群论群的线性表示基础

群论群的线性表示基础第1页，课件共27页，创作于2023年2月2.1群的线性表示一、线性空间与线性变换1.线性空间（矢[向]量空间）是定义在数域K(如实数域R或复数域C)上的矢量集合

{x，y，z，...}=V在V中可以定义加法和数乘两种运算：设矢量加法和数乘具有封闭性，且满足第2页，课件共27页，创作于2023年2月加法：x+y=y+x

交换律

x+(y+z)=(x+y)+z

结合律

x+0=x有唯一零元素对任一x,有唯一(-x)，x+(-x)=0数乘：1∙x=x(ab)x=a(bx)a(x+y)=ax+ay(a+b)x=ax+bx若将加法运算看成群的‘乘法’则线性空间V构成一个阿贝尔的加法群恒元逆元线性空间是定义在数域上的矢量集合，且定义了矢量加法和数乘第3页，课件共27页，创作于2023年2月2.线性变换设V是数域K上的线性空间线性变换A是将V映入V的线性映射，即对x,y∈V，a∈K有A：V→V，A(x)∈V对V中矢量x进行A变换仍属于V

A(ax+y)=aA(x)+A(y)线性

线性变换的运算设A和B是从V到V的线性变换，则可定义线性变换的数乘、加法和乘法为：(aA)(x)=a(A(x))

(A+B)(x)=A(x)+B(x)

(AB)(x)=A(B(x))

第4页，课件共27页，创作于2023年2月

逆线性变换的运算若线性变换是把V映入V的一一对应满映射，则存在A的逆线性变换A-13.n维线性空间若线性空间V中最多有n个线性独立（线性无关）的矢量，则称V是n维线性空间基（矢）：(e1,e2,...,en)矢量：坐标系：基(e1,e2,...,en)也称为坐标系坐标：有序数组(x1,x2,...,xn)也称为x的坐标第5页，课件共27页，创作于2023年2月

矩阵表示形式基（矢）：线性变换：矢量：第6页，课件共27页，创作于2023年2月A作用到基上A作用到矢量上非奇异线性变换：当detA≠0时，存在A的逆矩阵A-1，它对应于变换A的逆变换，这是称A是非奇异的4.复一般线性群设V为n维复矢量空间（即数域K为复数域C），V上全部线性变换当定义乘法为连续两次线性变换时构成一个群，称为n维复一般线性群，记为GL(n,C)，有时也记为GL(V,C)第7页，课件共27页，创作于2023年2月

线性变换群V上非奇异线性变换构成的群，称为线性变换群，记为L(V,C)，显然L(V,C)属于GL(VC)●若在V中选一组基（e1,...,en），则群中互逆元素矩阵与相应逆矩阵V中非奇异线性变换n×n非奇异矩阵群L(V,C)n×n非奇异矩阵群群的乘法矩阵的乘法群的恒元n×n单位矩阵●若找到与给定群同构的矩阵群，则矩阵群性质完全反映给定群的性质●若找到与给定群同态的矩阵群，则矩阵群性质反映给定群的部分性质（同态核以外）第8页，课件共27页，创作于2023年2月二、线性表示1.定义若行列式不为零的m×m矩阵集合构成的群D(G)与给定群G同构或同态，则D(G)称为群G的一个m维线性表示，简称表示（representation）.表示矩阵：在D(G)中，与G中元素R对应的矩阵D(R)

称为元素R在表示D(G)中的表示矩阵特征标：表示矩阵D(R)的迹χ(R)=TrD(R)

称为元素R在表示D(G)中的特征标（character）注意规定：表示矩阵行列式不为零，保证表示矩阵存在逆矩阵恒元：表示矩阵D(R)=I互逆元素：表示矩阵为互逆矩阵D(R-1)=D(R)-1第9页，课件共27页，创作于2023年2月2.分类1)真实表示（忠实表示）：D(G)≈G

非真(忠)实表示：D(G)~

G若D(G)≈G，且G'≈G则D(G)≈G'2)恒等表示（平庸、单位、显然表示）：

让群中所有元素都对应1，D(R)=1，得到的表示

任何群都有恒等表示

自身表示：任何矩阵群本身就是自己的表示

幺正表示：表示矩阵是幺正矩阵D(R)+D(R)=I

实正交表示：表示矩阵是实正交矩阵

D(R)+D(R)=I，D(R)TD(R)=I，detD(R)=±1

群的表示不唯一第10页，课件共27页，创作于2023年2月练习设G是一个非阿贝尔群，D(G)是群G的一个真实表示，元素R的表示矩阵为D(R)，现让群G元素R分别于下列矩阵对应问：此矩阵的结合是否分别构成群G的表示？(1)D(R)+(2)D(R)T(3)D(R-1)(4)D(R)*(5)D(R-1)+(6)detD(R)(7)TrD(R)第11页，课件共27页，创作于2023年2月三、群代数和有限群的正则表示1.群函数函数关系：自变量和因变量之间的一种确定关系y=f(x)定义：若对于群G的每一个元素R，都有一个确定的数F(R)

与之对应，这样以群元素作为自变量的函数称为群函数记为F(G)可以是矢量函数、矩阵函数等说明(1)有限群，群函数自变量有g个取值(g是群的阶)，则有限群线性无关的群函数数目等于群的阶g(2)群G的每一个线性表示D(G)都是群G的一个矩阵函数(3)表示矩阵的每一个元素Dμν(G)都是群G的一个群函数（数值）(4)特征标χ(R)=Tr(R)

也是群G的一个群函数（数值）(5)共轭元素特征标相同，因此特征标也是类的函数证明作为练习第12页，课件共27页，创作于2023年2月2.群空间1)群元素的加法（R+S）：c1R+c2S=c2S+c1R交换律c1,c2∈K，R,S∈Gc1R+c2R=(c1+c2)Rc3(c1R+c2S)=c3c1R+c3c2S线性c3∈K2)群空间：取有限群的群元素R作为基，它们的所有复线性组合构成一个线性空间，称为群空间维数：群的阶g自然基：以群元素作为基矢量：群元素的任何线性组合都是群空间的矢量

如矢量矢量分量基第13页，课件共27页，创作于2023年2月3.群代数若在线性空间引入矢量乘法，则要求线性空间关于乘法是封闭的，且满足分配律，即1)线性代数：若V是数域K上的线性空间，在V中可以定义乘法对X,Y,Z∈V，a∈K满足●XY∈V封闭性●Z(X+Y)=ZX+ZY分配律

(X+Y)Z=XZ+XY

●a(XY)=(aX)Y=X(aY)数与矢量可对易这样的线性空间V称为线性代数或代数。(可)结合代数：满足(XY)Z=X(YZ)的代数第14页，课件共27页，创作于2023年2月●（线性）代数是在线性空间上定义矢量乘法，现在群空间上定义矢量乘法2)群代数：●规则数与数：普通数的乘法群元素与群元素：群元素的乘积规则即第15页，课件共27页，创作于2023年2月●以上定义的乘法满足分配律，且

群空间关于此乘法封闭●这样的群空间称为群代数，记为4.正则表示（正规表示）算符：描写变换的一种数学符号1)正则表示：任何群都有的一个重要的真实表示线性算符：满足

R(x)(c1φ1(x)+c2φ2(x))=c1R(x)φ1(x)+c2R(x)φ2(x))群代数中，群元素左乘或右乘到群代数矢量上，使矢量按一定规则变成群代数中另一矢量，因此群代数中，群元素既是矢量(基)，又是线性算符第16页，课件共27页，创作于2023年2月把作为算符的S左乘到作为矢量基的R上，可得到群代数中一个矢量，写成矢量基的线性组合，组合系数排列起来，构成算符S在矢量基R中的矩阵形式D(S)从另一角度看S左乘到R上得到另一群元素T，上式求和结果实际上只有一项，即元素T对应的项由重排定理，S与G中所有元素相乘，群元素只出现一次，则矩阵D(S)的每一行也只有一个矩阵元素不为0第17页，课件共27页，创作于2023年2月给出了D(S)与S间一一对应关系按惯例算符乘积定义为两个算符的相继作用矩阵之间按照矩阵乘积规则相乘，则算符乘积和矩阵乘积仍按照上式一一对应这种算符与其矩阵形式一一对应或多一对应关系在乘积中保持不变的性质，在群论中会经常遇到，只给出这一次证明证明：算符与其矩阵形式一一对应关系对它们乘积保持不变则第18页，课件共27页，创作于2023年2月因此由第一章定理（二）则D(G)称为群G的正则表示，是G的一个真实表示。注1）每个有限群都有一个正则表示，维数是有限群的阶g2）除恒元外，元素S在正则表示中特征标都为零第19页，课件共27页，创作于2023年2月2)由乘法表写出群的正则表示方法：♣

群元素S的正则表示中，矩阵形式由乘法表中S所在行的乘积元素决定♣

表示矩阵中第R列不为零的矩阵元素所在行

就是乘法表S行中R列的乘积元素标记的行

SREC4C42C43mxmyσuσvEEC4C42C43mxmyσuσvC4C4C42C43EσvσumxmyC42C42C43EC4mymxσvσuC43C43EC4C42σuσvmymxmxmxσumyσvEC42C4C43mymyσvmxσuC42EC43C4σuσumyσvmxC43C4EC42σvσvmxσumyC4C43C42E按列写第20页，课件共27页，创作于2023年2月第21页，课件共27页，创作于2023年2月5.内禀群1)定义：●群代数中，作为算符的群元素不仅可以从左面作用到矢量R上，还可以从右面作用到矢量R上●对阿贝尔群，二者相同；但对非阿贝尔群，左乘群元素与右乘群元素结果是不同的，且两个算符的乘积也不同如：先左乘S，再左乘T——结果：左乘TS先右乘S，再右乘T——结果：右乘ST●左乘算符集合与右乘算符集合，根据不同的乘积规则分别构成群，分别记为●中相同元素一一对应，元素乘积不再按原规则一一对应，但若G中元素R与中元素R-1一一对应，则元素乘积仍按原规则一一对应●群称为G的内禀群第22页，课件共27页，创作于2023年2月1)群的内禀表示：为了使右乘算符的矩阵形式的集合也构成原群G的线性表示，可把算符的矩阵形式取转置，即按列求和给出群元素S与矩阵间一一对应关系，也使群元素乘积按同一规则一一对应，即第23页，课件共27页，创作于2023年2月给出了与S间一一对应关系2)由乘法表写出群的内禀正则表示方法：♣

群元素S的内禀表示中，矩阵形式由乘法表中S所在列的乘积元素决定♣

表示矩阵中第R行不为零的矩阵元素所在列

就是乘法表S列中R行的乘