2022-2023学年西藏林芝地区第二中学高一数学第二学期期末达标测试试题含解析

2022-2023学年高一下数学期末模拟试卷请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，事件“至少1名女生”与事件“全是男生”（）A．是互斥事件，不是对立事件B．是对立事件，不是互斥事件C．既是互斥事件，也是对立事件D．既不是互斥事件也不是对立事件2．是边AB上的中点，记，，则向量()A． B．C． D．3．已知满足，则（）A．1 B．3 C．5 D．74．已知内角的对边分别为，满足且，则△ABC（）A．一定是等腰非等边三角形 B．一定是等边三角形C．一定是直角三角形 D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形5．在中，已知，.若最长边为，则最短边长为（）A． B． C． D．6．已知扇形的半径为，面积为，则这个扇形圆心角的弧度数为（）A． B． C．2 D．47．已知数列的前项和为，满足，则通项公式等于()．A． B． C． D．8．已知函数在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值为2，则的取值范围是（）A． B． C． D．9．设，满足约束条件，则目标函数的最小值为（）A． B． C． D．10．关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是（）A． B．C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知是以为首项，为公差的等差数列，是其前项和，则数列的最小项为第___项12．函数的单调递增区间为______.13．把数列的各项排成如图所示三角形状，记表示第m行、第n个数的位置，则在图中的位置可记为____________．14．已知向量满足，则15．设等比数列的首项为，公比为，所有项和为1，则首项的取值范围是____________.16．函数的最大值是__________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知向量.（1）求的值；（2）若，且，求.18．已知圆，直线.圆与轴交于两点，是圆上不同于的一动点，所在直线分别与交于.（1）当时，求以为直径的圆的方程；（2）证明：以为直径的圆截轴所得弦长为定值.19．已知函数为奇函数.（1）求实数的值并证明函数的单调性；（2）解关于不等式:.20．在锐角中，角所对的边分别为，已知，，．（1）求角的大小；（2）求的面积．21．如图，在四棱锥P～ABCD中，底面ABCD为矩形，E，F分别为AD，PB的中点，PE⊥平面ABCD，AP⊥DP，AP＝DP．（1）求证：EF∥平面PCD；（2）设G为AB中点，求证：平面EFG⊥平面PCD．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】至少1名女生的对立事件就是全是男生.因此事件“至少1名女生”与事件“全是男生”既是互斥事件，也是对立事件2、C【解析】由题意得，∴．选C．3、B【解析】

已知两个边和一个角，由余弦定理，可得。【详解】由题得，，，代入，化简得，解得（舍）或.故选：B【点睛】本题考查用余弦定理求三角形的边，是基础题。4、B【解析】

根据正弦定理可得和，然后对进行分类讨论，结合三角形的性质，即可得到结果.【详解】在中，因为，所以，又，所以，又当时，因为，所以时等边三角形；当时，因为，所以不存在，综上：一定是等边三角形.故选:B.【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，解题过程中注意两解得情况，一般需要检验，本题属于基础题.5、A【解析】试题分析：由，，解得，同理，由，，解得，在三角形中，，由此可得，为最长边，为最短边，由正弦定理：，解得.考点：正弦定理.6、D【解析】

利用扇形面积，结合题中数据，建立关于圆心角的弧度数的方程，即可解得.【详解】解：设扇形圆心角的弧度数为，因为扇形所在圆的半径为，且该扇形的面积为，则扇形的面积为，解得：.故选：D.【点睛】本题在已知扇形面积和半径的情况下，求扇形圆心角的弧度数，着重考查了弧度制的定义和扇形面积公式等知识，属于基础题.7、C【解析】

代入求得；根据可证得数列为等比数列，从而利用等比数列通项公式求得结果.【详解】当时，当且时，则，即数列是以为首项，为公比的等比数列本题正确选项：【点睛】本题考查数列通项公式的求解，关键是能够利用得到数列为等比数列，属于常规题型.8、D【解析】

化简函数为正弦型函数，根据题意，利用正弦函数的图象与性质求得的取值范围.【详解】解：函数则函数在上是含原点的递增区间；又因为函数在区间上是单调递增，则，得不等式组又因为，所以解得.又因为函数在区间上恰好取得一次最大值为2，可得，所以，综上所述，可得.故选：D.【点睛】本题主要考查了正弦函数的图像和性质应用问题，也考查了三角函数的灵活应用，属于中档题.9、A【解析】如图，过时，取最小值，为。故选A。10、D【解析】

由不等式与方程的关系可得且，则等价于，再结合二次不等式的解法求解即可.【详解】解：由关于x的不等式的解集是，由不等式与方程的关系可得且，则等价于等价于，解得，即关于x的不等式的解集是，故选：D.【点睛】本题考查了不等式与方程的关系，重点考查了二次不等式的解法，属基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

先求，利用二次函数性质求最值即可【详解】由题当时最小故答案为8【点睛】本题考查等差数列的求和公式，考查二次函数求最值，是基础题12、【解析】

令，解得的范围即为所求的单调区间.【详解】令，，解得：，的单调递增区间为故答案为：【点睛】本题考查正弦型函数单调区间的求解问题，关键是能够采用整体对应的方式，结合正弦函数的单调区间来进行求解.13、【解析】

利用第m行共有个数，前m行共有个数，得的位置即可求解【详解】因为第m行共有个数，前m行共有个数，所以应该在第11行倒数第二个数，所以的位置为.故答案为：【点睛】本题考查等差数列的通项和求和公式，发现每行个数成等差是关键，是基础题14、【解析】试题分析：=,又，，代入可得8，所以考点：向量的数量积运算.15、【解析】

由题意可得得且，可得首项的取值范围.【详解】解：由题意得：，，故答案为：.【点睛】本题主要考查等比数列前n项的和、数列极限的运算，属于中档题.16、【解析】分析：利用两角和正弦公式简化为y=，从而得到函数的最大值.详解：y=sinx+cosx==．∴函数的最大值是故答案为点睛：本题考查了两角和正弦公式，考查了正弦函数的图象与性质，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】

（1）对等式进行平方运算，根据平面向量的模和数量积的坐标表示公式，结合两角差的余弦公式直接求解即可；（2）由（1）可以结合同角的三角函数关系式求出的值，再由同角三角函数关系式结合的值求出的值，最后利用两角和的正弦公式求出的值即可.【详解】（1）；（2）因为，所以，而，所以，因为，，所以.因此有.【点睛】本题考查了已知平面向量的模求参数问题，考查了平面向量数量积的坐标表示公式，考查了两角差的余弦公式，考查了两角和的正弦公式，考查了同角的三角函数关系式的应用，考查了数学运算能力.18、（1）；（2）证明见解析.【解析】

（1）讨论点的位置，根据直线的方程，直线的方程分别与直线方程联立，得出的坐标，进而得出圆心坐标以及半径，即可得出该圆的方程；（2）讨论点的位置，根据直角三角形的边角关系得出的坐标，进而得出圆心坐标以及半径，再由圆的弦长公式化简即可证明.【详解】（1）由圆的方程可知，①当点在第一象限时，如下图所示当时，，所以直线的方程为由，解得直线的方程为由，解得则的中点坐标为，所以以为直径的圆的方程为②当点在第四象限时，如下图所示当时，，所以直线的方程为由，解得直线的方程为由，解得则的中点坐标为，所以以为直径的圆的方程为综上，以为直径的圆的方程为（2）①当点在圆上半圆运动时，取直线交轴于点，如下图所示设，则则以为直径的圆的圆心坐标为，半径所以以为直径的圆截轴所得弦长为②当点在圆下半圆运动时，取直线交轴于点，如下图所示设，则则以为直径的圆的圆心坐标为，半径所以以为直径的圆截轴所得弦长为综上，以为直径的圆截轴所得弦长为定值.【点睛】本题主要考查了求圆的方程以及圆的弦长公式的应用，属于中档题.19、（1）2，证明见解析（2）【解析】

（1）由函数为奇函数，得，化简得，所以，.再转化函数为，由定义法证明单调性.（2）将可化为，构造函数，再由在上是单调递增函数求解.【详解】（1）根据题意，因为函数为奇函数，所以，即，即，即，化简得，所以.所以，证明：任取且，则因为，所以，，，，所以∴，所以在上单调递增；（2）可化为，设函数，由(1)可知，在上也是单调递增，所以，即，解得.【点睛】本题主要考查了函数的单调性和奇偶性的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.20、（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）先由正弦定理求得与的关系，然后结合已知等式求得的值，从而求得的值；（2）先由余弦定理求得的值，从而由的范围取舍的值，进而由面积公式求解．试题解析：（1）在中，由正弦定理，得，即.又因为，所以.因为为锐角三角形，所以.（2）在中，由余弦定理，得，即.解得或.当时，因为，所以角为钝角，不符合题意，舍去.当时，因为，又，所以为锐角三角形，符合题意.所以的面积.考点：1、正余弦定理；2、三角形面积公式．21、(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】

（1）取的中点，连接，通过证明四边形为平行四边形，证得，由此证得平面.（2）通过证明，证得平面，由此证得平面，从而证得平面平面.【详解】（1）证明：取PC的中点H，连接F