双目标规划问题像集的对称性

双目标规划问题像集的对称性

1间接法多目标规划多目标规划的解可分为两种类型：间接算法和直接算法。间接方法的一般概念是将几个目标转换为单独的目标，这只能得到一个或多个问题的解。例如，杨毅华、吕贤瑞、刘庆怀等人（2006）指出，间接法已经失去了它的缺点。考虑到万事万物好与坏、收益与成本等双分类的普遍性,多目标规划中的双目标规划具有极为重要的应用价值,常用于企业管理决策2多目标规划像集考虑如下一般形式的双目标规划问题:假设目标函数θ称x且其中至少有一个为严格不等式.称x多目标规划问题的帕累托解或弱帕累托解其定义依据是目标函数值,因此,研究多目标规划问题的像集是求解多目标规划问题确定其帕累托解与弱帕累托解的最直接手段.特别是,双目标规划问题的像集不仅易于确定,且具有几何直观性,是求取双目标规划问题的便利工具.问题(1)的像集定义为与多目标规划问题的帕累托解与弱帕累托解相对应,可分别定义其像集中的帕累托点与弱帕累托点.称(θ其中至少存在一个严格不等式.称(θ显然,如果x2双目标规划像集的下边界形式确定像集的方法较多,不过,一般具有问题针对性.比如,单一决策变量事实上可定义双目标函数之间的一个参数方程,可采用消除变量方式确定目标函数之间的函数关系.又如,若问题为多目标线性规划形式,可采用凸组合方式确定像集不论变量x维度如何,双目标规划问题的像集总是二维空间中的点集.因此,可通过探究像集的结构特别是下边界形式确定双目标规划问题的弱帕累托解.为此,考察如下单目标规划问题:其中θ这里θ现需要判断单目标规划问题的最优解是否为多目标规划问题的帕累托解.若或者说函数反之,若λ(θ表明在x(θ综上,利用单目标规划问题确定多目标规划问题的解,主要关注如下两点:其一,给定参数θ其二,该最小值点是否满足局部弱帕累托性,即相应的拉格朗日乘子符号如何.若乘子为负,则单目标规划问题的解是多目标规划问题的局部弱帕累托解,否则该解并非弱帕累托解.当然,如果目标函数满足凸性,局部弱帕累托解必然是整体弱帕累托解.进一步地,若就每一个可能的θ出于求解需要,问题(3)并未完全确定双目标规划问题的像集,仅仅得到其下边界.我们还可以求解如下最大化问题以确定像集之上边界:设问题存在最优值,并记为3双目标规划像集的函数综上,为确定双目标规划问题(1)的像集及弱帕累托解集,其基本步骤可细分为如下三步:首先,确定目标函数θ第二步要求针对某一目标函数的所有可能取值去确定另一个目标函数的最大值与最小值,事实上已将双目标规划问题转化为单目标规划问题.在数值解法之余,有时亦可确定一个目标函数的最大、最小值相应于另一个目标函数具体取值的函数关系式.做为示例,考虑双目标规划问题其中约束集X=[0,1]首先,单目标规划问题的内点解为坐标原点,这要求θ事实上,就本例而言,完全可以借助单目标规划问题界定像集中的帕累托点.问题为凸规划问题,其Kuhn-Tucker条件为最优解的充要条件.就问题的最优解x∈0[,1]该最小值函数给出了双目标规划像集的下边界,如图1所示.不难判断,当θ即可得到双目标规划问题的一个帕累托解是另外,通过求解单目标规划问题(4)可确定双目标规划问题像集的上边界,不过,问题(4)的求解对于判断双目标规划问题的弱帕累托解并无实际意义,此处略去其求解过程,仅给出结果.不难验证,单目标规划问题因此,就第2个目标函数任意给定的一个取值θ4.从顺序调节角度解释稀缺资源经济学往往面临价值取向的二维性.经济人总是权衡成本与收益,就生产者而言,产出最大而投入最小;就消费者而言,效用最大而支付最小;就投资者而言,收益最大而风险最小,等等,都是经济人理所当然的考虑.事实上,经济学研究源于资源的稀缺性,经济决策的核心是优化稀缺资源的配置与利用,其中不乏经典的双目标规划问题,也采用了类似的处理方式.比如,微观经济学中生产函数与成本函数的定义.任何生产总是涉及到投入与产出两类目标,问题的像集表现为生产可能集.具有帕累托特征或弱帕累托特征的生产方式需具备如下条件:给定投入的情况下,获得最大的产出;或者,在给定产出的情况下,投入成本最小.这两个条件分别定义了生产函数与成本函数,事实上确定了生产可能集的部分边界.显然,这一机理与确定像集边界一致.又比如,金融经济学中资产组合前沿边界的确定事实上即等价于双目标规划问题像集的确定,其决策变量为资产组合权重向量,两个目标函数分别是资产组合权重的方差函数与期望收益函数.问题的经典处理方式即HarryMarkowitz(1952)提出的均值-方差模型5像集边界分析利用像集探究多目标规划问题的帕累托解与弱帕累托解是一种传统思路,当问题为双目标规划类型时,尤具可行性.从确定双目标规划问题的像集边界入手,以拉格朗日乘子符号或像集边界函数单调性求取问题的局部弱帕累托解,这提供了双目标规划问题的一个分