自锚式悬索桥主缆线形及无应力长度计算方法研究

自锚式悬索桥主缆线形及无应力长度计算方法研究

0驳岸结构形式悬索桥通常用于大直径的桥梁。主承包工具的主要部分通常固定在锚中，锚中是悬索桥的一般组成部分。在少数特殊条件下,世界上也曾出现过少量自锚式悬索桥,其特点是主缆直接锚固在加劲梁上,从而取消了锚碇。国内外已有不少自锚式悬索桥,如韩国的永宗悬索桥(跨径布置125m+300m+125m)、日本的此花大桥(跨径布置120m+300m+120m)等。三汊矶湘江大桥主桥(图1)根据地形特点,考虑到地锚式悬索桥需要建造巨大的锚碇而使得施工有一定的困难,并使造价提高,因而采用自锚式悬索桥。三汊矶湘江大桥主桥的跨径组合为:10×50.5m(连续梁)+732m(自锚钢箱梁悬索桥)+5×50m(连续梁),桥梁全长为1487m;主跨跨径:中跨为328m,东、西边跨分别为132m及70m;矢跨比:中跨为1/5,边跨为1/12.4;吊索型式:上下销接式预制平行索股,每个吊点设2根吊索,吊索间距为12m,吊索钢丝绳直径为45mm;索塔高度:索塔桥面以上为71.097m,基顶以上为108.160m;主缆中心距离为25.0m,主缆由91束预制索股构成单缆,预制索股由61丝Φ5.1mm镀锌高强钢丝组成;加劲梁型式为扁平闭口钢箱梁,正交异性板桥面;加劲梁高为3.6m(桥轴中心处),高跨比为1/91.1,加劲梁全宽为33.0m,宽跨比为1/9.9。主缆是自锚式悬索桥的主要承重构件,精确计算其成桥线形和无应力长度是进行设计和分析的关键,对于施工控制也有重要的意义。本文针对悬索的受力的几何非线性特点,建立接近实际的基本假设,推导出了抛物线法和分段悬链线法,以三汊矶湘江大桥为例,分别给出2种方法的计算结果。1计算理论1.1悬索的形状及张力悬索是柔性构件,基本特点是其几何形状的可变性,即几何形状随所受荷载不同而变化,位移与外荷载的关系呈非线性,且变形较大。悬索的形状是由受力决定的,在分布荷载作用下的几何形状是曲线,见图2。AB曲线可用函数y=f(x)表示。两端张力TA与TB均沿切线方向作用。由于水平方向无荷载作用,可知索的两端及索中任一点张力的水平分量H为常量。取任一微段索dx为隔离体,见图2,由∑y=0可得Ηd2ydx2+q(x)=0(1)式(1)是单根悬索的基本平衡微分方程。1.2悬索的形状q将q(x)视作沿跨度的均布荷载,则悬索的形状为抛物线;将q(x)视作沿弧长的均布荷载,则悬索形状为悬链线。对于实际情况,根据不同的假设,悬索的计算方法也不同,具体的数学推导与计算理论见下文。2案例处理2.1根据桥的方程计算2.1.1主缆截面面积、重集度索是理想柔性的,既不能受压,也不能受弯;索的材料符合虎克定律,应力与应变符合线性关系;主缆的截面面积和自重集度在外荷载作用下的变化量十分微小,忽略不计;在悬索桥的成桥状态,因为主缆荷载集度同加劲梁相比很小,所以将其荷载分布近似看作为沿跨度方向的均布荷载,计算简图见图3。2.1.2y=qxl-x2+cxl根据假设,将q视为沿跨度均布的荷载,令q+q´=Q则由式(1)可得y=Qx(l-x)2Η+cxl当x=l2时,y=c2+f,据此由式(1)得Η=Ql28f(2)所以y=cxl+4fx(l-x)l2(3)当c=0时y=4fx(l-x)l2(4)2.2计算非电压长度的问题当按不同荷载情况研究缆索时,每一种荷载情况可以由从无应力状态算起的缆索伸长量ΔS表征。2.2.1bas:1+dydx2dx在悬索AB中取一微分单元ds,其长度为ds=√dx2+dy2=√1+(dydx)2由积分可求得整根悬索AB的长度S=∫BAds=∫l0√1+(dydx)2dx将√1+(dydx)2按级数展开为√1+(dydx)2=1+12(dydx)2-18(dydx)4+116(dydx)6-5128(dydx)8+⋯若在计算中取前3项时S=∫l0[1+12(dydx)2-18(dydx)4]dx即S=l(1+c22l2+8f23l2-c48l4-32f45l4-4f2c2l4)(5)2.2.2ea计算型在悬索AB中取一微分单元ds,有Δs=ΤdsEA=Η1+(dydx)2EAdx将其沿索积分,得ΔS=∫0lΗ[1+(dydx)2]EAdx=Η(c2l+l+16f23l)EA(6)2.2.3计算非正电压损失的长度无应力索长计算式为LUS=S-ΔS3悬链法3.1根据桥的方程计算3.1.1主缆集中荷载在悬索桥的成桥状态,对于主缆而言,所受荷载为沿弧长均布的主缆自重和通过吊索传递的局部荷载,后一部分可近似作为集中荷载处理,计算简图见图4。3.1.2理论假说将悬索以吊杆为界分为n段,每一段悬索的受力情况是:索段两端承受集中力,中间则受沿索长均布的竖向分布力——重力,见图4。(1)积分常数对主缆而言,q(x)为沿索长度的均布荷载q,将q转化为沿跨度方向等效的均布荷载qy(图5),应有qds=qydx因此qy=qdsdx=q1+(dsdx)2将上式代入式(1)得d2ydx2=-qΗ1+(dydx)2(7)令dydx=dz有dzdx=-qΗ1+z2dxdz=-Ηq1+z2解微分方程得x=-Ηqln(z+1+z2)+t=-Ηqsh-1z+tz=sh(-qΗx+qΗt)dydx=sh(-qΗx+qΗt)式中:t为与边界条件有关的积分常数。解微分方程的曲线为悬链线y=-Ηqch(-qΗx+qΗt)+m(8)对于图5所示的边界条件,自由索固定于两点:A(0,0)、B(l,c),将A、B点坐标代入式(8)得y=-Ηqch(qtΗ)+m=0(9)y=-Ηqch(-qΗl+qΗt)+m=c(10)由式(9)得m=ΗqchqtΗ(11)将式(11)代入式(10)得c=-Ηqch(-qlΗ+qtΗ)+ΗqchqtΗ-ch(qlΗ+qtΗ)+ch(qtΗ)=cqΗ令β=ql2Η有ch(-2β+2βtl)-ch2βtl=-cqΗ将方程展开得(e-β-eβ)(e2βtl-β-eβ-2βtl)=-2cqΗ即shβsh(2βtl-β)=cq2Ηt=sh-1(cβlshβ)+β2βl令α=sh-1(cβlshβ)+β,由式(11)得m=Ηqchα由此悬链线方程的解为y=Ηq[chα-ch(2βxl-α)](12)α=sh-1(cβlshβ)+ββ=ql2Η(2)代次估算—整段悬索的计算通过对悬索任意两吊杆之间的分析,可知悬索的线形是分段悬链线,在分段处须连续,故对整段悬索的计算如下(图4)。集中力将索分为n段,第i段悬索的线形方程为(局部坐标系)yi=Ηq[chαi-ch(2βixili-αi)](13)αi=sh-1(ciβilishβi)+βiβi=qli2Η变形相容条件为∑1nci=c(14)索上任一点应通过给定点,跨中点则通过给定的矢高坐标点。各局部坐标原点满足力的平衡条件,即Ηdyi-1dxi-1|xi-1=li-1-Ηdyidxi|xi=0=pi(15)根据式(13)～式(15),可建立迭代计算过程如下。①假设主缆索力水平分量的迭代初始值为H0(一般可先假设为ql28f,即由抛物线形算得的水平力)。②假定左支座的竖向力为p0(可设为ql2),由式(13)有Hshα1=p0,可求得α1、β1与c1c1=Η[chα1-ch(2β1-α1)]=Ηsh(2β1-α1)③由式(15)可建立下一段的α2、β2等,依次可求得c2、c3、…、cn。④求∑1nci,若|∑1nci-c|≥ξ(ξ为给定的误差限值),则使p0变为p0+Δp(Δp为由差值确定的p0的修正值),重新进行②～④的循环,直至|∑1nci-c|≤ξ⑤检验索是否通过指定点,若不能满足曲线通过指定点的要求,则使H0=H0+ΔH(ΔH为根据误差确定的索力水平分量修正值),然后重新进行①～⑤的循环,直到索通过指定点。3.2计算非电压长度的问题3.2.1u3000索段有应力索长对式(12)积分可得有应力长度S为S=∫0l1+(dydx)2dx而dydx=sh(-qΗx+qΗt)1+(dydx)2=ch2(-qΗx+qΗt)所以索段有应力索长为S=-Ηq[sh(-qΗl+qΗt)-sh(qΗt)](16)3.2.2eadx的计算由式(6)得ΔS=∫0lΗ[1+(dydx)2]EAdx=ΗEA∫0l[1+sh2(-qΗx+qΗt)]dx=-Η24EAq[sh(-2qlΗ+2qtΗ)-sh(2qtΗ)]+Ηl2EA(17)3.2.3不强迫的长度无应力索长为LUSi=Si-ΔSi=S+Η24EAq[sh(-2qlΗ+2qtΗ)-sh(2qtΗ)]-Ηl2EA3.2.4主轴的开口长度为主缆无应力长度为LUS=∑1nLUSi4计算4.1缆集度计算杆高三汊矶湘江大桥的计算参数为:主跨l为328m、f为65.6m;边跨l1为132m、c1为70.995m;材料特性见表1;主跨及边跨每延米重量见表2(仅一侧边跨)。主跨荷载集度q(单缆)的估算为(吊杆质量很小,忽略计算)q=W1+W2+W3+W4=30.250+95.457+8.640+0.453=134.800kN·m-1式中:W1为二期恒载集度(30.250kN·m-1);W2为加劲梁和加劲梁加厚段的荷载集度(95.457kN·m-1);W3为主缆恒载集度,按沿跨度均布估算(8.640kN·m-1);W4为吊索集度(0.453kN·m-1)。边跨荷载集度q1(单缆)的估算为(W1、W3、W4同中跨,W2为95.931kN·m-1)q1=W1+W2+W3+W4=30.250+95.931+8.640+0.453=135.274kN·m-1应用分段悬链线法计算时,各索段边界受力条件见表3。4.2两种方法的计算结果的比较4.2.1抛z悬测定计算模型坐标见图6,坐标差值见表4差值=z悬-z抛z悬由表4可看出,二者坐标差别很小,均小于0.8%。对于给定悬索两端点坐标的情况下(即已知跨径和高差或矢高),两种方法计算差异的大致情况见图7。4.2.2无屋顶长度从表5中可以看出二者无应力长度计算误差很小,不超过0.4%,尤其弹性伸长的误差很小。5种方法对于三认识的对比,可以解决两种计算方法在计算结果上的问题,结果如下本文以长沙市三汊矶湘江大桥为工程背景,推导出两种基于不同假定下的主缆线形及无应力索长的计算方法:假定主缆自重沿跨径均布的抛物线法和假定主缆自重沿弧长均布的分