2022-2023学年山西省大同市天镇县高级职业中学高一数学理期末试题含解析

2022-2023学年山西省大同市天镇县高级职业中学高一数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.（5分）化简=（） A． 1 B． 2 C． D． ﹣1参考答案：B考点： 二倍角的余弦；三角函数中的恒等变换应用．专题： 三角函数的求值．分析： 用倍角公式化简后，再用诱导公式即可化简求值．解答： ===2．故选：B．点评： 本题主要考察了二倍角的余弦公式的应用，三角函数中的恒等变换应用，属于基本知识的考查．2.学习“三角”时，小明同学在参考书上看到求sin18°精确值的一种方法，具体如下：设等腰△ABC的顶角∠A=36°．底角∠B的平分线交腰AC于D，且BC=1（如图），则AD=BD=1，于是，在△BCD中，可得CD=2sin18°．由△BAC∽△CBD得=，即=，整理得4sin218°+2sin18°﹣1=0，又sin18°（0，1），故解得sin18°=．现设α，β，α+β均属于区间（0，），若cos（﹣2β）?sin（2α+β）=cos（+2α）?sin（α+2β），则下列命题正确的是（）A．关于x的方程α?4x+β?2x+α=0有实数解B．关于x的方程α?（log4x）2+β?log4x﹣α=0无实数解C．关于x的方程sinx=有实数解D．关于x的方程cosx=无实数解参考答案：C3.已知三个平面α、β、γ，若β⊥γ，且α与γ相交但不垂直，a，b分别为α，β内的直线，则()A．?a?α，a⊥γ

B．?a?α，a∥γC．?b?β，b⊥γ

D．?b?β，b∥γ参考答案：B4.集合{1，2，3}的真子集共有（

）A5个

B6个

C7个

参考答案：C略5.设是连续的偶函数,且当时是单调函数,则满足的所有之和为(

)

A.

B.

C.

D.参考答案：C略6.若，则在：A、第一或第二象限

B、第一或第三象限

C、第一或第四象限D、第二或第四象限参考答案：B略7.若奇函数在上为增函数，且有最小值0，则它在上（

）

A、是减函数，有最大值0

B、是减函数，有最小值0

C、是增函数，有最大值0

D、是增函数，有最小值0参考答案：C略8.已知平面上有四点O，A，B，C，满足++=，?=?=?=﹣1，则△ABC的周长是（）A．3 B．6 C．3 D．9参考答案：C【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】先判断三角形为正三角形，再根据正弦定理，问题得以解决．【解答】解：平面上有四点O，A，B，C，满足++=，∴O是△ABC的重心，∵?=?，∴?（﹣）=?=0，即：⊥，同理可得：⊥，⊥，即O是垂心，故△ABC是正三角形，∵?=?=?=﹣1，令外接圆半径R，则：R2cos（∠AOB）=R2cos（）=﹣1即：R=即：==2R=2，即：a=，故周长：3a=3，故选：C9.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，，若，则（

）A.2 B.3 C.4 D.参考答案：B【分析】利用正弦定理化简，由此求得的值.利用三角形内角和定理和两角和与差的正弦公式化简，由此求得的值，进而求得的值.【详解】利用正弦定理化简得，所以为锐角，且.由于，所以由得，化简得.若，则，故.若，则，由余弦定理得，解得.综上所述，，故选B.【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查同角三角函数的基本关系式，考查三角形内角和定理，考查两角和与差的正弦公式，属于中档题.10.在△ABC中，一定成立的等式是()

A.

B.

C.

D.参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若不等式的解集为（1，2），则实数a的值是．参考答案：【考点】其他不等式的解法．【分析】由题意可得原不等式为（x﹣1）（x﹣）＜0，即可求出a的值．【解答】解：等价于﹣1＞0，等价于＞0，等价于（x﹣1）[（a﹣1）x+1]＞0，∵不等式的解集为（1，2），∴原不等式为（x﹣1）（x﹣）＜0，∴=2，解得a=，故答案为：12.已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的射影可能是：①两条平行直线；

②两条互相垂直的直线；③同一条直线；

④一条直线及其外一点.则在上面的结论中，正确结论的编号是参考答案：①②④略13.若函数f（x）=x2﹣2ax+b（a＞1）的定义域与值域都是[1，a]，则实数b=．参考答案：5略14.的值．参考答案：1【考点】三角函数的恒等变换及化简求值．【分析】将所求关系式中的切化弦，利用辅助角公式与诱导公式即可求得答案．【解答】解：∵sin50°（1+tan10°）=sin50°（）=sin50°?===1故答案为：1．15.已知向量，，若，则

；若，则m=

．参考答案：－4，1，，，，解得，

16.在正项等比数列中，，则_______。参考答案：

解析：17.已知条件，条件，则是的__________________条件（填“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分也不必要”中的一个）.参考答案：充分不必要三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知数列{an}是首项为2的等差数列，数列{bn}是公比为2的等比数列，且满足a2+b3=7，a4+b5=21．（1）求数列{an}与{bn}的通项；（2）令，求数列{cn}的前n项和Sn．参考答案：【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（1）由题意可知根据等差数列及等比数列的通项公式，列方程组，即可求得求得{an}的公差为d，数列{bn}的首项为b1，即可求得数列{an}与{bn}的通项；（2）由（1）求得数列{cn}的通项公式，利用“错位相减法”即可求得数列{cn}的前n项和Sn．【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的首项为b1，由，整理得：，解得：，an=a1+（n﹣1）d=n+1，bn=b1qn﹣1=2n﹣1，∴数列{an}的通项公式an=n+1，{bn}的通项公式bn=2n﹣1；（2）由（1）可知=，数列{cn}的前n项和Sn，Sn=++…+，①则Sn=++…++，②①﹣②整理得：Sn=2+（++…+）﹣，=3﹣，∴Sn=6﹣，数列{cn}的前n项和Sn，Sn=6﹣．19.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.（1）若M为BC边的中点，求证:;（2）若，求△ABC面积的最大值.参考答案：（1）详见解析；（2）1.【分析】（1）证法一：根据为边的中点，可以得到向量等式，平方，再结合余弦定理，可以证明出等式；证法二：分别在和中，利用余弦定理求出和的表达式，利用，可以证明出等式；（2）解法一：解法一：记面积为．由题意并结合（1）所证结论得：，利用已知，再结合基本不等式，最后求可求出面积的最大值；解法二：利用余弦定理把表示出来，结合重要不等式，再利用三角形面积公式可得，令设，利用辅助角公式，可以求出的最大值，即可求出面积的最大值.【详解】（1）证法一：由题意得

①

由余弦定理得

②将②代入①式并化简得，故；

证法二：在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，

∵，∴，则，故；（2）解法一：记面积为．由题意并结合（1）所证结论得：，又已知，则，即，当时，等号成立，故，即面积的最大值为1．解法二：设则由，故.【点睛】本题考查了余弦定理、三角形面积公式的应用，考查了重要不等式及基本不等式，考查了数学运算能力.20.求函数的定义域。参考答案：解析：由题意有

当时，；

当时，；

当时，

函数的定义域是

说明：可能会有部分同学认为不等式组（*）两者没有公共部分，所以定义域为空集，原因是没有正确理解弧度与实数的关系，总认为二者格格不入，事实上弧度也是实数。21.已知tan=3，求下列各式的值，，参考答案：解：(1)原式分子分母同除以得，原式=

……4分(2)原式的分子分母同除以得：原式=

……9分(3)用“1”的代换原式=

……14分

略22.已知△ABC中，．（1）求边BC的长；（2）若边AB的中点为D，求中线CD的长．参考答案：