质点动力学的基本方程

第十章质点动力学的基本方程

本章重点、难点

⒈重点建立质点运动微分方程。质点动力学第二类基本问题的解法。

⒉难点对质点运动微分方程进行变量变换后再积分的方法。

本章重点、难点

⒈重点建立质点运动微分方程。质点动力学第二类基本问题的解法。

⒉难点对质点运动微分方程进行变量变换后再积分的方法。

本章重点、难点

⒈重点建立质点运动微分方程。质点动力学第二类基本问题的解法。

⒉难点对质点运动微分方程进行变量变换后再积分的方法。

如果说，力的作用是改变物体机械运动的原因，那么，动力学就是从因果关系上论述物体的机械运动。机械运动变化是力对物体作用的结果。动力学是什么?动力学研究物体的机械运动与作用力之间的关系。

在静力学、运动学两篇中曾讨论过：当作用于物体上的力系满足一定条件时，物体处于平衡状态，力系的简化与合成、力系的平衡条件研究是静力学的两个基本任务；不考虑运动状态发生变化的原因，只从几何的观点来论述物体的机械运动，是运动学的任务。从这种意义上说，动力学是理论力学中最具普遍意义的部分，静力学、运动学则是动力学的特殊情况。

动力学的研究对象：低速、宏观物体的机械运动的普遍规律。动力学基本概念1)质点：大小和形状可以忽略不计且具有质量的物体；3)自由质点系：无约束限制的质点系；4)非自由质点系：有约束限制的质点系；惯性：任何物体在不受外力作用时都有保持其运动状态不变的属性；6)惯性运动：物体的匀速直线运动。2)质点系：相互联系并组成一个运动整体的一群质点总称；§10-1动力学的基本定律

第一定律（惯性定律）不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。

第二定律（力与加速度之间的关系的定律）ma

=F质点的质量与加速度的乘积，等于作用于质点的力的大小，加速度的方向与力的方向相同。

第三定律（作用与反作用定律）两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等，方向相反，沿着同一直线，且同时分别作用在这两个物体上。牛顿及其在力学发展中的贡献

牛顿出生于林肯郡伍尔索朴城的一个中等农户家中。在他出生之前父亲即去世，他不到三岁时母亲改嫁了，他不得不靠他的外祖母养大。

1661年牛顿进入了剑桥大学的三一学院，1665年获文学学士学位。在大学期间他全面掌握了当时的数学和光学。1665-1666的两年期间，剑桥流行黑热病，学校暂时停办，他回到老家。这段时间中他发现了二项式定律，开始了光学中的颜色实验，即白光由7种色光构成的实验，而且由于一次躺在树下看到苹果落地开始思索地心引力问题。在30岁时，牛顿被选为皇家学会的会员，这是当时英国最高科学荣誉。牛顿及其在力学发展中的贡献★牛顿在光学上的主要贡献是发现了太阳光是由7种不同颜色的光合成的，他提出了光的微粒说。★牛顿在数学上的主要贡献是与莱布尼兹各自独立地发明了微积分，给出了二项式定理。★牛顿在力学上最重要的贡献，也是牛顿对整个自然科学的最重要贡献是他的巨著《自然哲学的数学原理》。这本书出版于1687年，书中提出了万有引力理论并且系统总结了前人对动力学的研究成果，后人将这本书所总结的经典力学系统称为牛顿力学。牛顿牛顿(S.I.Newton1662—1727)是伟大的英国科学家。牛顿定律是他在开普勒、伽利略等人所做工作的基础上，于1687年在其名著《自然哲学的数学原理》中提出的。§10-2质点的运动微分方程根据牛顿第二定律，若质点M的质量为m，受n个力F1,F2,….,Fn作用，根据质点的加速度的表示形式，则xozyrFR

Mijk若F1Fn矢量形式的质点运动微分方程。（10－3）FiaFRFRFRaaa或则有矢量形式的质点运动微分方程。矢量形式的质点运动微分方程。矢量形式的质点运动微分方程。

M

M

M1.质点运动微分方程在直角坐标轴上的投影在直角坐标系Oxyz中，有则：直角坐标形式的质点运动微分方程。xozyrijkFi

MaF1Fn将式向坐标轴投影，得（11－4）直角坐标形式的质点运动微分方程。直角坐标形式的质点运动微分方程。直角坐标形式的质点运动微分方程。2.质点运动微分方程在自然轴上的投影自然轴系的质点运动微分方程。则在质点M的运动轨迹上建立自然轴系M

bn，

根据点的运动学知，质点的加速度在运动轨迹的密切面内，即bnaFτ所以作用在该质点上力系的合力也应该在此密切面内，(＋)(－)m（10－5）式中，

F

i，Fni和Fbi分别是作用于质点的各力在切线、主法线和副法线上的投影。自然轴系的质点运动微分方程。自然轴系的质点运动微分方程。自然轴系的质点运动微分方程。bnaFτmbnaFτmbnaFτm§10-3质点动力学的两类基本问题一、质点动力学的第一类基本问题

已知质点的运动，求此质点所受的力。如果知道质点的运动规律，通过导数运算，求出该质点的速度和加速度，代入质点的运动微分方程，得一代数方程组，即可求解。二、质点动力学的第二类基本问题

已知作用在质点上的力，求解此质点的运动。求解质点动力学的第二类基本问题，如求质点的速度、运动方程等，归结为解微分方程或求积分问题，还需确定相应的积分常数。因此，需按作用力的函数规律进行积分，并根据具体问题的运动条件确定积分常数。在实际问题中，只有在一些比较特殊的情况下，能解出微分方程，获得解析解；更多情况下，往往只能通过逐步逼近或数值计算的方法，获得近似解或数值解。yxoryx解：㈠求质点的轨迹方程：即质点的轨迹是椭圆。例10-1质点M的质量为m，运动方程是x=bcosωt,

y=dsinωt，其中b,d,ω为常量。求作用在此质点上的力。从运动方程中消去

t，得ij㈡求质点的加速度㈢求质点所受的力由得rrrXYM所以，质点所受的力可表示为⑴力的方向永远指向椭圆中心，为有心力；⑵力的大小与此质点至椭圆中心的距离成正比。易知：yxorMyxij已求得XYFymmaYxmmaXyx22ww-==-==jiFYX+=)(2jiyxm+-=wr2wm-=例题10-2曲柄连杆机构如图所示.曲柄OA以匀角速度w转动,OA=AB=r。滑块B的运动方程为x=2rcos

。如滑块B的质量为m,摩擦及连杆AB的质量不计。求当

=

t=0时连杆

AB所受的力。OAB

B解:

取滑块B为研究对象

由于杆的质量不计,AB为二力杆且受平衡力系作用。NmgF

x=2rcos

=

tax=-2r

2cos

max=-Fcos

F=-2mr

2例题10-3质量为1kg的重物M,系于长度l=0.3m的线上,线的另一端固定于天花板上的O点,重物在水平面内作匀速圆周运动而使悬线成为一圆锥面的母线,且悬线与铅垂线间的夹角恒为60,试求重物运动的速度和线上的张力。60

MrvFTmg解：取重物M为研究对象，选用自然坐标轴投影形式。例10-4

已知桁车吊的重物重为G，以匀速度v0前进，绳长为l。求突然刹车时，绳子所受的最大拉力。φvv0解：研究重物，桁车突然刹车后，重物做圆弧摆动。当其摆至φ角处，受力如图。TGτ由自然轴系的质点运动微分方程，有(a)(b)可知，拉力T与重物的速度v、摆角φ有关，v0v0v0φφφTGTGTGτττnnnnvvv对(a)式进行分离变量并积分：得：(c)v0TGτnv和已推得(b)将(c)式代入(b)式，得当φ=0时，l例10-5炮弹射出，直角坐标运动方程为求：t=0时炮弹的切向加速度和法向加速度，以及这时轨迹的曲率半径。当t=0时将加速度在切线和法线方向分解有当t=0时，v=v0，由上式得由得FN

a习题

已知：P，

。求fmin。解:（1）

取物块为研究对象PFa

（2）

研究对象受力分析

（3）

研究对象运动分析

（4）

列方程求解求知量yx例10－7

已知：P,l,v0.求Fmax.。O1Ov0v解:取物块为研究对象

FP动荷系数n习题

粉碎机滚筒半径为R，绕通过中心的水平轴匀速转动，筒内铁球由筒壁上的凸棱带着上升。为了使铁球获得粉碎矿石的能量，铁球应在θ=θ0时才掉下来。求滚筒每分钟的转数n。nnnvvvv质点在未离开筒壁前的速度等于筒壁的速度，即nFSmgFN解：研究对象：运动分析：铁球（视为质点），受力分析：质点在上升过程中受力有重力mg、由有筒壁的法向反力FN、筒壁的切向反力FS。

铁球在滚筒的带动下沿圆弧向上运动，当运动到一定高度时，将脱离筒壁沿抛物线下落；解得nFSmgFNnFSmgFNnFSmgFN已求得滚筒转速为当θ=θ0

时，铁球将落下，此时

FN

=0，得FSmgFNFN=0θFNFNFNθθ讨论⑴若n

＜n0，则θ＞θ0，⑵若n＞n0，则θ＜θ0，⑷对离心浇铸，则要求n>ncr。即铁球在低处落下；

即铁球在高处落下；⑶若时，θ=0

，则铁球不再脱离筒壁落下。习题

在均匀的静止液体中，质量为m的物体M从液面处无初速下沉，如图所示。设液体阻力R=－μv,其中μ为阻尼系数，忽略液体对小球的浮力。试分析该物体的运动规律及其特征。见续后解：取物体M为研究对象；物体在运动中受力有：建立坐标系如图。由重力mg、阻力R；OyxmgＲmgＲmgＲmgＲ有令vvvvv0=

0上式的不定积分为可得所以v0=

0v0=

0已知m，v0=0

，R=－

v,求运动规律已求得物体自液体表面自由下落后速度随时间的变化规律为vcto作出物体自液体表面自由下落后速度随时间的变化曲线：对速度表达式再积分一次，即可得质点的运动微分方程：从曲线可以看出，当时间ｔ→∞时，ｖ→ｃ，即v→mg/

，称为极限速度。事实上，在静止的阻尼介质中，不论初速度如何，落体都将趋于以极限速度而下落。此时重力等于阻力。讨论

㈠根据⑴当

mg>μv

时，物体加速下落。⑵当

mg=μv

时，物体匀速下落，vlim

称为极限速度。此时㈡应用：⑴分离混合物⑵跳伞问题分析若跳伞员的体重mg=750N，空气阻力R=－μv2，阻力系数在