2023-2024学年浙江省杭州市学军中学高一（下）期中数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年浙江省杭州市学军中学高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|x<5A.(−2,5) B.(42.若复数a+bi1+A.−52 B.−2 C.23.一个正四棱台形状的鱼塘，灌满水时，蓄水量为9100m3，若它的两底面边长分别为60m和50mA.2m B.2.5m C.3m4.如图，△A′B′C′为水平放置的△ABC的直观图，其中A.AC=BC B.AB=5.已知tanα=2，则A.15 B.13 C.356.函数f(x)=x+A. B.

C. D.7.正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AD，BC上，且DE=EA，CF=2FB，如果对于常数λ，在正方形ABCA.(−3,−14) B.8.在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，设△ABC的面积为SA.216 B.312 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列对应关系f，能构成从集合M到集合N的函数的是(

)A.M={12,1,32}，N={−6,−3,1}，f(1210.已知O为坐标原点，点P1(cosα,sinA.|OP1|=|OP211.已知函数f(x)=cos(ωxA.ω的值可能是3 B.f(x)的最小正周期可能是2π3

C.f(x)三、填空题：本题共3小题，每小题6分，共18分。12.在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2，则BC=13.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，则它的外接球的表面积为______；若E为B114.函数f(x)=|log5(1−x四、解答题：本题共5小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

求值：

(1)80.25×42+log510−16.(本小题13分)

在①2sin(A+π6)=a+cb，②(a+c−b)(a+c+b)=3ac17.(本小题15分)

2023年9月17日，联合国教科文组织第45届世界遗产大会通过决议，将中国“普洱景迈山古茶树文化景观”列入《世界遗产名录》，成为全球首个茶主题世界文化遗产.经验表明，某种普洱茶用95℃的水冲泡，等茶水温度降至60℃饮用，口感最佳.某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度y(单位：℃)与时间(单位：分钟时间/分钟012345水温/95.0088.0081.7076.0370.9366.33(1)给出下列三种函数模型：①y=at+b(a<0)，②y=a⋅bt+c(a>0,0<b<1)18.(本小题17分)

如图所示，△ABC为等边三角形，AB=43.I为△ABC的内心，点P在以I为圆心，1为半径的圆上运动．

(1)求出(PA19.(本小题17分)

已知函数f(x)和g(x)的定义域分别为D1和D2，若对任意x0∈D1，恰好存在n个不同的实数x1，x2，…，xn∈D2，使得g(xi)=f(x0)(其中i=1，2，…，n，n∈N*)，则称g(x)为f(x)的“n重覆盖函数”．

(1)判断g(x)答案和解析1.【答案】D

【解析】解：集合A={x|x<5}，B={x|3−x<1}=2.【答案】B

【解析】解：设a+bi1+2i=mi(m∈R,m≠0)，

则a3.【答案】C

【解析】解：设水深为hm，则13(602+602×502+5024.【答案】C

【解析】解：把直观图转化为原平面图形，如图所示：

取A′B′的中点D，连接C′D，

△A′B′C′中，A′B′=2，A′C′=B′C′=10，

所以C′D⊥A′B′，

所以C′D5.【答案】A

【解析】解：由于：tanα=2，

sin2α+c6.【答案】C

【解析】解：因为函数y=ln(x2+1+x)为奇函数，y=cosx为偶函数，

则y=ln(x2+1+x)cosx为奇函数，又y=x为奇函数，

故f(x)=x+ln(x2+17.【答案】C

【解析】解：以DC为x轴，以DA为y轴建立平面直角坐标系，如图，则E(0,3)，F(6,4)．

(1)若P在CD上，设P(x,0)，0≤x≤6.∴PE=(−x,3)，PF=(6−x,4)

∴PE⋅PF=x2−6x+12=(x−3)2+3，

∵x∈[0,6]，∴3≤PE⋅PF≤12．

∴当λ=3时有一解，当3<λ≤12时有两解．

(2)若P在AD上，设P(0,y)，

∵0<y≤6.∴PE=(0,3−y)，PF=(6,8.【答案】A

【解析】解：由题意可得S=12bcsinA，

Sa2+4bc=12bcsinAb2+c2−29.【答案】AB【解析】解：∵M={12,1,32}，N={−6,−3,1}，

f(12)=−6，f

(1)=−3，f(32)=1，

由定义知M中的任一个元素，N中都有唯一的元素和它相对应，

∴能构成从集合M到集合N的函数，故A正确；

对于B，M=N={x|x≥−1}，f(x)=2x+1，能构成从集合10.【答案】AC【解析】【分析】

本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查同角三角函数基本关系式及两角和的三角函数，是中档题．

由已知点的坐标分别求得对应向量的坐标，然后逐一验证四个选项得答案．

【解答】

解：∵P1(cosα,sinα)，P2(cosβ,−sinβ)，P3(cos(α+β),sin(α+β))，A(1,0)，

∴OP1=(cosα,sin11.【答案】AB【解析】解：因为函数f(x)=cos(ωx+π4)(ω>0)在区间[0,π]上有且仅有3个对称中心，

且当0≤x≤π时，π4≤ωx+π4≤πω+π4，

所以，5π2≤πω+π4<7π2，解得94≤ω<134，A对；12.【答案】7

3【解析】解：如图所示，

在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2，

由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2−2AB⋅AC⋅cosA

=9+4−2×3×2×113.【答案】12π

9【解析】解：①在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，则它的外接球半径为2R=22+22+22，解得R=3，所以外接球的表面积为S=4⋅π⋅(3)2=12π；

②如图所示：

过点E作EK//BD，连接DK，所以过B、D、E三点的平面截正方体14.【答案】(1【解析】【分析】本题考查了复合函数的零点问题，属于中档题．

令m=x+1x【解答】

解：令m=x+1x−2，由对勾函数的性质可知：

对于一个确定的m值，关于x的方程m=x+1x−2最多两个解，

画出m=x+1x−2的图象如下：

故m=x+1x−2值域为(−∞,−4]∪[0,+∞)，

作出函数f(x)的图象，如下：

令|log5(1−x)|=1，解得：x1=0.8，x2=−4，

令|log5(1−x)|=2，解得：x3=0.96，x4=−24，

令−(x−2)2+2=0，解得：x5=2+2，

当t<0时，存在唯一的m∈(2+2,+∞)，使得f(m)=t，此时方程m=x+1x−2有两解；

当t=0时，存在m1=0,m2=2+2使得f(m)=0，此时方程m=x+1x−2有三解，

其中m1=0时，有1个解即x=1,m2=2+215.【答案】解：(1)80.25×42+log510−1log25−2log23

=234×214+log510−【解析】(1)结合指数及对数的运算性质即可求解；

(2)利用乘16.【答案】解：(1)若选①：由2sin(A+π6)=a+cb及正弦定理得2sin(A+π6)=sinA+sinCsinB，

即3sinAsinB+cosAsinB=sinA+sinC．

又sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，

所以3sinAsinB=sinA+sinAcosB．

因为sinA>0，所以3si【解析】(1)若选①，利用两角和的正弦公式以及正弦定理化简得3sinB=1+cosB，进而得到B；若选②，化简得a2+c2−b2=ac，根据余弦定理，得到B17.【答案】解：(1)由表格数据可知，函数单调递减且递减速度逐渐变慢，

故模型①③不符合，选模型②y=a⋅bt+c(a>0,0<b<1)，

则a+c=95ab+c=88ab【解析】(1)由表格数据可知，函数单调递减且递减速度逐渐变慢，故模型①③不符合，选模型②，把前3组数据代入求出a，b，c的值，即可得到函数解析式；

(2)(i)利用指数函数的性质求解；

18.【答案】解：(1)如下图所示，以I为原点，IA为y轴建立平面直角坐标系，

根据正弦定理可以得到△ABC的外接圆半径为：R=12×43sin60°=4，所以求得A点坐标(0,4)，

于是得到B(−23,−2),C(23,−2)，

因为|PI|=1，所以点P在圆x2+y2=1上，

不妨设P(cosθ,sinθ)，

故PA=(−cosθ,4−sinθ),PB=(−2【解析】(1)以I为原点，IA为y轴建立平面直角坐标系，求出A，B，C的坐标，依题意设P(cosθ,sinθ)，求得PA,PB,PC19.【答案】解：(1)g(x)=x2−2x+1=(x−1)2，(x∈[0,4])，f(x)=x+4，x∈[0,5])，

由定义可得，对任意x0∈[0,5]，恰好存在不同的实数x1，x2，……，xn∈[0,4]，

使得g(x1)=f(x0)，其中(i=1,2,…,n,n∈N*)，

即