高中数学3-3-3-3-3-4点到直线的距离课件

3.3.3点到直线的距离

3.3.4两条平行直线间的距离

3.3.3点到直线的距离

3.3.4两条平行直线间的1.了解点到直线距离公式的推导方法.

2.掌握点到直线距离公式,并能灵活应用于求平行线间的距离等问题.

3.进一步体验解析几何的基本思想,初步掌握用解析法研究几何问题的方法.

1.了解点到直线距离公式的推导方法.

2.掌握点到直线距离1.在平面直角坐标系中,如果已知某点P的坐标为(x0,y0),直线l的方程是Ax+By+C=0,则点P到直线l的距离

d=___________________________________.

1.在平面直角坐标系中,如果已知某点P的坐标为(x0,y02.若直线l的方程Ax+By+C=0中,B=0,则A≠0,其方程为x=-,此时点P(x0,y0)到该直线的距离d=________________;若直线l的方程Ax+By+C=0中,A=0,则B≠0,其方程为y=-此时点P(x0,y0)到该直线的距离d=__________________.

2.若直线l的方程Ax+By+C=0中,B=0,则A≠0,其1.点到直线的距离公式

点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0(A,B不同时为零)的距离

使用此公式应注意以下几点:

(1)若给出的直线方程不是一般式,则应先把方程化为一般式,再利用公式求距离.

(2)若点P在直线上,点P到直线的距离为零,距离公式仍然适用.1.点到直线的距离公式

点P(x0,y0)到直线Ax+By(3)点到几种特殊直线的距离:

①点P(x0,y0)到x轴的距离d=|y0|;

②点P(x0,y0)到y轴的距离d=|x0|;

③点P(x0,y0)到与x轴平行的直线y=a的距离d=|y0-a|;

④点P(x0,y0)到与y轴平行的直线x=b的距离d=|x0-b|.

(3)点到几种特殊直线的距离:

①点P(x0,y0)到x轴的2.两平行线间的距离

(1)求两平行线间的距离可以转化为求点到直线的距离,也可以应用公式.

(2)应用两平行线间的距离公式

时,两直线方程必须是一般形式.而且x,y的系数对应相等.

2.两平行线间的距离

(1)求两平行线间的距离可以转化为求点(3)当直线与坐标轴垂直时,可利用数形结合法来解决.

①两直线都与x轴垂直时,l1:x=x1,l2:x=x2则d=|x2-x1|;

②两直线都与y轴垂直时,l1:y=y1,l2:y=y2,则d=|y2-y1|.

(3)当直线与坐标轴垂直时,可利用数形结合法来解决.

①两直题型一距离公式的应用

例1:求过点M(-2,1)且与A(-1,2),B(3,0)两点距离相等的直线方程.分析:可利用待定系数法求直线方程,也可用平面几何知识,先判断直线l与直线AB的位置关系.事实上,l∥AB或l过线段AB的中点时,都满足题目的要求.

题型一距离公式的应用

例1:求过点M(-2,1)且与A(解:当斜率存在时,设直线方程为y-1=k(x+2).

即kx-y+2k+1=0.

由条件得

解得k=0或k=-.

故所求的直线方程为y=1或x+2y=0.

当直线斜率不存在时,不存在符合题意的直线.

解:当斜率存在时,设直线方程为y-1=k(x+2).

即kx

规律技巧:与定直线的距离为定值的点的集合是与定直线平行的两条平行直线,因此,由点到直线的距离公式和求轨迹方程的方法即可求得所求的方程.

规律技巧:与定直线的距离为定值的点的集合是与定直线平变式训练1:求点P(1,2)到下列直线的距离:

(1)l1:y=x-3;

(2)l2:y=-1;

(3)y轴(x=0).

变式训练1:求点P(1,2)到下列直线的距离:

(1)l1:解:(1)点P(1,2)到直线x-y-3=0的距离为

(2)点P(1,2)到直线y=-1的距离为d=|2-(-1)|=3.

(3)点P(1,2)到直线x=0的距离为d=1.

解:(1)点P(1,2)到直线x-y-3=0的距离为

题型二平行线之间的距离

例2:求两条平行直线x+3y-4=0和2x+6y-9=0之间的距离.

分析:两条平行线间的距离问题可转化为一条直线上的点到另一条直线的距离问题,其中选点是关键,一般情况,我们选择坐标轴上的点.

题型二平行线之间的距离

例2:求两条平行直线x+3y-4解:在直线x+3y-4=0上选点P(4,0),那么点P(4,0)到直线2x+6y-9=0的距离d就是两条平行线之间的距离.

∴两条平行线之间的距离解:在直线x+3y-4=0上选点P(4,0),那么点P(4,

规律技巧:一般地,已知两条平行线l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0(C1≠C2).设P(x0,y0)是直线l2上的任意一点,则Ax0+By0+C2=0,即Ax0+By0=-C2.于是,点P(x0,y0)到直线l1:Ax+By+C1=0的距离

就是两平行直线l1与l2之间的距离.应用公式时要注意l1､l2中x､y的系数必须对应相等.

规律技巧:一般地,已知两条平行线l1:Ax+By+C变式训练2:求下列两条平行线之间的距离.

(1)5x-12y+2=0与5x-12y+15=0;

(2)6x-4y+5=0与y=x.

变式训练2:求下列两条平行线之间的距离.

(1)5x-12y题型三综合应用

例3:已知直线l经过直线l1:2x+y-5=0与l2:x-2y=0的交点.

(1)若点A(5,0)到l的距离为3,求l的方程;

(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值.

题型三综合应用

例3:已知直线l经过直线l1:2x+y-分析:(1)可先求出l1与l2的交点,再设出点斜式方程求解.也可以先设出所求直线的直线系方程,利用条件确定参数的值,从而求得直线的方程.

(2)解答本题可采用数形结合,分析出点A到直线l的最大值,然后应用点到直线的距离公式求出.

分析:(1)可先求出l1与l2的交点,再设出点斜式方程求解.解:(1)方法1:由 2x+y-5=0,

x-2y=0,得交点B(2,1).

当直线斜率存在时,设l的方程为y-1=k(x-2),即kx-y+1-2k=0.

∴

解得:

∴l的方程为y-1=

(x-2),

即4x-3y-5=0.

当直线l斜率不存在时,方程为x=2,此时|5-2|=3也适合,故所求l的方程为:x=2或4x-3y-5=0.

解:(1)方法1:由 2x+y-5=0,

x-2y=0方法2:设经过已知直线交点的直线系方程为:

(2x+y-5)+λ(x-2y)=0,

即(2+λ)x+(1-2λ)y-5=0.

∴

即2λ2-5λ+2=0,

解得λ=2或λ=.

∴l的方程为4x-3y-5=0或x=2.

方法2:设经过已知直线交点的直线系方程为:

(2x+y-5)(2)由 2x+y-5=0,

x-2y=0,解得交点B(2,1).

过点B任意作直线l,设d为A到直线l的距离,则

d≤|AB|(仅当l⊥AB时等号成立),

∴d的最大值为|AB|=.

(2)由 2x+y-5=0,

x-2y=0,解得交点B(2

规律技巧:在(1)的方法1中易忽略直线斜率不存在的情况,即易丢掉解x=2.方法2可避开讨论,直接求得两个解.

规律技巧:在(1)的方法1中易忽略直线斜率不存在的情变式训练3:若已知A(7,8),B(10,4),C(2,-4),求△ABC的面积.

规律技巧:这里用点到直线的距离公式求一边上的高,进而求出△ABC的面积.

变式训练3:若已知A(7,8),B(10,4),C(2,-4易错探究

例4:求经过点A(1,2)且到原点的距离等于1的直线方程.错解:∵所求直线过点A(1,2),

∴可设直线方程y-2=k(x-1),

即kx-y-k+2=0.

∵原点到此直线的距离为1,易错探究

例4:求经过点A(1,2)且到原点的距离等于1的直错因分析:本题出错的根本原因在于思维不严密,当用待定系统法确定直线斜率时,一定要对斜率是否存在的情况进行讨论,否则容易犯解析不全的错误.

正解:(1)当直线过点A(1,2)且垂直于x轴时,直线方程为x=1,原点(0,0)到直线的距离等于1,所以满足题意.

错因分析:本题出错的根本原因在于思维不严密,当用待定系统法确(2)当直线过点A(1,2)且与x轴不垂直时,由题意可设直线方程y-2=k(x-1),

即kx-y-k+2=0,

又由原点到此直线距离等于1,

即3x-4y+5=0.

综上所述,所求直线方程为

x=1或3x-4y+5=0.

(2)当直线过点A(1,2)且与x轴不垂直时,由题意可设直线基础强化

1.原点到直线3x-4y-26=0的距离是()答案:B

基础强化

1.原点到直线3x-4y-26=0的距离是(2.若点P(3,a)到直线x+y-4=0的距离为1,则a的值为()2.若点P(3,a)到直线x+y-4=0的答案:D

答案:D

3.已知直线3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行,则它们之间的距离是()

3.已知直线3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行,解析:在直线3x+2y-3=0上取一点(1,0),则点(1,0)到直线6x+my+1=0的距离,就为所求.由两直线平行得3m-12=0,m=4∴两平行线间的距离为

答案:D

解析:在直线3x+2y-3=0上取一点(1,0),则点(1,4.点P(x,y)在直线x+y-4=0上,则x2+y2的最小值是()

解析:由x2+y2的实际意义可知,它代表直线x+y-4=0上的点到原点的距离的平方,它的最小值即为原点到该直线的距离的平方.

∴(x2+y2)min=()2=8.

答案:A4.点P(x,y)在直线x+y-4=0上,则x2+y2的最小5.到直线3x-4y-1=0的距离为2的直线方程为()

A.3x-4y-11=0

B.3x-4y+9=0

C.3x-4y-11=0或3x-4y+9=0

D.3x-4y+11=0或3x-4y-9=0

5.到直线3x-4y-1=0的距离为2的直线方程为(解析:设所求直线方程为3x-4y+k=0,由题意得

∴|k+1|=10,∴k=9或k=-11.

故所求方程为3x-4y+9=0或3x-4y-11=0.

答案:C

解析:设所求直线方程为3x-4y+k=0,由题意得

∴|k+6.直线7x+3y-21=0上到两坐标轴距离相等的点的个数为()

A.3 B.2

C.1 D.0

6.直线7x+3y-21=0上到两坐标轴距离相等的点的个数为解析:设直线7x+3y-21=0上到两坐标轴距离相等的点为P(x0,y0)

依题意有:|x0|=|y0|,即y0=±x0

又7x0+3y0-21=0,显然 y0=x0,

7x0+3y0-21=0和

y0=-x0,

7x0+3y0-21=0都有解,故直线上有两个点适合题意.

答案:B

解析:设直线7x+3y-21=0上到两坐标轴距离相等的点为P7.过点A(2,1)的所有直线中,距离原点最远的直线方程为________.

解析:当过点A(2,1)的直线与OA垂直时,原点到直线的距离最远,所以斜率k=-2,直线方程为y-1=-2(x-2),即2x+y-5=0.

2x+y-5=07.过点A(2,1)的所有直线中,距离原点最远的直线方程为_8.两平行线3x+4y+5=0与6x+ay+30=0间的距离为d,则a+d=________.

解析:由两直线平行知,a=8,=2,

∴a+d=10.

108.两平行线3x+4y+5=0与6x+ay+30=0间的距离能力提升

9.两条平行线分别过点P(-2,-2),Q(1,3),它们之间的距离为d,如果这两条直线各自绕点P,Q旋转并保持平行,则d的取值范围是________.

解析:当这两条直线l1,l2与直线PQ垂直时,d达到最大值,