设有线性方程组

设有线性方程组（1）

第三章线性方程组§1消元法相应的一些概念：称为方程组的系数；解→解集合→同解方程组称为方程组的常数项；引例求解线性方程组分析：用消元法解方程组的过程．解用“回代”的方法求出解于是解得小结：1．上述解方程组的方法称为消元法．

2．始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换：（1）交换方程次序；（2）以不等于０的数乘某个方程；（3）一个方程加上另一个方程的k倍．（与相互替换）（以替换）（以替换）3．上述三种变换都是可逆的．

由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种变换是同解变换．定义：上述三种变换称为方程组的初等变换。易知，对方程组（1）进行一系列的初等变换可得到一个阶梯形方程组，不妨设为（5）其中方程组（5）与方程组（1）同解方程组（5）无解，（1）无解。分两种情况：阶梯形方程组为1)其中（6）方程组（6）和方程组（1）有唯一解。2）阶梯形方程组为其中把上述方程组改写为（7）由此可见，任给一组值，就唯一地定出的值，即为方程组（7）的一个解。一般地，由（7）我们可以把通过表示出来。这样一组表达式称为方程（1）的一般解。称为一组自由未知量。的情形是不可能出现的。消元法解方程组的过程初等变换化为阶梯形方程组，去掉恒等式“0=0”若剩下的方程最后一个等式零等于非零数，方程组无解；否则有解，转2）或3)。1）2）若阶梯形方程组方程个数等于未知量个数，方程组有唯一解。3）若阶梯形方程组方程个数小于未知量个数，方程组有无穷多个解。用自由未知量表示定理1在齐次线性方程组中，如果那么它必有非零解。证明显然，方程组在化成阶梯形方程组之后，方程的个数不会超过原来方程的个数，即由得知，它的解不是唯一的，因而必有非零解。定义1由sn

个数排列成的s行（横的），n列称为一个s×n

矩阵。数aij，i＝1，2，…，s，称为矩阵的元素。i当一矩阵的元素全是某一数域P中的数时，它（纵的）的表称为元素aij

的行指标，j称为列指标。就称为这一数域P上的矩阵。

因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算．若记则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵

(称为方程组（1）的增广矩阵）的变换．定义2所谓数域P上的矩阵初等行变换是指下列当矩阵A经过初等行变换变成矩阵B时，我们写三种变换：（1）以P中的一个非零的数乘矩阵的某一行；（2）把矩阵的某一行的c被加到另一行，c是P中（3）互换矩阵中两行的位置。任意一个数。成n×n

矩阵也称为n级方阵。一个n级方阵定义一个n级行列式称为A的行列式，记为我们称形式如的矩阵为阶梯形矩阵。小结：任意一个矩阵经过一系列行初等变换总能变成阶梯形矩阵。例1：①,②换行①+③①×(-2)+④②+③②×(-3)+④③+④则上述方程组（1）可写成矩阵形式若记分量全为复数的向量称为复向量.分量全为实数的向量称为实向量，

§2

n

维向量空间定义2数域P上一个n维向量就是由数域P中n个数组成的有序数组称为第i分量.时，维向量没有直观的几何形象．可以把上述有关三维向量的讨论推广到n维向量.定义:1、两个向量的相等2、两个向量的和3、向量与数的数量乘积4、零向量，负向量易证：向量关于上述“和”、“数量乘积”满足交换律、结合律、分配律等.（P115:(2)(3)(6)(7)(8)）

定义8

以数域P中的数作为分量的n维向量的全体，同时考虑到在它们上面定义的加法和数量乘法，称为数域P上的n维向量空间.维向量的表示方法

维向量写成一行，称为行向量，通常用等表示，如：

维向量写成一列，称为列向量，通常用等表示，如：向量解析几何线性代数既有大小又有方向的量有次序的实数组成的数组几何形象：可随意平行移动的有向线段代数形象：向量的坐标表示式坐标系向量空间空间解析几何线性代数点空间：点的集合向量空间：向量的集合坐标系代数形象：向量空间中的平面几何形象：空间直线、曲线、空间平面或曲面一一对应定义9§3线性相关性向量称为向量组的一个线性组合，如果有数域使中的数例令是向量组的一个线性组合，因为任一个维向量都是向量组的一个线性组合:且维单位向量↘零向量是任一向量组的线性组合。当向量是向量组的一个线性组合时，也说可以经线性表出。小结一：定义10如果向量组中每个向量都可以经向量组线性表出，那么向量组就称为可以经向量线性表出。如果两个向量互相可以线性表出，它们就称为等价。组小结二：每一个向量组都可以经它自身线性表出。可以经向量组线性表出。若向量组可以经向量组线性表出，向量组可以经向量组线性表出，那么向量组向量组等价的性质：1）反身性：每一个向量组都与它自身等价。2）对称性：如果向量组与等价，那么向量组与等价。3）传递性：如果向量组与等价，向量组与向量组与等价。等价，那么定义11如果向量组有一向量可以经其它的向量线性表出，那么向量组称为线性相关的。定义11′向量组称为线性相关，如果有数域中不全为零的数使例任意一个包含零向量的向量组必线性相关。定义12一向量组即没有不全为零的数使就称为线性无关；或者说，一向量组称为线性无关，如果由可以推出不线性相关，如果一个向量组的一部分线性相关，那么这个向量组就线性相关。如果一个向量组线性无关，那么它的任何一个非空的部分组也线性无关。由定义可知事实上，由维单位向量组成的向量组线性无关.证

02110011101

¹=由于此方程组的系数行列式定理2与组，如果1）线性表出，2）那么向量组必线性相关。向量组可以经是两个向量证明由1）有到不全为零的数使为了证明线性相关，只要证可以找做线性组合的系数全为零，那就证明了的线性相关性。这一点是能够做到的，由2），即如果我们找到不全为零的数使齐次方程组中未知量的个数大于方程的个数，根据定理1，它有非零解。推论1推论2推论3向量组可以经线性表出，且线性无关，那么任意个维向量必线性相关。两个线性无关的等价的向量组，必含有相同个数的向量。定理2的推论：定义13一个向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这个组本身是线性无关的，并且从这向量组中任意添一个向量（如果有的话）所得的部分向量组都线性相关。一个线性无关向量组的极大线性无关组就是这个向量组本身.任何一个极大线性无关组都与向量组本身等价.一向量组的任意两个极大线性无关组都等价.小结四：向量组的极大线性无关组不是唯一的.定理