微点5 阿波罗尼斯球（学生版）

专题1阿波罗尼斯及其应用微点5阿波罗尼斯球专题1阿波罗尼斯圆及其应用微点5阿波罗尼斯球【微点综述】对于立体几何某些涉及距离比值的动点轨迹问题，可转化为在某个平面内的距离关系，从而借助阿波罗尼斯球和阿波罗尼斯圆的定义及相关知识解决问题.对于这类问题也可.以利用空间坐标计算求解轨迹问题.【典例刨析】例1.（2022贵州贵阳・模拟）.在平面内，已知动点尸与两定点A,8的距离之比为2（2>0,4。1）,那么点P的轨迹是圆，此圆称为阿波罗尼斯圆.在空间中，也可得到类似结论.如图，三棱柱ABC-A由G中，平面ABC,AB=BC=2,BB,=&r,ZA5C=90。，点M为A3的中点，点尸在三棱柱内部或表面上运动，月」刑=因正根，动点V尸形成的曲面将三棱柱分成两个部分，体积分别为匕，匕（匕<%），则/=（）.如图，在长方体ABC。—A4GR中，A3=2AO=2A41=6,点£在棱A8上，BE=2AE,动点P满足BP=^3PE.若点尸在平面ABC。内运动，则点P所形成的阿氏圆的半径为；若点P在长方体A8CD-A3CR内部运动，尸为棱CQ的中点，”为CP的中点，则三棱锥4C尸的体积的最小值为DiFDiF.已知正方体MCD-A4G。的棱长为4,点P在平面ABC。内，且B4=3P3,则点尸的轨迹的长度为.古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点A、3距离之比2（%>0,4wl）是常数的点的轨迹是一个圆心在直线A3上的圆，该圆简称为阿氏圆.根据以上信息，解决下面的问题：在棱长为2的正方体ABCO-AMG。中，点P是正方体的表面包括边界）上的动点，若动点夕满足Q4=2PD,则点P所形成的阿氏圆的半径为;若£是CD的中点，且满足NAP8=NEP。，则三棱锥P-AC。体积的最大值是阿波罗尼奥斯例5.（2022.湖南怀化.高二期末）.古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点A,B的距离之比为常数/L（4>0,4wl）的点的轨迹是一个圆心在直线A8上的圆.该圆被称为阿氏圆，如图，在长方体ABC。-AAGR中，AB=2AD=2AA]=6,点石在棱A3上，BE=2AE,动点P满足3P=V^PE,若点P在平面ABC。内运动，则点P对应的轨迹的面积是 ;尸为G，的中点，则三棱锥P-A”体积的最小值为答案第2页，共4页DiDi.棱长为36的正四面体ABC。的外接球与内切球的半径之和为,内切球球面上有一动点则+ 的最小值为.【针对训练】.如图，A3是平面。的斜线段，A为斜足，点。满足sin/C43=/lsin/CBA（/l>0）,且在平面。内运动,A.当4=1时，点。的轨迹是抛物线.当2=1时，点C的轨迹是一条直线C.当4=2时，点。的轨迹是椭圆D.当2=2时，点。的轨迹是双曲线抛物线.如图，已知平面aJ>尸，a〃=/,A、5是直线/上的两点，C、。是平面夕内的两点，且CB±Z,AD=3,AB=6,C3=6.P是平面。上的一动点，且直线尸。PC与平面。所成角相等，则二面角。-的余弦值的最小值是（）C.D.1C.（2022・山西太原•二模（理））.已知点〃是棱长为3的正方体A4G2的内切球。球面上的动点，点N为线段8c上一点,NC\=2B、N,DMLBN,则动点“运动路线的长度为（）55n35/15^55JLz• 10（2022天津西青区杨柳青一中高二期中）.古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点A,3距离之比九（4＞。,2。1）是常数的点的轨迹是一个圆心在直线A8上的圆，该圆简称为阿氏圆.根据以上信息，解决下面的问题：在棱长为2的正方体中，点尸是正方体的表面（包括边界）上的动点，若动点P满足B4=2PD,则点P所形成的阿氏圆的半径为;若E是C。的中点，且正方体的表面ADAA（包括边界）上的动点阿法罗尼斯产满足条件ZAPB=/EPD,则三棱锥F-ACD体积的最大值是 .阿法罗尼斯.已知正方体ABC。-A4CQ的棱长为1，点。为侧面叫GC内的动点，且P4=2P3,则点P所形成的轨迹图形长度为.（2022江西上饶,二模（理））.点M为正方体— 的内切球。球面上的动点，点N为8c上一点，2NB、=NC\,DM上