自动控制原理 复习大纲

第2章自动控制系统的数学模型

2.1

控制系统的微分方程

2.2

控制系统的传递函数

2.3

方块图2.4

控制系统的信号流图

控制系统的数学模型一、定义控制系统的数学模型是描述系统中各元件的特性以及各种信号（变量）的传递和转换关系的数学关系式。二、形式

时域：微分方程差分方程状态空间模型频域：传递函数方块图频率特性

微分方程

微分方程是描述各种控制系统最基本的数学工具，也是各种数学模型的基础。

建立微分方程的步骤1、首先应对实际的物理系统作一些理想化的假设，忽略一些次要因素。2、然后从输入端开始，依次写出控制系统中各元件的微分方程。3、最后，选定系统的输入量和输出量，将各元件的微分方程联立起来，消去中间变量，得到输出量与输入量的关系，就是控制系统的微分方程。

机械系统，电路系统，机电系统1.传递函数定义零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。

传递函数

设：输入----r(t)，输出----y(t)，则传递函数：

式中：Y(s)=L[y(t)]——输出量的拉氏变换式

R(s)=L[r(t)]——输入量的拉氏变换式。那么：Y(s)=R(s)G(s)

控制系统的时间响应y(t)等于Y(s)的拉氏反变换：

几种典型环节的传递函数（比例，惯性等）。控制系统的结构图控制系统的结构图：描述系统各组成元部件之间信号传递的数字图形。特点：（1）不需要使用消元法（2）能直接反映中间变量。一、结构图的组成（1）信号线：带有箭头的直线。箭头表示信号的传递方向，线上标记信号的时间函数或象函数；（2）引出点（测量点）：信号引出或测量的位置。从同一位置引出的信号在数值和性质方面完全相同；（3）比较点（综合点）：对两个以上的信号进行加减运算。用“+”、“-”表示，“+”有时可省略；（4）方框（环节）：表示方框的输出信号与输入信号之间的传递关系。方框中写入元部件或系统的传递函数。三、结构图的等效变换一个复杂的系统结构图经过等效变换为一个方框可直接得到本身的传递函数。1、等效变换：变换前后，系统输入输出总的数学关系保持不变。等效变换原则：（1）变换前后前向通路中传递函数的乘积保持不变；（2）变换前后回路中传递函数的乘积保持不变。2、结构图中方框之间的三种连接形式(串联,并联,反馈连接)（1）串联连接：前一个方框的输出是后一个方框的输入；二、建立结构图的步骤（1）建立系统各元部件的微分方程；（2）对各微分方程进行拉氏变换，并作出各元件的结构图；（3）按系统中各变量的传递顺序，依次将各元件的结构图连接起来；置系统的输入变量于左端，输出变量于右端，得到系统的结构图。（2）并联连接：两个或两个以上的方框有相同的输入量，而输出量为每个方框输出量的代数和；（3）反馈连接：3、等效变换法则（1）串联方框的等效变换

（2）并联方框的等效变换

（3）反馈方框的等效变换证明：（4）比较点和引出点的移动1）比较点前移（逆着信号线的指向移动）证明：2）比较点后移3）相邻比较点之间的移动4）引出点前移5）引出点后移

6）相邻引出点之间的移动7）比较点和引出点交换位置（5）负号在支路上的移动

例化简下面的结构图，并求传递函数解：引出点后移

信号流图1、信号流图的概念信号流图：由节点和支路组成的信号传递网络，是一种表示一组联立线性代数方程的图。例如：2、几个术语节点：用来表示变量或信号的点，用“。”表示。支路增益：两个节点之间的增益。支路：连接两个节点的定向线段，具有一定的增益。（乘法器）输入节点（源节点）：只有输出支路的节点，对应于自变量。输出节点（阱节点）：只有输入支路的节点，对应于因变量。混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点。通路：沿支路箭头方向而穿过各相连支路的途径。前向通路：信号从输入节点到输出节点传递时，每个节点只通过一次的通路。前向通路增益：前向通路中各支路增益的乘积。回路：起点和终点在同一节点，而且信号通过每一节点不多于一次的闭合通路。回路增益：回路中各支路增益的乘积。不接触回路：如果回路之间没有公共节点，称它们为不接触回路。3、信号流图的性质（1）节点表示的变量是所有流向该节点的信号之和，而从同一节点流向各支路信号，均用该节点变量表示；（2）支路表示了一个信号对另一个信号的函数关系，信号只能沿着支路的箭头方向传递，而没有相反的关系；（3）在混合节点上，增加一条具有单位增益的支路，可把混合节点变为输出节点，即分离出系统的输出变量;注意：用这种方法不能将混合节点变为输入节点。（4）对于给定系统，信号流图不是唯一的；（5）信号流图只适用于线性系统。4、信号流图的绘制（1）由系统微分方程绘制信号流图S域的代数方程组拉氏变换系统的微分方程组信号流图(2）由系统结构图绘制信号流图结构图与信号流图的对应关系1)结构图的信号线对应于信号流图的节点、方框对应于支路和支路增益；2）结构图输入端和输出端对应于信号流图的输入节点和输出节点；3）结构图综合点或引出点对应于信号流图的混合节点。在结构图比较点之前没有引出点时，只需在比较点后设置一个节点便可；但若在比较点之前有引出点时，就需在引出点和比较点各设置一个节点，它们之间的支路增益是“1”。5、梅逊(Mason)增益公式输入输出节点间总增益（或传递函数）为

说明：（1）梅逊公式也适用于结构图；（2）只适用于输出节点对输入节点的总增益，对混合节点不能直接用。[解]：先在结构图上标出节点，再根据逻辑关系画出信号流图如下：例：绘出两级串联RC电路的信号流图并用Mason公式计算总传递函数。---图中，有一个前向通道；有三个回路；有两个互不接触回路；（因为三个回路都与前向通道接触。）总传输为：

第3章自动控制系统的时域分析

3.1

典型输入作用和时域性能指标

3.2

一阶系统的瞬态响应

3.3

二阶系统的瞬态响应

3.4高阶系统分析

3.5

稳定性和代数稳定判据

3.6

稳态误差分析其闭环传递函数为：式中，，称为时间常数，开环放大系数越大，时间常数越小。

由一阶微分方程描述的系统称为一阶系统。其传递函数是s的一次有理分式。一阶系统的微分方程为：-典型的一阶系统的结构图如图所示。

3.2.1一阶系统的数学模型

单位脉冲信号与单位阶跃信号的一阶导数、单位斜坡信号的二阶导数和单位加速度信号的三阶导数相等。单位脉冲响应与单位阶跃响应的一阶导数、单位斜坡响应的二阶导数和单位加速度响应的三阶导数也相等。3.2.2一阶系统的响应开环传递函数为:闭环传递函数为:-典型结构的二阶系统如右图所示：

由二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。它在控制工程中的应用极为广泛。许多高阶系统在一定的条件下，也可简化为二阶系统来研究。典型二阶系统的微分方程：3.3.1典型二阶系统的数学模型

称为典型二阶系统的传递函数，称为阻尼系数，称为无阻尼振荡圆频率或自然频率。这两个参数称为二阶系统特征参数。T称为二阶系统的时间常数。其特征根为：二阶系统的特征方程为：注意：当不同时，特征根有不同的形式，系统的阶跃响应形式也不同。它的阶跃响应有振荡和非振荡两种情况。⒈当时，特征方程有一对共轭的虚根，称为零(无)阻尼系统，系统的阶跃响应为持续的等幅振荡。⒉当时，特征方程有一对实部为负的共轭复根，称为欠阻尼系统，系统的阶跃响应为衰减的振荡过程。⒊当时，特征方程有一对相等的实根，称为临界阻尼系统，系统的阶跃响应为非振荡过程。⒋当时，特征方程有一对不等的实根，称为过阻尼系统，系统的阶跃响应为非振荡过程。

阻尼系数、特征根、极点分布和单位阶跃响应形式如下表所示：单位阶跃响应极点位置特征根阻尼系数单调上升两个互异负实根单调上升一对负实重根

衰减振荡一对共轭复根(左半平面）

等幅周期振荡一对共轭虚根

3.3.3典型二阶系统的性能指标（衰减振荡瞬态过程）

最大超调量调节时间

[例]

有一位置随动系统，其方块图如图所示。其中K=4，T=1。试求：(1)该系统的无阻尼振荡频率

wn；(2)系统的阻尼系数z；(3)系统超调量d%和和调整时间ts；（4）如果要求z＝0.707，在不改变时间常数T的情况下，应怎样改变系统开环放大系数K。解：系统的闭环传递函数为:（4）当要求在z＝0.707时，wn=1/2z=0.707，则K＝wn2=0.5。可见要满足二阶工程最佳参数的要求（该例中为增加阻尼系数），必须降低开环放大系数K的值。3.5线性控制系统稳定性--充分必要条件线性系统稳定的充要条件：系统特征方程的根（即传递函数的极点）全为负实数或具有负实部的共轭复根。或者说，特征方程的根应全部位于s平面的左半部。（一）胡尔维茨判据设系统的特征方程式为：则系统稳定的充要条件是：，且由特征方程系数构成的胡尔维茨行列式的主子行列式全部为正。胡尔维茨行列式的构造：主对角线上的各项为特征方程的第二项系数

至最后一项系数，在主对角线以下各行中各项系数下标逐次增加，在主对角线以上各行中各项系数下标逐次减小。当下标大于n或小于0时，行列式中的项取0。胡尔维茨行列式：3.5.3代数稳定性判据--胡尔维茨稳定性判据以4阶系统为例使用胡尔维茨判据：胡尔维茨行列式为：稳定的充要条件是：设线性系统的特征方程为：

线性系统稳定的充分必要条件是：1）方程式所有系数为正；2）所有奇数阶或偶数阶胡尔维茨行列式为正，即：Δ奇>0或Δ偶>0。根据李纳德-戚帕特判据，若系统特征方程式的各项系数中有负或零（缺项），则系统是不稳定的。对于n≤4的线性系统,其稳定的充要条件还可以表示为如下简单形式:n=2时:特征方程的各项系数严格为正.n=3时:特征方程的各项系数严格为正,且△2

>0n=4时:特征方程的各项系数严格为正,且△2>0以及△2>an-12an-4/an-3

3.5.3代数稳定性判据--胡尔维茨稳定性判据的另一种形式李纳德-戚帕特判据

例

设线性系统的开环传递函数为：

试判断系统稳定时K,T应满足的条件。

根据李纳德-戚帕特判据，K>0,T>0且

解：

系统特征方程式为1+G(s)H(s)=0

系统稳定时，要求：

（二）、劳斯判据

设线性系统的特征方程为劳斯阵列的前两行元素由特征方程的系数组成，第一行由特征方程的第一、三、五、…项系数组成，第二行由特征方程的第二、四、六、…项系数组成。若特征方程有缺项，则该项系数以零计。劳斯阵如下：3.5.3代数稳定性判据--劳斯稳定性判据以后各项的计算式为：

依次类推。可求得劳斯判据：系统特征方程具有正实部根的数目与劳斯阵列第一列元素中符号变化的次数相等。根据这个判据可以得出线性系统稳定的充分必要条件为：由系统特征方程系数组成的劳斯阵列的第一列元素没有符号变化。若劳斯阵列第一列元素的符号有变化，其变化的次数等于该特征方程的根在s右半平面的个数，表明相应的线性系统不稳定。

一.劳思阵某一行第一项系数为零，而其余系数不全为零。导致劳思阵下一列无法计算。

[处理办法]：用很小的正数代替零的那一项，然后据此计算出劳斯阵列中的其他项。若第一次零（即）与其上项或下项的符号相反，计作一次符号变化。3.5.3代数稳定性判据--劳斯稳定性判据的特殊情况二.劳斯阵某行系数全为零的情况。表明特征方程具有大小相等而位置径向相反的根。至少有下述几种情况之一出现，如：大小相等，符号相反的一对实根，或一对共轭虚根，或对称于虚轴的两对共轭复根。[处理办法]：可将不为零的最后一行的系数组成辅助方程，对此辅助方程式对s求导所得方程的系数代替全零的行。大小相等，位置径向相反的根可以通过求解辅助方程得到。辅助方程应为偶次数的。例5：

设线性系统特征方程式为：

试判断系统的稳定性。

解：

建立劳斯表：

若劳斯表某行第一列系数为零，则劳斯表无法计算下去，可以用无穷小的正数ε代替0，接着进行计算，劳斯判据结论不变。

由于劳斯表中第一列系数有负，系统是不稳定的。

例：

设线性系统特征方程式为：

试判断系统的稳定性。

解：

建立劳斯表：

系统是不稳定的。特征方程共有6个根：

例：考虑如下图所示的导弹航向控制系统。图中，Tm>0,Tf>0，试确定系统稳定时放大系数K的取值范围。

解：闭环传递函数为：特征方程为：劳斯阵：列出对应的劳斯阵列如下：整理后可得开环放大系数K的取值范围是：

要使系统稳定，必须：及定义：误差信号

在时间

趋于无穷大时的数值定义为系统的稳态误差，记为。即：

误差信号包括瞬态分量和稳态分量两部分.由于系统必须稳定,故当时间趋于无穷大时,必有瞬态分量趋于零,因而,控制系统的稳态误差定义为误差信号的稳态分量

对于稳定的系统，稳态误差可以借助拉氏变换的终值定理方便的计算出：

使用上式的条件是有理函数在右半平面和虚轴上必需解析，即的全部极点都必需分布在左半平面（包括坐标原点）。

3.6控制系统的误差和稳态误差-

给定作用下的误差传递函数稳态误差的计算（总结）：-+

扰动作用下的误差传递函数+

给定和扰动同时作用下的误差表达式

对稳定的系统，可利用拉氏变换的终值定理计算稳态误差

终值定理要求有理函数的所有极点都在s平面的左半开平面（包括原点）。-+典型输入作用下的稳态误差上表中，k为开环放大系数（开环传递函数写成时间常数形式时的开环增益）

3.6.2稳态误差分析－－典型输入作用下的稳态误差（总结）[例2]

系统方块图如图所示，当输入为单位斜坡函数时，求系统在输入信号作用下的稳态误差；调整K值能使稳态误差小于0.1吗？-解：只有稳定的系统计算稳态误差才有意义，所以先判稳：系统特征方程为由劳斯判据知稳定的条件为：由稳定的条件知：不能满足

的要求例：系统结构图如图1所示1.写出闭环传递函数表达式2.要使系统满足条件：试确定相应的参数和3.求此时系统的动态性能指标4.时，求系统的稳态误差第4章线性系统的根轨迹分析法

4.1根轨迹的基本概念

4.2绘制根轨迹的基本规则

4.3控制系统根轨迹绘制示例

4.4基于根轨迹法的系统性能分析第4章线性系统的根轨迹分析法

其基本思路：当开环系统的一个或多个参数发生变化时，根据系统的开环零点和极点，借助若干条绘图准则，绘制出闭环特征根变化的轨迹，简称根轨迹。

利用根轨迹法可以：分析闭环系统的稳定性计算（或估算）闭环系统的瞬态和稳态性能指标确定闭环系统的某些参数对系统性能的影响对闭环系统进行校正根轨迹定义:控制系统的某一参数由零到无穷大变化时，闭环系统的特征根（闭环极点）在s平面上形成的轨迹。上述两式称为满足根轨迹方程(kg>=0)的幅值条件和相角条件。当根轨迹增益kg>=0时：

根轨迹方程可写为：即：4.1.2根轨迹的幅值和相角条件上述两式称为满足根轨迹方程(kg<0)的幅值条件和相角条件。当根轨迹增益kg<0时：

根轨迹方程可写为：即：根轨迹的两种类型：

180o等相角根轨迹：复平面上所有满足相角条件式(kg>=0)的点连成的曲线，称为180o等相角根轨迹，简称根轨迹。

0o等相角根轨迹：复平面上所有满足相角条件式(kg<0)的点连成的曲线，称为0o等相角根轨迹。

这样，当根轨迹增益从kg=0到kg=±∞变化时，根据根轨迹应满足的相应幅值和相角条件，完全可以确定s平面上的根轨迹和根轨迹上各点对应的kg值。

规则180o等相角根轨迹0o等相角根轨迹连续性、对称性和分支数根轨迹是连续且对称于实轴的曲线。其分支数等于开环有限零点和极点数目中的大者。同左起点和终点起始于开环极点，终止于开环零点同左渐进线条数：n-m同左与实轴交点：同左与实轴夹角：实轴上根轨迹若实轴上某点右边的开环有限零点和有限极点数目之和为奇数，则该点是根轨迹上的点若实轴上某点右边的开环有限零点和有限极点数目之和为偶数（包括0），则该点是根轨迹上的点控制系统根轨迹绘制示例分离(会合)点分离（会合）点为方程:

的根同左分离（回合）点处的根轨迹增益：同左出射、入射角出射角：出射角：入射角：入射角：与虚轴的交点令s=jw，带入闭环特征方程求w和kg。或用劳斯判据求临界稳定时的闭环特征根。同左闭环特征根之和与之积同左

根据上述根轨迹绘制规则，可以画出控制系统完整的根轨迹图。应当指出的是，并不是每一个系统的根轨迹绘制都要全部使用上述基本规则。根据系统的不同，有时只使用部分规则就可以绘制出完整的根轨迹。例1

已知反馈控制系统的特征方程是试绘制当kg从0→＋∞变化时的根轨迹。

解：根据要求，采用180o等相角根轨迹绘制规则进行绘制。

系统的根轨迹方程为：

系统的开环极点和零点为：

根轨迹的分支数：根轨迹有两条分支，分别起始于开环极点-p1，-p2处，终止于开环零点-z1，-z2处。

实轴上的根轨迹区间为：

[-4，0]

根轨迹的渐近线：开环极点与开环零点的数目相同，该根轨迹没有渐进线。

分离（会合）点：令

代入方程

有：

s1=-1.24是根轨迹的会合点，s2=3.24不是根轨迹上的点，应该舍去，即根轨迹没有分离点。会合点对应的根轨迹增益为：

出射角：先求开环极点-p1处的出射角。画出各个开环零点和极点（除了-p1）到-p1的向量，并标出每个向量的相角，分别为a1,a2,b1。

出射角为：

根轨迹与虚轴的交点：

系统的闭环特征方程为：

劳斯阵列如下：

由于kg≥0，劳斯阵列中没有全为零的行。所以，根轨迹与虚轴没有交点。根轨迹如下：第5章线性系统的频域分析法5.1频率特性的基本概念5.2对数坐标图5.3极坐标图5.4奈奎斯特稳定判据5.5稳定裕度5.6闭环系统的频率特性5.1.1频率分析法定义稳态响应的幅值与输入信号的幅值之比

为系统的幅频特性，它描述系统对不同频率输入信号在稳态时的放大特性；

定义稳态响应与正弦输入信号的相位差

为系统的相频特性，它描述系统的稳态响应对不同频率输入信号的相位移特性；幅频特性和相频特性可在复平面上构成一个完整的向量 ，它也是的函数。称为频率特性。

系统的频率特性定义为系统在正弦作用下稳态响应的振幅、相位与所加正弦作用的频率之间的依赖关系。

频率特性与传递函数的关系为：

幅频特性、相频特性和实频特性、虚频特性之间具有下列关系：5.1.2频率特性的表示方法2．对数坐标图，也称伯德(Bode)图。它是由两张图组成，以lgw

为横坐标，对数分度，分别以

20lg|G(jw)H(jw)|和F(jw)作纵坐标的一种图示法。3．对数幅相频率特性图，也称尼柯尔斯(Nichols)图。它是以相位

F(jw)为横坐标，以

20lg|G(jw)H(jw)|为纵坐标，以w为参变量的一种图示法。工程上常用图形来表示频率特性，常用的有：1．极坐标图，也称奈奎斯特(Nyquist)图。是以开环频率特性的实部为直角坐标横坐标，以其虚部为纵坐标，以w为参变量的幅值与相位的图解表示法。5.2.1对数坐标图及其特点1．波德图的坐标轴Bode图由对数幅频特性和对数相频特性两条曲线组成。⑴横坐标(称为频率轴)分度：它是以频率w

的对数值

logw

进行线性分度的。但为了便于观察仍标以w

的值，因此对w

而言是非线性刻度。w

每变化十倍，横坐标变化一个单位长度，称为十倍频程(或十倍频)，用dec表示。类似地，频率w

的数值变化一倍，横坐标就变化0.301单位长度，称为“倍频程”，用oct表示。如下图所示：由于w以对数分度，所以零频率点在－∞处。⑵纵坐标分度：对数幅频特性曲线的纵坐标以

L(w)=20logA(w)表示。其单位为分贝(dB)。相频特性曲线的纵坐标以度或弧度为单位进行线性分度。

一般将幅频特性和相频特性画在一张图上，使用同一个横坐标（频率轴）。

当幅频特性值用分贝值表示时，通常将它称为增益。幅值和增益的关系为：增益=20log(幅值)5.2.2八种典型环节的对数坐标图1.比例环节2.积分环节

3.纯微分环节4.惯性环节

5.一阶微分环节6.振荡环节

7.二阶微分环节8.延迟环节系统对数频率特性的绘制绘制对数幅频特性通常只画出近似折线，如需要较精确的曲线，就对近似折线进行适当修正。绘制步骤如下：⒈把G(s)化成时间常数形式式中Td为延迟环节的延迟时间，m1+2m2=m，n+n1+2n2=n⒉求出20lgK。⒊求出各基本环节的转折频率，并按转折频率排序，可列表：序号环节转折频率转折频率后斜率累积斜率1K———2(jw)-n—－20n－20n3各个环节按从小到大排序的转折频率……4…………⒋确定低频渐近线，其斜率为－n×20dB/dec,该渐近线或其延长线(当w<1的频率范围内有转折频率时)穿过(w=1,L(w)=20lgK)。⒌低频渐近线向右延伸，依次在各转折频率处改变直线的斜率，其改变的量取决于该转折频率所对应的环节类型，如惯性环节为－20dB/dec，振荡环节为－40dB/dec，一阶微分环节为20dB/dec等。这样就能得到近似对数幅频特性。⒍如果需要，可对上述折线形式的渐近线作必要的修正(主要在各转折频率附近)，以得到较准确的曲线。

对数相频特性的绘制，通常是分别画出各基本环节的j(w)，然后曲线相加。

实际画图时，可先写出总的相频特性，然后用计算器每隔十倍频程(或倍频程)算一个点，用光滑曲线连接即可。例：已知

，画出其对数坐标图。解：⒈将传函写成时间常数形式这可以看作是由五个典型环节构成的⒉求20lgK=20dB序号环节转折频率转折频率后斜率累积斜率1K———2(jw)-1—－20－2030.5－20－4041+jw1+20－20520－40－60注意转折频率是时间常数的倒数⒊列表wwL(w)j(w)200-20-20-40-60相频特性w0.10.20.512j(w)-95.8°-104.5°-109.4°-110.4°-106.6°w5102050100j(w)-106.2°-117.9°-181.4°-252.1°-262°特别注意相频特性表达式中

一项当w≥20时的计算。例：已知最小相位系统的渐近幅频特性如图所示，试确定系统的传递函数，并写出系统的相频特性表达式。解：⒈由于低频段斜率为-20dB/dec所以有一个积分环节；⒉在w=1处，L(w)=15dB，可得

20lgK=15，K=5.6⒊在w=2处，斜率由-20dB/dec变为-40dB/dec，故有惯性环节1/(s/2+1)⒋在w=7处，斜率由-40dB/dec变为-20dB/dec，故有一阶微分环节(s/7+1)

极坐标图是以开环频率特性的实部为直角坐标横坐标，以其虚部为纵坐标，以w为参变量画出幅值与相位之间的关系。

极坐标图也称奈奎斯特(Nyquist)图。它是在复平面上用一条曲线表示w由0→∞时的频率特性。即用矢量G(jw)的端点轨迹形成的图形。w是参变量。在曲线上的任意一点可以确定对应该点频率的实频、虚频、幅频和相频特性。

由于幅频特性是w的偶函数，而相频特性是w的奇函数，所以当w从0→∞的频率特性曲线和w从－∞→0的频率特性曲线是对称于实轴的。

根据频率特性和传递函数的关系，可知：频率特性曲线是S平面上变量s沿正虚轴变化时在G(s)平面上的映射。

极坐标图5.3.2开环系统极坐标图的绘制

实际绘图时极坐标图画的都是近似曲线。具体来讲是根据幅频特性和相频特性确定起点(对应w=0)和终点(对应w=∞)；根据实频特性和虚频特性确定与坐标轴的交点；然后按w从小到大的顺序用光滑曲线连接即可。必要时可再求一些中间的点帮助绘图5.3.1典型环节系统极坐标图

八种典型环节的极坐标图最小相位系统频率特性绘制系统频率特性表示为：其相角为：当时，当时，

显然，低频段的频率特性与系统型数有关，高频段的频率特性与n-m有关。1.起点和终点下图为0型、Ⅰ型和Ⅱ型系统在低频和高频段频率特性示意图：2.至于中频部分，可计算一些特殊点的来确定。如与坐标轴的交点等。低频段频率特性高频段频率特性例：某零型控制系统，开环传递函数为试概略绘制系统开环幅相曲线。解：

系统开环频率特性为：

[柯西幅角原理]：S平面上不通过F(s)任何奇异点的封闭曲线CS包围S平面上F(s)的Z个零点和P个极点。当s以顺时针方向沿封闭曲线CS移动一周时，在F(s)平面上相对应于封闭曲线CF将以顺时针方向绕原点旋转N圈。N，Z，P的关系为：N=Z－P。若N为正，表示CF顺时针运动，包围原点；若N为0，表示CF顺时针运动，不包围原点；若N为负，表示CF逆时针运动，包围原点。5.4奈奎斯特稳定判据

奈奎斯特当年就是巧妙地应用了幅角原理得到了奈奎斯特稳定判据。设系统结构图如图所示令：则开环传递函数为：……………(a)闭环传递函数为：……………(b)

显然，令复变函数等于零即是闭环特征方程。复变函数的阶数为n阶，且分子分母同阶。则复变函数可写成以下形式：。式中，为F(s)的零、极点。由(a)、(b)及(c)式可以看出：F(s)的极点为开环传递函数的极点；F(s)的零点为闭环传递函数的极点；将闭环特征式与开环特征式之比构成一个复变函数，得：……………..(c)[奈奎斯特稳定判据]：若系统的开环传递函数在右半平面上有P个极点，且开环频率特性曲线对(－1，j0)点包围的次数为N，（N>0顺时针，N<0逆时针），则闭环系统在右半平面的极点数为：Z=N+P。若Z=0

，则闭环系统稳定，否则不稳定。[奈奎斯特稳定判据的另一种描述]：设开环系统传递函数Gk(s)在右半s平面上的极点数为P，则闭环系统稳定的充分必要条件为：在Gk(s)平面上的开环频率特性曲线及其镜象当w从－∞变化到+∞时，将以逆时针的方向围绕(－1，j0)点P圈。对于开环系统稳定的情况，P=0，则闭环系统稳定的充分必要条件是开环频率特性曲线及其镜象不包围(－1，j0)点。不稳定的闭环系统在s右半平面的极点数为：Z=N+P。奈奎斯特稳定判据的应用步骤⒈确定开环右极点数P；⒉画出开环系统奈奎斯特图（包括正负频率及s平面中特定路径在Gk(s)平面的映射）；⒊确定N；⒋计算Z=N+P，当Z=0时闭环系统稳定，当Z>0时闭环系统不稳定，当Z<0时计算有误。[例]设开环系统传递函数为：，试用奈氏判据判断闭环系统的稳定性。[解]：当K=52时，开环极点为－1，－1±j2，都在s左半平面，所以P=0。奈氏图如右。从图中可以看出：奈氏图顺时针围绕(－1，j0)点2圈。所以闭环系统在s右半极点数为：Z=N+P=2

，闭环系统是不稳定的。若要系统稳定，则即K<26时，奈氏图不围绕(－1，j0)点。当K<0

时，原极坐标图顺时针转过180°，此时与负实轴的交点为K/10，若要满足K/10>－1，则要求K>－10。于是系统稳定的条件为－10<K<26。

上述结论同样可由劳思—赫尔维茨判据得到。劳斯阵：

要使系统稳定，则第一列都大于0于是得：－10<K<26。[例]系统结构图如右：试判断闭环系统的稳定性并讨论稳定性和K的关系。-[解]：

开环系统奈氏图是一个半径为，圆心在

的圆。由图中看出：当K>1时,奈氏曲线逆时针包围(－1，j0)点一圈，N=－1，而P=1，则Z=N+P=0闭环系统是稳定的。

显然，K>1时，包围(－1，j0)点，K<1时不包围(－1，j0)点。K=1时穿过(－1，j0)点。当K=1时，奈氏曲线通过(－1，j0)点，属临界稳定状态。当K<1时，奈氏曲线不包围(－1，j0)点，N=0，P=1，所以Z=N+P=1，闭环系统不稳定。5.4.3系统含有积分环节时奈奎斯特稳定判据的应用具有开环为0的极点系统，其开