河海大学材料力学第五章弯曲应力

1、横力弯曲横力弯曲：如图如图AC段段和和BD段。段。纯弯曲纯弯曲：如图如图CD段。段。ABCDFaaFMFaFSFF画剪力图、弯矩图。画剪力图、弯矩图。一一几何方面几何方面y基本假设基本假设 1.1.平面假设：平面假设： 横截面变形后仍为横截面变形后仍为平面，与弯曲后的纵线平面，与弯曲后的纵线正交；正交；2.2.单向受力假设：单向受力假设：各纵向纤维之间无挤压。各纵向纤维之间无挤压。 MM中性层中性层中性轴中性轴5 -2 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力z1 2y中性层中性层1122ab1o2odo1o2abba1212o1o2ydddy)(yyz二二. .物理方面物理方面:EyEMyzOx

2、yzEIz:弯曲刚度弯曲刚度0AyEFCN三三. .静力学方面静力学方面: :0AyyzdAEMMIEMzZ zEIM1zIMy Iyz =0梁发生平面弯曲的条件梁发生平面弯曲的条件。yC= 0中性轴通过横截面的形心中性轴通过横截面的形心。ydAyzEyMyzOxz说明：说明：(2)(2)符号：符号： 由由M与与y的符号确定的符号确定的符号；的符号； 由弯曲变形确定。由弯曲变形确定。 线弹性，线弹性， 与材料无关。与材料无关。MMzIMy ydAyzzMyzOxMyzOx z轴为对称轴时：轴为对称轴时： z轴为非对称轴时轴为非对称轴时: :zWMcmaxtmax zIMyt1 max zIMy

3、c2 max 弯曲截面系数弯曲截面系数WZ=ymaxIzzWMzIyMmaxmax(3)(3) zIMy zEIM 1(4)(4)对纯弯曲梁对纯弯曲梁, ,在两个假设前提在两个假设前提下导出。下导出。ZEIxMx)()(1 zIyxM)( zWMmaxmax zIMy 对平面弯曲的各种截面梁，公式均成立。对平面弯曲的各种截面梁，公式均成立。( (5)5)关于中性轴的讨论。关于中性轴的讨论。例例1 ：一简支梁及其所受荷载如图所示。若分别采一简支梁及其所受荷载如图所示。若分别采用截面面积相同的矩形截面，圆形截面和工字形截用截面面积相同的矩形截面，圆形截面和工字形截面面, ,试求以三种截面的最大拉应

4、力。设矩形截面高试求以三种截面的最大拉应力。设矩形截面高为为140140mm,mm,宽为宽为100100mm,mm,面积为面积为1400014000mmmm2 2。 P20KNACB33+ 矩形截面矩形截面: :MPa8 .91WMzmaxmax 圆形截面：圆形截面：MPa4.128max 工字形截面：工字形截面：MPa414 .max 选用选用5050C C号工字钢号工字钢, ,截面面积为截面面积为139000139000mmmm2 2。例例2 2：一：一T T形截面外伸梁如图所示。试求最大拉应力及最形截面外伸梁如图所示。试求最大拉应力及最大压应力，并画出最大拉应力截面上的正应力分布图。大压

5、应力，并画出最大拉应力截面上的正应力分布图。q=20kN/mACB2m4m280y6022060zcyc=18022.51.5m40M图（图（kNm）zEIM 1zIMy 讨论讨论 ：一钢铝组合梁，处于纯弯曲状态，弯矩大一钢铝组合梁，处于纯弯曲状态，弯矩大小为小为M，截面形状、尺寸及组合如图所示。设该梁弯，截面形状、尺寸及组合如图所示。设该梁弯曲时平面假设仍成立，且钢铝之间粘合牢固，不会错曲时平面假设仍成立，且钢铝之间粘合牢固，不会错动。试作出横截面上动。试作出横截面上 分布图；给出分布图；给出 的计算公式。的计算公式。MMb5h/6h/6铝铝5-3 5-3 矩形截面梁的切应力矩形截面梁的切应

6、力1 1、两点假设、两点假设: : （1）切应力与横截面的侧边平行）切应力与横截面的侧边平行（2）切应力沿截面宽度均匀分布）切应力沿截面宽度均匀分布bhF2F1q(x)zyhbFSyx=0z=0FSFSmnnmMM+dMdxbhF2F1q(x)5-3 5-3 梁横截面上的切应力梁横截面上的切应力一、矩形截面梁：一、矩形截面梁： dxmnyzzIMy )d(yIMMzy 所求点距中性轴的距离。所求点距中性轴的距离。mn abFN1FN2dFy FSFSmnnmMM+dMdx bISFzzS*FS 横截面上剪力。横截面上剪力。Iz 整个横截面整个横截面对中性轴对中性轴z的惯性矩。的惯性矩。b横截面

7、宽度。横截面宽度。Sz*横截面上距中性轴横截面上距中性轴 y 处处 横线横线一侧一侧 截面截面 对中性轴的面积矩。对中性轴的面积矩。dxmnyzFN1FN2dFy u 切应力沿截面高度的分布切应力沿截面高度的分布223Sy4hbhF6max0,2hyAFbhFySS2323, 0maxhzby bISFzzS*FmmFmmbISFzzS*max44dA dFdddS6432842AFS34zmaxydA三、三、工字形截面梁工字形截面梁1 1、腹板、腹板FS 横截面上剪力。横截面上剪力。Iz 整个整个工字形截面对中性轴工字形截面对中性轴z的惯性矩。的惯性矩。d 腹板宽度。腹板宽度。Sz* 距距z

8、轴轴y处横线一侧处横线一侧 阴影部分截面对阴影部分截面对z的面积矩的面积矩。dISFzzS*dxbhdxbFN1FN2dFmax4442221212S)yhd()hhb(dIFzy zbhd h1y翼缘翼缘腹板腹板BAdxubuh（a）11（c）1N2NdFFF*z*Az*AzNSIMdAyIMdAF 1式中：式中：*z*Az*AzNSIdMMdAyIdMMdAF 2dxdF 1zzSISF*11其中其中 面积面积u 对中性轴对中性轴z的面积矩。的面积矩。*zS)h(uS*z 212 2、翼缘、翼缘F N1F N2dF1 1dxu（b）例：一例：一T T形截面外伸梁如图所示。试求最大拉应力及最

9、大形截面外伸梁如图所示。试求最大拉应力及最大压应力，并画出最大拉应力截面上的正应力分布图。压应力，并画出最大拉应力截面上的正应力分布图。q=20kN/mACB2m4m280y6022060zcyc=18022.51.5m40M图（图（kNm）280zy60220c60yc=180例：例：T形截面上的剪力形截面上的剪力FS=50kN，与与y轴重合，试轴重合，试画出腹板上的切应力分布图，并求出腹板上的最画出腹板上的切应力分布图，并求出腹板上的最大切应力。大切应力。4.34MPa4.13MPa纵向对称面纵向对称面轴线轴线yz一平面弯曲时外力作用的方向一平面弯曲时外力作用的方向zyCzIMy 设设 z

10、 为中性轴：为中性轴：又由又由dAFAN dAyIMAz AyIMcz 中性轴中性轴z通过截面形心通过截面形心0 可见：可见：非对称截面梁发生平面弯曲时，外非对称截面梁发生平面弯曲时，外力作用的平面必须平行于力作用的平面必须平行于形心主惯性平面形心主惯性平面。 AydAzM AzyzdAIMy、z轴为主轴轴为主轴（梁受到平行于（梁受到平行于y轴的外力作用）轴的外力作用）zyC= 0由由dAFAN AyIMcz 中性轴中性轴z通过截面形心通过截面形心0 yCF(a)11FSyC11(b)yzCFShbBFHFH(c)CFS(d)二开口薄壁截面的弯曲中心二开口薄壁截面的弯曲中心hFeFHSuFbH

11、d01其中uIhuFbzSd202zSIbhF42zIbhe422得yzCFShbBFHFH(c)CFS(d)弯曲中心弯曲中心：当梁在两个正交的当梁在两个正交的形心主惯性平面内分别产生平面弯形心主惯性平面内分别产生平面弯曲时，横截面上产生的相应两个剪曲时，横截面上产生的相应两个剪力作用线的力作用线的交点交点，称为，称为弯曲中心弯曲中心。eCFSFSA 当当外力的作用线平行于形心主轴并通过横截外力的作用线平行于形心主轴并通过横截面的弯曲中心时面的弯曲中心时，梁只产生平面弯曲。这是梁产，梁只产生平面弯曲。这是梁产生平面弯曲的一般条件。生平面弯曲的一般条件。弯曲中心的确定弯曲中心的确定：弯曲中心弯曲

12、中心位置与位置与剪力大小剪力大小无关，无关，仅与仅与截面形状尺寸截面形状尺寸有关，如图槽形有关，如图槽形截面弯曲中心位置：截面弯曲中心位置：zIbhe422 eCFSFSA一些常见开口薄壁截面一些常见开口薄壁截面弯曲中心位置弯曲中心位置的确定的原则：的确定的原则：1.1.具有两根对称轴的截面具有两根对称轴的截面, ,其其交点交点就是就是弯曲中心弯曲中心。zyCA（a a）2.2.具有一根对称轴的截面，具有一根对称轴的截面，弯曲中心弯曲中心必在必在对称轴对称轴上。上。3.3.如果截面由中心线相交一点的几个狭长矩形所组成，如果截面由中心线相交一点的几个狭长矩形所组成，此此交点交点就是就是弯曲中心弯曲中心。(b)yCAzdxzyCA(f)(c)CzyA(d)zyCA4.4.反对称截面，反对称截面，反对称轴交点反对称轴交点就是就是弯曲中心弯曲中心。y.zA