2020年中考数学复习(通用)专题：几何压轴题型含答案

2020年中考数学复习(通用)专题：几何压轴题型含答案

在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P是射线BD上的动点，以AP为边向右侧作等边三角形APE，点E的位置随着点P的变化而变化。(1)如图①，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，BP与CE的数量关系为BP＝CE，CE与AD垂直；(2)当点E在菱形ABCD外部时，结论仍成立，可以选择图②或图③进行证明；(3)如图④，当点P在线段BD的延长线上时，求四边形ADPE的面积，可以使用割补法，将其分成钝角三角形ADP和正三角形APE，分别求面积并相加即可。【分析】(1)通过连接AC，根据菱形和等边三角形的性质，可以证明△ABP≌△ACE，从而得到BP＝CE，且∠ACE＝30°，延长CE交AD于点F，可得到CE与AD垂直；(2)无论选择图②还是图③，思路和方法与(1)一致；(3)使用割补法，分别求钝角三角形ADP和正三角形APE的面积，相加即可得到四边形ADPE的面积。【自主解答】解：(1)BP＝CE；CE与AD垂直；(2)选择图②，仍然成立，证明如下：连接AC交BD于点O，设CE交AD于点H.在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，BA＝BC，∴△ABC为等边三角形，∴BA＝CA.因为△APE为等边三角形，所以AP＝AE，∠PAE＝∠BAC＝60°，∴∠BAP＝∠CAE.在△BAP和△CAE中，∴△BAP≌△CAE(SAS)，∴BP＝CE，∠ACE＝∠ABP＝30°.因为AC和BD为菱形的对角线，所以∠CAD＝60°，∴∠AHC＝90°，即CE与AD垂直；(3)连接AC交BD于点O，连接CE交AD于点H，由(2)可知，CE与AD垂直，CE＝BP.在菱形ABCD中，AD∥BC，∴EC⊥BC.因为BC＝AB＝23，BE＝219，所以在Rt△BCE中，CE＝（219）2－（23）2＝8，∴BP＝CE＝8.因为AC与BD是菱形的对角线，所以AC垂直于BD，∴∠ACB＝90°.因为APE为等边三角形，所以∠APE＝60°，∴∠BPC＝∠APE＋∠ACB＝150°.因为BP＝8，所以PC＝PB＝8.因为BE＝219，所以EC＝BE－BC＝196.因为AE＝AP＝23，所以△APE为边长为23的正三角形，所以AP＝PE＝23.因为AD＝BC＝23，所以△ADP为边长为23的等腰直角三角形，所以DP＝23.因为AP＝23，所以△APE的面积为23×23×√3÷4＝132.25.因为△ADP的面积为23×23÷2＝264.5，所以四边形ADPE的面积为132.25＋264.5＝396.75.已知等腰三角形ABC，CA=CB，∠ACB<90°，M在AC上，N在BC上，BN=AM，连接AN，BM。射线AG∥BC，延长BM交射线AG于点D，点E在直线AN上，且AE=DE。设∠ACB=α。(1)当∠ACB=90°时：①因为CA=CB，BN=AM，所以△ABN≌△ACM，∠ABN=∠ACM，∠BAN=∠CAM，又因为∠ACB=90°，所以∠BAN+∠CAM=90°，所以∠ABN=∠ACM=45°。又因为∠ACB=90°，所以∠AGB=90°，所以AD=BD，又因为AN平行BG，所以∠BAN=∠ABD，所以∠BAD=∠ABD，所以△ABD是等腰三角形，所以BD=AB=BC/2。因为AE=DE，所以∠AED=∠ADE，又因为∠ABN=∠ACM=45°，所以∠AED+∠ADE=90°，所以∠AED=45°。因为∠BDE=∠BAD+∠AED=45°+45°=90°，所以△BDE是直角三角形，所以∠BDE=90°。②因为∠BDE=90°，所以BD²+DE²=BE²，又因为BD=BC/2，DE=AE=AD-DE=AB-BD=BC/2，所以BE²=BC²/4+BC²/4=BC²/2，所以BE=BC/√2。因为∠BDE=90°，所以∠BDF=∠BDE-∠FDE=45°-∠FDE，又因为∠FDE=∠BAC，所以∠BDF=45°-∠BAC。因为∠BAC=90°-2∠ABC=90°-2∠BAC，所以3∠BAC=90°，所以∠BAC=30°，所以∠BDF=15°。所以∠BGF=∠BDF=15°，所以∠BGC=∠BGF+∠FGC=15°+75°=90°，所以△BGC是直角三角形，所以BG²+GC²=BC²，又因为BC=BE√2，所以BG²+(BE√2-BG)²=2BE²，所以BG=BE/2=BC/(2√2)。(2)当∠ACB=α时：因为BN=AM，所以△ABN≌△ACM，所以∠ABN=∠ACM，又因为∠BAN+∠CAM=180°-α，所以∠ABN=∠ACM=(180°-α)/2。又因为∠AGB=90°，所以AD=BD，所以∠BAN=∠ABD，所以∠BAD=∠ABD=(180°-α)/2，所以△ABD是等腰三角形，所以BD=AB=BC/2。因为AE=DE，所以∠AED=∠ADE，又因为∠ABN=∠ACM=(180°-α)/2，所以∠AED+∠ADE=180°-α，所以∠AED=(180°-2α)/2=90°-α。因为∠BDE=∠BAD+∠AED=(180°-α)/2+90°-α=135°-α/2，所以∠BDF=45°-∠BAC=45°-(90°-α)/2=(α-45°)/2。所以∠BGF=∠BDF=(α-45°)/2，所以∠BGC=90°，所以△BGC是直角三角形，所以BG²+GC²=BC²，又因为BC=BE√2，所以BG²+(BE√2-BG)²=2BE²，所以BG=BE/2=BC/(2√2)。(3)因为△ABC是等边三角形，所以BN=BC/3=11，所以AM=BN=11。因为AE=DE，所以∠AED=∠ADE，又因为∠ABN=∠ACM=60°，所以∠AED+∠ADE=120°，所以∠AED=∠ADE=60°，所以△AED是等边三角形，所以AE=DE=AD=11√3/3。因为∠BAC=60°，所以△ABC是等边三角形，所以BC=33。因为△AED是等边三角形，所以∠EAD=60°，所以∠BDC=60°，所以△BDC是等边三角形，所以BD=DC=BC/3=11。因为△BDC是等边三角形，所以BG=BD/2=11/2。因为FC=BC-BC/3=22，所以CF=FC-11=11。定义：在三角形ABC中，将AB绕点A顺时针旋转α度（0°＜α＜180°）得到AB′，将AC绕点A逆时针旋转β度得到AC′，连接B′C′。当α＋β＝180°时，称△AB′C′为△ABC的“旋补三角形”，△AB′C′边B′C′上的中线AD为△ABC的“旋补中线”，点A为“旋补中心”。特例感知：(1)在图中，当△ABC为等边三角形时，有AD＝0.5BC。当∠BAC＝90°，BC＝8时，有AD长为4。(2)在图中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给出证明。拓展应用：(3)在四边形ABCD中，∠C＝90°，∠D＝150°，BC＝12，CD＝23，DA＝6。是否存在点P在四边形内部，使△PDC为△PAB的“旋补三角形”？若存在，给出证明，并求△PAB的“旋补中线”长；若不存在，说明理由。解析：(1)①证明△ADB′为含有30°角的直角三角形，得到AD＝AB′＝0.5BC；②证明△BAC≌△B′AC′，得到AB＝AB′，AC＝AC′，进而得到AD＝0.5BC。(2)结论：AD＝BC。在图中，延长AD到点M，使得AD＝DM，连接B′M，C′M。先证明四边形AC′MB′是平行四边形，再证明△BAC≌△AB′M，即可解决问题。(3)存在。在图中，延长AD交BC的延长线于点M，作BE⊥AD于点E，作线段BC的垂直平分线交BE于点P，交BC于点F，连接PA，PD，PC，作△PCD的中线PN，连接DF交PC于点O。先证明PA＝PD，PB＝PC，再证明∠APD＋∠BPC＝180°即可。解决几何问题时，需要注意全等、相似、勾股定理及图形面积公式等的应用。同时，理解新定义的含义及实质也很重要。首先，我们可以引入准外心的概念。准外心是到三角形两个顶点距离相等的点。例如，如果PA=PB，则点P为△ABC的准外心。对于等边△ABC，准外心P在高CD上，且PD=AB，求2∠APB的度数；对于直角三角形△ABC，斜边BC=5，AB=3，准外心P在AC边上，求PA的长。其次，我们可以定义顶似线。如果在△ABC中，过顶点A作直线与对边BC相交于点D，两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形，且其中有一个图形与原三角形相似，则把这条线段叫做这个三角形的顶似线。对于等腰直角三角形，顶似线的条数为1；对于AB=AC，∠A=36°，BD是∠ABC的角平分线的△ABC，可以证明BD是顶似线；对于AB=4，AC=3，BC=6的△ABC，可以求出顶似线的长。此外，奇特三角形也是一个重要的概念。如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么称这个三角形为这条边上的奇特三角形，这条边称为奇特边。对于△ABC是奇特三角形，AC＞BC，且∠C＝90°，可以确定奇特边为AC，求出a∶b∶c的比例；对于△ABC是BC边上的奇特三角形，AM是中线，可以找出BC2与AB2＋AC2之间的关系；对于四边形ABCD中，∠B＝90°(AB＜BC)，BC＝27，对角线AC把它分成了两个奇特三角形，且△ACD是以AC为腰的等腰三角形，可以求出等腰△ACD的底边长。最后，准互余三角形也需要注意。如果三角形的两个内角α与β满足2α＋β＝90°，那么称这样的三角形为准互余三角形。对于△ABC是准互余三角形，∠C＞90°，∠A＝60°，可以求出∠B的度数；对于Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝5，AD是∠BAC的平分线，可以证明△ABD是准互余三角形。但是，在边BC上不存在点E，使得△ABE也是准互余三角形。【分析】本文包含三个问题，分别为图形旋转、三角形面积和四边形长度求解。需要按照问题顺序进行解答。【操作发现】在小正方形组成的网格中，按要求画出△ABC绕点A旋转90°后的图形，并连接BB'。【解法提示】根据旋转规律，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°后，点B对应的点为B'，点C对应的点为C'。连接BB'，并根据直角三角形的性质得出∠AB'B为45°。【问题解决】在等边三角形ABC中，已知AC的长度为7，且∠APC为直角，∠BPC为120°。求△APC的面积。【解法提示】根据题意，可以将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到△AP'B。连接PP'，并寻找PA、PB、PC三条线段之间的数量关系。根据等边三角形的性质，得到AP为PC的3/2。根据勾股定理，得到BP的长度为√19。最后，根据△APC的面积公式，得到其面积为21/4。【操作发现】在四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，且∠BAE＝∠ADC，BE＝CE＝2，CD＝5，AD＝kAB(k为常数)。求BD的长度，用含k的式子表示。【解法提示】根据题意，可以先将点B、C的对应点B'、C'找出来，连接B'C'得到△AB'C'。然后，将△ABD绕点A旋转得到△ACG，并证明∠CDG为90°。通过解方程，可以得到BD的长度为2k+5。最后，需要注意文章中的标点符号和段落结构，使其更加清晰易懂。1．在四边形ABCD中，点E为AB边上的一点，点F为对角线BD上的一点，且EF⊥AB.(1)若四边形ABCD为正方形．①根据正方形的性质，AE＝DF．②将△EBF绕点B逆时针旋转到图②所示的位置，连接AE，DF，根据旋转的性质，AE＝DF．因为△EBF与△EAF全等，所以AE＝EF＝DF．(2)若四边形ABCD为矩形，BC＝mAB，其他条件都不变．①如图③，根据矩形的性质，AE＝DF＝AB×BC/(AB2＋BC2)．因为AB＝EF，所以AE＝EF×BC/(AB2＋BC2)．②根据旋转的性质，AE＝DF．因为△EBF与△EAF全等，所以AE＝EF＝DF．∴△AEF≌△DEF.∴AG＝DG＝6，FG＝EF＝AF√2＝3√2，∠GAF＝45°，∴△GAF为45-45-90直角三角形，GF＝AF＝3.(3)如解图②，∠ACB＝90°，∴CE＝AC＝6，∠EAC＝∠BCE＝45°，∴△ACE为45-45-90直角三角形，AE＝CE√2＝6√2.∴AG＝DG＝6，GF＝AF＝3√2，∠GAF＝45°，∴△GAF为45-45-90直角三角形，GF＝AF＝3√2.又∵BH⊥AC，BH＝AM，∴AH＝2AM＝12，∠BAH＝90°，∴AB2＝AH2＋BH2＝144+36＝180，∴AB＝6√5.∴DH＝AB－AD－BH＝6√5－6－12＝6(√5－2).第3题解图①类型二1．解：如解图，当D与M重合时，∵AM是△ABC的中线，∴AD＝DM，∠ADE＝∠MDE，∴△ADE≌△MDE，∴AE＝ME，∴ABDE为平行四边形.当D不与M重合时，如解图，∵AM是△ABC的中线，∴AD＝DM，∠ADE＝∠MDE，∴△ADE≌△MDE，∴AE＝ME，∴ABDE为梯形，不是平行四边形.第1题解图2．解：如解图，∵BH⊥AC，AH＝2AM，∴AH＝8，∠BAH＝90°，∴AB2＝AH2＋BH2＝64+16＝80，∴AB＝4√5.又∵FH＝3，DM＝4，∴F