2023届高三数学专项练习圆锥曲线中的定值问题含答案

2023届高三数学专项练习圆锥曲线中的定值问题

一、考情分析

求定值是圆锥曲线中颇有难度的一类问题,也是备受高考关注的一类问题,由于它在解题之前不知道定

值的结果,因而更增添了题目的神秘色彩.解决这类问题时,要善于运用辩证的观点去思考分析,在动点

的

"变"

中寻求定值的

"不变",用特殊探索法(特殊值、

性

特殊位置、

特殊图形等)先确定出定值,揭开神秘

的面纱,这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题,从而找到解决问题的突破口.同

时有许多定值问题,通过特殊探索法不但能够确定出定值,还可以为我们提供解题的线索.

二、解题秘籍

(一)定值问题解题思路与策略

1.定值问题肯定含有参数,若要证明一个式子是定值,则意味着参数是不影响结果的,也就是说参数在解式

子的过程中都可以消掉,因此解决定值问题的关键是设参数：

(1)在解析几何中参数可能是点(注意如果设点是两个参数时,注意横坐标要满足圆锥曲线方程)

(2)可能是角(这里的角常常是将圆锥曲线上的点设为三角函数角的形式),

(3)也可能是斜率(这个是最常用的,但是既然设斜率了,就要考虑斜率是否存在的情况)

常用的参数就是以上三种,但是注意我们设参数时要遵循一个原则：参数越少越好.

因此定值问题的解题思路是：

(1)设参数；

(2)用参数来表示要求定值的式子；

(3)消参数.

2.圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略

(1)求代数式为定值．依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式、

化简即可得出定值；

(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式,再利用题设条件化简、

变形

求得；

(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式,再依据条件对解析式进行化简、

变形即可求得．

【例1】2023届湖湘名校教育联合体高三上学期9月大联考)已知椭圆C:x2+y2=1,F1为右焦点，

(

2

直线l:y=t

(x-1)与椭圆C相交于A，两点，A点关于x轴的对称点S，

B

取

设线段AS与线段BS的中垂线交于点

Q．

(1)当t=2时，QF1；

求

(2)当t0时，|QF1|是否为定值？若为定值，

求AB

则求出定值；

若不为定值，

则说明理由．

【例2】2023届河南省濮阳市高三上学期测试)已知椭圆C：x2+b2=1a>b>0的右焦点为F，O：2

y2

(

圆

x

a2

+y2=a2，F且垂直于x轴的直线被椭圆C和圆O所截得的弦长分别为433和22.

过

(1)求C的方程；

(2)过圆O上一点P(不在坐标轴上)作C的两条切线l1，2，l1，2的斜率分别为k1，2，

l记l

k直线OP的斜率

为k3，

证明：k1+k2k3为定值.

(二)与线段长度有关的定值问题

与线段长度有关的定值问题通常是先引入参数,利用距离公式或弦长公式得到长度解析式,再对解析式

化简,得出结果为定值

【例3】2023届辽宁省朝阳市高三上学期9月月考)已知双曲线C:x2-b2=1a>0,b>0的离心率为2，

y2

(

a2

点P3,-1在双曲线C上.

(1)求双曲线C的方程；

(2)点A，在双曲线C上，

B

直线PA，与y轴分别相交于M,N两点，Q在直线AB上，

PB

点

若坐标原点O

为线段MN的中点，PQ⊥AB，

证明：

存在定点R，

使得QR为定值.

(三)与面积有关的定值问题

与面积有关的定值问题通常是利用面积公式把面积表示成某些变量的表达式,再利用题中条件化简.

【例4】2023届河南省部分学校高三上学期

(

9月联考)已知椭圆C：x2+b2=1a>b>0的左焦点为

y2

a2

F1-1,0，下顶点分别为A，，AF1B=90°．

上、

B∠

(1)求椭圆C的方程；

(2)若椭圆上有三点P，，满足OM=OP+OQ，

QM

证明：

四边形OPMQ的面积为定值．

(四)与斜率有关的定值问题

与斜率有关的定值问题常见类型是斜率之积商或斜率之和差为定值,求解时一般先利用斜率公式写出表

达式,再利用题中条件或韦达定理化简.

【例5】2023届江苏省南通市高三上学期第一次质量监测)已知A,A分别是椭圆C:x2+b2=1(a>b>0)

y2

(

a2

的左右顶点，B,F分别是C的上顶点和左焦点.点P在C上，

满足PF⊥AA,AB∥OP,FA=2-2.

(1)求C的方程；

(2)过点F作直线l(与x轴不重合)交C于M,N两点，

设直线AM,AN的斜率分别为k1,k2，

求证：k1k2为定

值.

(五)与向量有关的定值问题

与向量有关的定值问题常见类型一是求数量积有关的定值问题，二是根据向量共线,写出向量系数的表

达式,再通过计算得出与向量系数有关的定值结论.

【例6】2023届湖南省部分校高三上学期9月月考)已知双曲线C:x2-b2=1(a>0,b>0)的离心率为26，

y2

(

a2

点A6,4在C上.

(1)求双曲线C的方程.

(2)设过点B1,0的直线l与双曲线C交于D,E两点，

问在x轴上是否存在定点P，

使得PD⋅PE为常数？

若存在，

求出点P的坐标以及该常数的值；

若不存在，

请说明理由.

【例7】2022届上海市金山区高三上学期一模)已知P0,1为椭圆C：x2+3=1内一定点,Q为直线l：=

y2

(

y

4

3上一动点,直线PQ与椭圆C交于A､B两点(点B位于P､Q两点之间),O为坐标原点.

(1)当直线PQ的倾斜角为时,求直线OQ的斜率；

4

(2)当△AOB的面积为3时,求点Q的横坐标；

2

(3)设AP=PB,AB=BQ,试问-是否为定值？若是,请求出该定值；

若不是,请说明理由.

(六)与代数式有关的定值问题

与代数式有关的定值问题．一般是依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式、

化简即可

得出定值

【例8】

在平面直角坐标系xOy中，

椭圆E:x2+b2=1(a>b>0)的右准线为直线l，

y2

动直线y=kx+m(k<

a2

0,m>0)交椭圆于A,B两点，

线段AB的中点为M，

射线OM分别交椭圆及直线l于点P、，

Q如图