湖北省武汉市汪集中心中学2021-2022学年高三数学文下学期期末试题含解析

湖北省武汉市汪集中心中学2021-2022学年高三数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（

）A. B. C.1 D.2参考答案：C【分析】根据三视图对应的直观图，结合棱柱的体积公式即可求解.【详解】该三视图对应的直观图是三棱柱，如下图所示所以故选：C【点睛】本题主要考查了已知三视图求几何体体积，属于中档题.2.如果一个三位数的十位上的数字比个位和百位上的数字都大，则称这个三位数为“凸数”（如132），现从集合{1,2,3,4}中任取3个互不相同的数字，排成一个三位数，则这个三位数是“凸数”的概率为（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】根据题意，分析“凸数”的定义，在{1,2,3,4}的4个整数中任取3个数字，组成三位数，再将最大的放在十位上，剩余的2个数字分别放在百、个位上即可，再利用古典概型概率计算公式即可得到所求概率．【详解】根据题意，要得到一个满足题意的三位“凸数”，在{1，2，3，4}的4个整数中任取3个不同的数组成三位数，有种取法，在{1，2，3，4}的4个整数中任取3个不同的数，将最大的放在十位上，剩余的2个数字分别放在百、个位上，有种情况，则这个三位数是“凸数”的概率是.故选：．【点睛】本题考查组合数公式的运用，关键在于根据题干中所给的“凸数”的定义，再利用古典概型概率计算公式即得答案．3.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．27﹣ B．18﹣ C．27﹣3π D．18﹣3π参考答案：B【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由三视图知几何体为直四棱柱且中间挖去半个圆柱，根据三视图的数据求四棱柱和圆柱的高、以及底面上的几何元素对应的数据，代入体积公式计算即可．【解答】解：由三视图可知，该几何体为放到的直四棱柱，且中间挖去半个圆柱，由三视图中的数据可得：四棱柱的高为3，底面为等腰梯形，梯形的上、下底边分别为2、4，高为2，圆柱的高为3，圆柱底面的半径都是1，∴几何体的体积V==，故选：B．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及相关数据所对应的几何量，考查空间想象能力．4.已知函数的值为（

）A． B． C． D．参考答案：B试题分析：，即，又，，所以，故选B.考点：1、分段函数的解析式；2、函数的周期性及指数与对数的性质.5.已知点，，若直线：与线段AB没有交点，则的取值范围是（）A.

B.

C.或

D.参考答案：C6.已知O为原点，点A，B的坐标分别为（a，0），（0，a），a是正的常数，点P在线

段AB上，且，则的最大值是

A．a

B．2a

C．a2

D．3a参考答案：C.

由图可知，当P与A重合，，选C．

7.已知命题：，；命题：.则下列结论正确的是A．命题是真命题

B．命题是真命题

C．命题是真命题

D．命题是假命题

参考答案：C因命题假，命题真，所以答案选C.8.若中心在原点，焦点在y轴上的双曲线离心率为，则此双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B． C． D．参考答案：B【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由双曲线的离心率可得c=a，进而结合双曲线的几何性质可得b=a，再结合焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程可得答案．【解答】解：根据题意，该双曲线的离心率为，即e==，则有c=a，进而b==a，又由该双曲线的焦点在y轴上，则其渐近线方程为y=±x；故选：B．9.已知函数是的导函数，则过曲线上一点的切线方程为

A．

B．C．

D．参考答案：C10.若正整数n除以正整数m的余数为r，则记为，例如.如图程序框图的算法源于我国古化著名的《中国剩余定理》，执行该程序框图，则输出的i等于（

）A.2 B.4 C.8 D.16参考答案：D【分析】模拟执行程序，根据循环结构，逐步执行，即可得到结果.【详解】模拟执行程序如下：开始，，不满足，故，满足，但不满足，故，不满足，故，满足，满足，输出.故选：D.【点睛】本题考查循环结构语句的执行，只需按照程序框图模拟执行即可，属基础题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若点P（x，y）满足线性约束条件，O为坐标原点，则的最大值_________参考答案：12.已知函数，则

．参考答案：1/4;略13.已知正方体ABCD–A1B1C1D1的棱长为1，E、F分别为棱几AA1与CC1的中点，过直线EF的平面分别与BB1、DD1相交于点M、N．设BM=x，x∈[0．1]有以下命题：①平面MENF⊥平面BDD1B1：②当x=时，四边形MENF的面积最小；⑨四边形MENF的周长是单调函数；④四棱锥C1-MENF的体积V=g(x)为常函数．其中正确结论的序号是

（将正确结论的序号都填上）。

参考答案：①②④【知识点】命题的真假判断与应用；棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定①连结BD，B′D′，则由正方体的性质可知，EF⊥平面BDD′B′，所以平面MENF⊥平面BDD′B′，所以①正确．②连结MN，因为EF⊥平面BDD′B′，所以EF⊥MN，四边形MENF的对角线EF是固定的，所以要使面积最小，则只需MN的长度最小即可，此时当M为棱的中点时，即x=时，此时MN长度最小，对应四边形MENF的面积最小．所以②正确．③因为EF⊥MN，所以四边形MENF是菱形．当x∈[0，]时，EM的长度由大变小．当x∈[，1]时，EM的长度由小变大．所以函数L=f（x）不单调．所以③错误．④连结C′E，C′M，C′N，则四棱锥则分割为两个小三棱锥，它们以C′EF为底，以M，N分别为顶点的两个小棱锥．因为三角形C′EF的面积是个常数．M，N到平面C'EF的距离是个常数，所以四棱锥C'﹣MENF的体积V=h（x）为常函数，所以④正确．故答案为：①②④．【思路点拨】①利用面面垂直的判定定理去证明EF⊥平面BDD′B′．②四边形MENF的对角线EF是固定的，所以要使面积最小，则只需MN的长度最小即可．③判断周长的变化情况．④求出四棱锥的体积，进行判断．

14.棱长为4的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是

▲

.参考答案：3215.平行四边形中，为的中点．若在平行四边形内部随机取一点，则点取自△内部的概率为______．参考答案：,根据几何概型可知点取自△内部的概率为，其中为平行四边形底面的高。16.若执行如图3所示的框图，输入，则输出的数等于

参考答案：本题考查直到型循环结构，难度中等。运行程序可得，；；。17.已知关于x的不等式﹣＜lnx（a＞0且a≠1）对任意的x∈（1，100）恒成立，则实数a的取值范围为．参考答案：（0，1）∪（，+∞）【考点】函数恒成立问题．【分析】问题转化为＜lnx+，x∈（1，100），令h（x）=lnx+，x∈（1，100），求出h（x）的值域，从而求出a的范围即可．【解答】解：∵﹣＜lnx，∴＜lnx+，x∈（1，100），令h（x）=lnx+，x∈（1，100），则lnx＞0，故h（x）≥2=4，当且仅当lnx=2时“=”成立，而h（100）=2ln10+，而x→1时，lnx→0，h（x）→+∞，故h（x）∈[4，+∞），故＜4，0＜a＜1时，lna＜0，成立，a＞1时，lna＞0，只需lna＞，即a＞即可，综上：a∈（0，1）∪（，+∞），故答案为：（0，1）∪（，+∞）．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查不等式的性质，是一道中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分14分）．已知函数(为非零常数).（I）当时，求函数的最小值；

（II）若恒成立，求的值；（III）对于增区间内的三个实数(其中)，证明：参考答案：（I）由，得，

令，得.当，知在单调递减；当，知在单调递增；故的最小值为.

（II），当时，恒小于零，单调递减.当时，，不符合题意.

对于，由得当时，，∴在单调递减；当时，，∴在单调递增；于是的最小值为.

只需成立即可，构造函数.∵，∴在上单调递增，在上单调递减，则，仅当时取得最大值，故，即.

（III）解法：由已知得：，∴，先证，，.

设，∴在内是减函数，∴，即.

同理可证，∴.

（III）解法2：令得.下面证明.令，则恒成立，即为增函数，构造函数（），，，故时，，即得，同理可证.

即，因为增函数，得，即在区间上存在使；同理，在区间上存在使，由为增函数得.19.（2012?辽宁）选修4﹣4：坐标系与参数方程在直角坐标xOy中，圆C1：x2+y2=4，圆C2：（x﹣2）2+y2=4．（Ⅰ）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标（用极坐标表示）；（Ⅱ）求圆C1与C2的公共弦的参数方程．参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程；直线的参数方程．

【专题】计算题；压轴题．【分析】（I）利用，以及x2+y2=ρ2，直接写出圆C1，C2的极坐标方程，求出圆C1，C2的交点极坐标，然后求出直角坐标（用坐标表示）；（II）解法一：求出两个圆的直角坐标，直接写出圆C1与C2的公共弦的参数方程．解法二利用直角坐标与极坐标的关系求出，然后求出圆C1与C2的公共弦的参数方程．【解答】解：（I）由，x2+y2=ρ2，可知圆，的极坐标方程为ρ=2，圆，即的极坐标方程为ρ=4cosθ，解得：ρ=2，，故圆C1，C2的交点坐标（2，），（2，）．（II）解法一：由得圆C1，C2的交点的直角坐标（1，），（1，）．故圆C1，C2的公共弦的参数方程为（或圆C1，C2的公共弦的参数方程为）（解法二）将x=1代入得ρcosθ=1从而于是圆C1，C2的公共弦的参数方程为．【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程，直线的参数方程的求法，极坐标与直角坐标的互化，考查计算能力．20.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S6=S3+14，a6=10﹣a4，a4＞a3．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）数列{bn}中，bn=log2an，求数列{an?bn}的前n项和Tn．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）根据递推公式，即可求数列{an}的通项公式；（II）求得数列{bn}的通项，再利用错位相减法，即可求得数列{bn}的前n项的和Tn【解答】解：（Ⅰ）由已知a4+a5+a6=14，∴a5=4，又数列{an}成等比，设公比q，则+4q=10，∴q=2或（与a4＞a3矛盾，舍弃），∴q=2，an=4×2n﹣5=2n﹣3；（Ⅱ）bn=n﹣3，∴an?bn=（n﹣3）×2n﹣3，Tn=﹣2×2﹣2﹣1×2﹣1+0+…+（n﹣3）×2n﹣3，2Tn=﹣2×2﹣1﹣1×20+0+…+（n﹣3）×2n﹣2，相减得Tn=2×2﹣2﹣（2﹣1+20+…+2n﹣3）+（n﹣3）×2n﹣2=﹣（2n﹣2﹣）+（n﹣3）×2n﹣2=（n﹣4）×2n﹣2+1，21.设向量．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间[0，π]上的单调递减区间．参考答案：【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；9R：平面向量数量积的运算；H2：正弦函数的图象．【分析】（1）根据f（x）=，利用向量的坐标的乘积运算求解f（x）化简，即可求出最小正周期；（2）求出f（x）的单调递减区间．根据x∈[0，π]上求解交集可得答案．【解答】解：向量，（1）由题意可得：，故函数的最小正周期为．（2）由（1）知f（x）=sin（2x﹣），令，k∈Z．解得：，故函数的减区间为．∵x∈[0，π]，可得函数f（x）的减区间为．22.设函数f（x）=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）若对任意的x∈[0，3]，都有f（x）＜c2成立，求c的取值范围．参考答案：解：（Ⅰ）f'（x）=6x2+6ax+3b，因为函数f（x）在x=1及x=2取得极值，则有f'（1）=0，f'（2