什么结论?第二题为开放性题型,被试可根据自己的理解给出尽量多的结论,与测试二中的第3题相对应,主要考察被试图形表征的多样性,总分为8分。测试二是经典题型的解答,分别为典型试题分析中的3个例题,主要考察的是数学问题表征多样性对数学问题解决的影响。为了不暴露本研究的目的,问卷命名为《中学生数学表征多样性问卷》。(四)中间睡眠555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555整个班级施测时间为60分钟,测试一15分钟,测试二40分钟,中间休息5分钟。学生统一实名答卷,在整个施测过程中有任课教师的积极配合,并有研究人员主持施测。三、结果分析(一)数学表征多样性我们使用的这份《中学生数学表征多样性问卷》,测试一主要是测量中学生数学问题关键信息表征的多样性,测试二测的是具体问题表征多样性,在测试二中例1、例2、例3分别测量被试图表表征、数式表征与图形表征的多样性,满分分别为10分、14分、14分。从表1可以看出,优等生与学困生对各方面数学表征多样性都存在很大的差别,其中,在数式表征多样性中差异最为显著,学困生的得分率不足优等生的20%。在测试一中,可以看出学困生对于数学表征各方面的多样性较于优等生差距很大,学困生对于数学的表征比较弱。表征单一,学困生在图形表征多样性的正确率相对于数式表征与图形表征较高,但与优生比较还是存在很大的差距。从表1中还可以看出,优等生在数学表征多样性及对数学问题解决的表征总体都比学困生好很多。具体来说,在数式表征与图形表征中尤为明显,差异比较大。那么这些差异是否达到显著性水平呢?下面将作进一步的分析。(二)优等生与学困生数学问题表征的多样性从表2可以看出,优等生与学困生的数学表征多样性在各方面得分的均值差值很大。优等生与学困生在数学问题表征的多样性存在着显著差异,在图表表征,数式表征及图像表征的表征多样性及运用也存在着显著差异。这也说明,优等生数学问题表征多样性及问题解决策略明显优于学困生。(三)数式表征少,或少为了更清晰地了解学生对试题回答的特点,我们针对典型试题进行分析。例1若{a,b,c}={5,6,7},证明:(a-1)(b-2)(c-3)为偶数。此题主要考察学生图表表征多样性。对于这样一道数的证明题,从所要证明的结果出发,优等生一般从两个方面表征它:(1)(2)a、c中至少有一个为奇数,则(a-1)、(c-3)中至少有一个为偶数,在列表时所列表格就会少些;(3)假设其积为奇数,那么(a-1)、(b-2)、(c-3)的和必为偶数,反证之。这样,优等生就会很快的解决这道题。而学困生对这道题的表征大多都很片面,他们考虑的只是满足题目中的某一个小的方面,如(a-1)为偶数,没有考虑到(a-1)取奇数时(b-2)、(c-3)的取值情况。学困生出现这种情况的主要原因是他们的基础知识掌握不牢固,当然也不排除他们疏忽的可能。例2证明:如果三个实数的倒数和与这三个数和的倒数相等,那么这三个数必有两个互为相反数。对于此题,主要考察的是让学生能用数学数式表征出文字性的语句。此题的不同表征会很大程度影响这道题的有效解答,它依赖于对文字语言转换成数式的恰当表征。以数式表征为:a,b,c∈R,a,b,c均不为零,且满足a+b+c≠0,若有a1+b1+c1=1a+b+c,则(a+b)(b+c)(a+c)=0。而关键有在于结论中的“那么这三个数必有两个互为相反数”的等价表征(a+b)(b+c)(a+c)=0。优等生大部分都能清晰明了的表征出这题的所有需要的数式表征,只有少数优等生在化简的过程中出现一些小问题。而学困生大都只能将结论前的语言文字以数式表征出来,对于此题中最关键的结论表征不出,甚至有的学困生对语言文字都不能正确的表征,导致学困生无法解出这道题。例3方程x2+px+q=0和x2+ax+b=0各有两个不相等的实根,且他们的大小相间排列,求实数p、q、a、b间的关系。此题考察学生图像表征的多样性,是一个函数的综合题,一般要结合图像解题。画一个简单的函数图像就能很清楚的得到解题思路。设f(x)=x2+px+q,g(x)=x2+ax+b,设f(x)、g(x)的根分别为α1,α2与β1,β2,△1,△2分别表示f(x)、g(x)的判别式。优等生在图形画出后的表征一般为以下三点:(1)图像的直观形象1:(2)图像的直观形象2:(3)y=f(x),y=g(x)图像有公共点,且在x轴下方,先求交点坐标,再代入其中的一个方程。这样很快的就能得到解题思路。而学困生初看此题感觉无从下手,无法针对问题进行表征,更不论多样的表征出问题,只会设出根,写出他们的判别式,没有后续的解答。四、熟悉并执行严格的问题从上面的分析可知,优等生在对问题表征时,能对问题进行多样化的表征,且能很好的把握抓住多样化表征从而有效表征解题。学困生则不能很好进行表征,更不能多样化的有效表征问题去解决问题。受学生自身基础知识和基本技能的影响,这导致无论从表征的形式或表征的效率(即有效表征的信息)上来说,优等生与学困生存在很大的差异。优等生有着很强的形象思维能力及抽象概括能力,他们能很清楚的抓住数学问题的内在意思及有效信息,针对问题进行分解运算,清晰的表征问题,找到问题的有效解决途径。而学困生则对问题分解不请,抓不住问题的核心,时常出现多样表征不恰当,无法正确的找到问题需要解决的一些信息。对数学思想方法的熟悉程度的不同,也可能导致优困生对数学问题表征出现差异。如上述例3,熟悉并能熟练运用数形结合思想的学生就能很直观且很清楚的找到解决此题的关键,从而很快的解决这道问题。相对于学困生来说,对一些数学思想方法的不熟悉,利用纯代数的方法去解决问题,往往会碰壁,有时候也不知道回头。对数学思想方法的不熟悉有时候也使得学生对数学问题的表征过于单一,不能有效的解决问题。优等生思维开阔,善于对问题进行思考和判断,且拥有一定的分析能力,利用所学的的知识和掌握的思想方法,思考问题,判断问题中的主要信息,抓住数学问题的核心进行分析,从而有效的多样表征并解决问题。而学困生的思维相对狭窄一些,对问题的判断和分析不到位,导致无法正确表征且快速的解决问题。如例2,抓住了结论中的核心本质(a+b)(b+c)(a+c)=0,同时也要求前面的表征不能出错,就可以很快的解决问题。五、结论和建议(一)数学表征多样性(1)优等生在解决问题时能很好的多样化表征数学问题,而学困生在对问题表征时则存在一定难度,不能正确表征甚至不能表征问题。(2)优等生与学困生在数学表征多样性存在显著差异。优等生对数学问题的表征形式具有多样性且有效;学困生的表征方式单一,甚至胡乱表征问题。(3)优等生的对数学问题多样性的表征及解题效果优于学困生,且差异显著。在图像表征及数式表征多样性上尤为明显。(二)注重数学思想方法的教学(1)教师在数学教学活动中,需要形成系统明确的知识结构,联系结合教材内容与课外实践知识,使学生从不同的角度去理解分析问题、多样表征问题,激发学生的创造性思维,构建数学结构之间的对应关系,从而多样且有效表征问题,解决问题。(2)加强数学思想方法的教学,在教学过程中,有目的的渗透数学基本思想,有时一些数学问题具有很相似的表征方式,所以,教学中适当对数学问题进行分类归类,将模糊化为清晰,将复杂问题简单化。注重代数与几何之间的