高考数学专题复习圆锥曲线中的斜率问题试题及解析

圆锥曲线中的斜率问题一、考情分析斜率问题也是高考圆锥曲线考查的热点,主要有以下类型：利用斜率求解三点共线问题；与斜率之和或斜率之积为定值有关的问题；与斜率有关的定值问题；与斜率有关的范围问题.二、解题秘籍(一)利用斜率求解三点共线问题=k.利用斜率判断或证明点A,B,C共线,通常是利用kABACy2届广东省部分学校高三上学期联考)设直线x=m与双曲线C：x2-=m(m>0)的两条渐近【例1】(20233线分别交于A,B两点,且三角形OAB的面积为3.(1)求m的值；(2)已知直线l与x轴不垂直且斜率不为0,l与C交于两个不同的点M,N,M关于x轴的对称点为M,F为C的右焦点,若M,F,N三点共线,证明：直线l经过x轴上的一个定点.y2x届北京市一六一中学高三上学期期中)已知椭圆W:432+=1的左､右顶点分别为A,B,右焦【例2】(2022:x=4.点为F,直线l1(1)若椭圆W的左顶点A关于直线x+my-4=0的对称点在直线l上,求m的值；1(2)过F的直线l与椭圆W相交于不同的两点C,D(不与点A,B重合),直线CB与直线l相交于点M,求21证：A,D,M三点共线.

(二)根据两直线斜率之和为定值研究圆锥曲线性质y2x21.设点Pm,n是椭圆C:+=1(a>b>0)上一定点,点A,B是椭圆C上不同于P的两点,若k+a2b2PAbm22nλ22bmn≠0,若λ≠0,则直线AB过定点m-,-n-,aλk=λ,则λ=0时直线AB斜率为定值PBan22y2x22.设点Pm,n是双曲线C:-=1(a>0,b>0)一定点,点A,B是双曲线C上不同于P的两点,若a2b2bman22n≠0,若λ≠0,则直线AB过定点k+k=λ,则λ=0时直线AB斜率为定值-PAPB2nλ22bmm-,-n+；aλ223.设点Pm,n是抛物线C：y=2pxp>0一定点,点A,B是抛物线C上不同于P的两点,若k+kPAPBp2p=λ,则λ=0时直线AB斜率为定值-nn≠0,若λ≠0,则直线AB过定点m-,-n+；λ2nλ【例3】(2023届山西省山西大附属中学高三上学期诊断)若点P在直线y=t上,证明直线PA,PB关于y=t+k=0.对称,或证明直线y=t平分∠APB,可证明kPAPBy2x已知椭圆C：a2+=1a>b>0的左、右焦点分别为F,F,点M0,2是椭圆C的一个顶点,△FMF2b21212是等腰直角三角形．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点M分别作直线MA,MB交椭圆于A,B两点,设两直线MA,MB的斜率分别为k,k,且k+k=11228,证明：直线AB过定点．

y2x届江苏省南通市如皋市高三上学期教学质量调研)已知点A(2,1)在双曲线C:a22-=1(a2a-1【例4】(2023>1)上,直线l交C于P，Q两点,直线AP，AQ的斜率之和为0.(1)求l的斜率;(2)若tan∠PAQ=22,求△PAQ的面积.【例5】(2022届广东省深圳市高三上学期月考)已知抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,其中P为E的准线⋅OP=-.94上一点,O是坐标原点,且OF(1)求抛物线E的方程；(2)过Q1,0的动直线与E交于C,D两点,问：在x轴上是否存在定点Mt,0t≠0,使得x轴平分∠CMD?若存在,求出点M的坐标；若不存在,请说明理由.

(三)根据两直线斜率之积为定值研究圆锥曲线性质y2x21.若点A,B是椭圆C：+=1a>b>0上关于原点对称的两点,点P是椭圆C上与A,B不重合的a2b2y2b2x2-=1a>0,b>0上关于原点对称的两点,点P是；若点A,B是双曲线C：⋅k=-点,则kPAa2a2b2PBb2⋅k=.双曲线C上与A,B不重合的点,则kPAa2PB2.若圆锥曲线上任意一点P作两条直线与该圆锥曲线分别交于点A,B,若k⋅k为定值,则直线AB过定PAPB点.y2x届黑龙江省大庆高三上学期期中)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:432+=1的左、右【例6】(2022顶点和右焦点分别为A、B和F,直线l:x=my+t与椭圆C交于不同的两点M、N,记直线AM、BM,BN的斜率分别为k.、k、k312(1)求证：kk为定值；12(2)若k=3k,求△FMN的周长.13

y2x届湖南省永州市高三上学期第一次适应性考试)点P(4,3)在双曲线C:a22-=1(a>0,b>0)b2【例7】(20237上,离心率e=2.(1)求双曲线C的方程；32(2)A,B是双曲线C上的两个动点(异于点P),k,k分别表示直线PA,PB的斜率,满足kk=,求证：直1212线AB恒过一个定点,并求出该定点的坐标.(四)判断或证明与斜率有关的定值与范围问题1.判断或证明与斜率有关的定值问题,通常是把与斜率有关的式子用某些量来表示,然后通过化简或赋值得到定值.2.求斜率有关的范围问题,通常是把与斜率有关的式子用其他量来表示,转化为求函数值域问题,或由已知条件整理出关于斜率的不等式,通过解不等式求范围.

y2x2+=1(a>b>0)的左右焦点分别b2【例8】(2022届山东省学情高三上学期12月质量检测)已知椭圆C:a232.(-1，0),F(1，0).过F为F1=与x轴垂直的直线与椭圆C交于点D,点D在x轴上方,且DF1222(1)求椭圆C的方程；(2)过点F的直线l与椭圆C交于A,B两点,是否存在一定点M使得k+k为定值,若存在,求出点MMB2MA的坐标,若不存在,请说明理由.=16的圆心为A,点P是圆A上的动点,【例9】(2022届广东省高三上学期12月大联考)已知圆(x+1)2+y2点B是抛物线y2=4x的焦点,点G在线段AP上,且满足GP=GB.(1)求点G的轨迹E的方程；2(2)不过原点的直线l与(1)中轨迹E交于M,N两点,若线段MN的中点Q在抛物线y=4x上,求直线l的斜率k的取值范围.

三、跟踪检测y23x2+=1(a>b>0)上,在椭圆C：1.(2023届山西省长治市高三上学期9月质量检测)已知点P1,2a2b213．2且点P到椭圆右顶点M的距离为(1)求椭圆C的方程；(2)若点A,B是椭圆C上不同的两点(均异于M)且满足直线MA与MB斜率之积为14．试判断直线AB是否过定点,若是,求出定点坐标,若不是,说明理由．2.(2023届重庆市第八中学校高三上学期月考)已知椭圆C的中心为坐标原点,对称轴为x轴,y轴,且过A3两点.(-2,0),B1,2(1)求椭圆C的方程；(2)F为椭圆C的右焦点,直线l交椭圆C于P,Q(不与点A重合)两点,记直线AP,AQ,l的斜率分别为k,13k,k,若k+k=-,证明：△FPQ的周长为定值,并求出定值.k212

y2届重庆市南开中学校高三上学期9月月考)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为2,上x22ab3.(202322顶点为D,斜率为k的直线l与椭圆C交于不同的两点A,B,M为线段AB的中点,当点M的坐标为(2,1)时,直线l恰好经过D点.(1)求椭圆C的方程：(2)当l不过点D时,若直线DM与直线l的斜率互为相反数,求k的取值范围.y2x2届江苏省南通市高三上学期第一次质量监测)已知A,A分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的ab4.(202322A,AB∥OP,FA=2-2.左､右顶点,B,F分别是C的上顶点和左焦点.点P在C上,满足PF⊥A(1)求C的方程；(2)过点F作直线l(与x轴不重合)交C于M,N两点,设直线AM,AN的斜率分别为k,k,求证：kk为1212定值.

y22x1届重庆市第一中学校高三上学期9月月考)已知椭圆C:+=1(a>b>0)经过点3,,其2ab5.(202322右焦点为F3,0.(1)求椭圆C的离心率；(2)若点P,Q在椭圆C上,右顶点为A,且满足直线AP与AQ的斜率之积为1.求△APQ面积的最大20值.6.(2023届湖南省长沙市雅礼中学高三上学期月考)已知双曲线C:x-y=1和点B0,1.22(1)斜率为k且过原点的直线与双曲线C交于E,F两点,求∠EBF最小时k的值.(2)过点B的动直线与双曲线C交于P,Q两点,若曲线C上存在定点A,使k+k为定值λ,求点A的APAQ坐标及实数λ的值.

y27.(2023届河北省邢台市名校联盟高三上学期考试)已知A、A为椭圆C：x2+=1的左右顶点,直线x312=x与C交于A、B两点,直线A0(1)求点P的轨迹方程.A和直线AB交于点P.211,求证以MN为直(2)直线l与点P的轨迹交于M、N两点,直线NA1的斜率与直线MA斜率之比为-32径的圆一定过C的左顶点.y2x2届安徽省皖南八校高三上学期考试)已知椭圆M:+=1(a>b>0)的左､右焦点为F,F,且ab128.(202322π的最大值为2PF.左焦点坐标为-2,0,P为椭圆上的一个动点,∠F12(1)求椭圆M的标准方程；(2)若过点-2,-4的直线l与椭圆M交于A,B两点,点N2,0,记直线NA的斜率为k,直线NB的斜11kk121,证明：+=1.率为k2

y2x2届河北省石家庄高三上学期11月月考)已知椭圆Γ:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F,ab19.(202222F,椭圆Γ的离心率为2,椭圆Γ上的一点P满足PF⊥x轴,且PF=1．2222(1)求椭圆Γ的标准方程；(2)已知点A为椭圆Γ的左顶点,若点B,C为椭圆Γ上异于点A的动点,设直线AB,AC的斜率分别为k⋅k,且k⋅k=1,过原点O作直线BC的垂线,垂足为点D,问：是否存在定点E,使得线段DE的ABACABAC长为定值？若存在,求出定点E的坐标及线段DE的长；若不存在,请说明理由．y2x210.(2022届八省八校(T8联考)高三上学期联考)设椭圆E:+=1(a>b>0),圆C:(x-2m)+(y-2ab=1(m≠0),点F,F,分别为E的左右焦点,点C为圆心,O为原点,线段OC的垂直平分线为l．已224m)2121知E的离心率为2,点F,F关于直线l的对称点都在圆C上．12(1)求椭圆E的方程；(2)设直线l与椭圆E相交于A,B两点,问：是否存在实数m,使直线AC与BC的斜率之和为2若存3在,求实数m的值；若不存在,说明理由．

y2x2届上海市嘉定区高三一模)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆Γ：+=1a>b>0的左、ab11.(2022225,过点F的直线l与椭圆Γ交于P、Q两点右顶点分别为A、B,右焦点为F,且椭圆Γ过点0,5、2,3(点P在x轴的上方).(1)求椭圆Γ的标准方程；(2)若PF+2QF=0,求点P的坐标；(3)设直线AP、BQ的斜率分别为k,是否存在常数λ,使得k+λk=0?若存在,请求出λ的值；若不、k1212存在,请说明理由.y2x2届海南省海口市高三上学期考试)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的虚轴长为4,直线2x-ab12.(202222y=0为双曲线C的一条渐近线．(1)求双曲线C的标准方程；(2)记双曲线C的左、右顶点分别为A,B,过点T(2,0)的直线l交双曲线C于点M,N(点M在第一象限),k,直线NB斜率为k,求证：记直线MA斜率为k11k2为定值．2

y2x213.(2023届江苏省南京市六校联合体高三上学期调研)已知椭圆C:+=1的上下顶点分别为A，B,过54点P0，3且斜率为k(k<0)的直线与椭圆C自上而下交于M，N两点,直线BM与AN交于点G.(1)设AN，BN的斜率分别为k,求k⋅k，k的值;1212(2)求证：点G在定直线上.14.(2023届湖南省邵阳市高三上学期第三次月考)已知A(-22,0),B(22,0),直线PA,PB的斜率之积为3-,记动点P的轨迹为曲线C.4(1)求C的方程;3(2)直线l与曲线C交于M,N两点,O为坐标原点,若直线OM,ON的斜率之积为-,证明:△MON的4面积为定值.

y2x2届浙江省新高考研究高三上学期8月测试)已知椭圆C：+=1(a>0,b>0)的右焦点为ab15.(20232212F2,0,离心率为,△ABC为椭圆C的任意内接三角形,点D为△ABC的外心.(1)求C的方程；(2)记直线AB､BC､CA､OD的斜率分别为k､k､k､k,且斜率均存在.求证：4kkkk=3.12341234

圆锥曲线中的斜率问题一、考情分析斜率问题也是高考圆锥曲线考查的热点,主要有以下类型：利用斜率求解三点共线问题；与斜率之和或斜率之积为定值有关的问题；与斜率有关的定值问题；与斜率有关的范围问题.二、解题秘籍(一)利用斜率求解三点共线问题=k.利用斜率判断或证明点A,B,C共线,通常是利用kABACy2届广东省部分学校高三上学期联考)设直线x=m与双曲线C：x2-=m(m>0)的两条渐近【例1】(20233线分别交于A,B两点,且三角形OAB的面积为3.(1)求m的值；(2)已知直线l与x轴不垂直且斜率不为0,l与C交于两个不同的点M,N,M关于x轴的对称点为M,F为C的右焦点,若M,F,N三点共线,证明：直线l经过x轴上的一个定点.y2【解析】(1)双曲线C：x2-=m(m≠0)的渐近线方程为y=±3x,3不妨设Am,3m,Bm,-3m1因为三角形OAB的面积为3,所以2AB⋅m=3m,2所以3m2=3,又m>0,所以m=1.y22-=1,所以右焦点F的坐标为2,0,3(2)双曲线C的方程为C：x若直线l与x轴交于点p,0,故可设直线l的方程为y=kx-pk≠0,,y,Nx,y,则Mx,-y,设Mx112211y2y=kx-p2x-=1322222,得3-kx+2pkx-kp+3=0,联立222223-k≠0且Δ=2pk+43-kkp+3>0,22+3>0,化简得k2≠3且p-1k22pk222kp+3,xx=-,+x=-2所以x3-k23-k2112因为直线MN的斜率存在,所以直线MN的斜率也存在,因为M,F,N三点共线,所以k=k,MFFN-y1y,即-yx-2=yx-2,2=即1x-2x-21221所以-kx2-px-2=kx-px-2,1-px-2+x-px-2=0,122因为k≠0,所以x1122x-(p+2)x+x+4p=0,所以2x1212kp2所以2⋅-2+32pk2-(p+2)-+4p=0,13-k23-k21,所以MN经过x轴上的定点化简得p=2,0.2y2x2+=1的左､右顶点分别为A,B,右焦【例2】(2022届北京市一六一中学高三上学期期中)已知椭圆W:43:x=4.点为F,直线l1(1)若椭圆W的左顶点A关于直线x+my-4=0的对称点在直线l上,求m的值；1

(2)过F的直线l与椭圆W相交于不同的两点C,D(不与点A,B重合),直线CB与直线l相交于点M,求21证：A,D,M三点共线.【解析】(1)由题意知,1m=-直线l：x+my-4=0的斜率存在,且斜率为k33,设点A关于直线l对称的点为A,则A(4，n),AA⊥l3所以线段AA的中点1，在直线l上,又k1113n63AAn2=,kk=-1,13AA111n-×=-1m=1m=-1,解得m6有或,n=-6n2n=61+m×-4=0所以m=±1；(2)已知A(-2，0)，B(2，0)，F(1，0),33当直线l的斜率不存在时,l：x=1,此时C1，-，D1，,22223230+3(x-2),当x=4时,y=3,所以M(4，3),=有kCB=,所以直线l：y=22-123CB3-03-21=4-12，k21=所以kDM==,所以k=k,1+22ADADDM即A、D、M三点共线；当直线l的斜率存在时,设直线l：y=k(x-1)(k≠0),22x2y2+=1,得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0,43y=k(x-1)则2222Δ=(-8k)-4(4k+3)(4k-12)=144k+144>0,28k24k+3x=4k2-12+3,，Dx,则x+x=，y2设Cx，y，x1224k211212y2y,1x-2(x-2),令x=4,得M4，直线BC的方程为y=1x-211yy=3(x-2)=所以直线AD、AM的斜率分别为kAD2x+2，k1,AM213y(x-2)-y(x+2)=2112,yy13(x-2)1k-k=ADAM-2x+223(x+2)(x-2)21上式的分子3y(x-2)-y(x+2)21=3k(x-1)(x-2)-k(x-1)(x+2)122=2kxx-5k(x+x)+8k12=2k⋅4k4k21121-12228k2-5k⋅+8k=0,24k+3+3-k=0,即A、D、M三点共线.所以kADAM综上,A、D、M三点共线.(二)根据两直线斜率之和为定值研究圆锥曲线性质y2x21.设点Pm,n是椭圆C:+=1(a>b>0)上一定点,点A,B是椭圆C上不同于P的两点,若k+a2b2PAbm22nλ,22bmn≠0,若λ≠0,则直线AB过定点m-,-n-aλk=λ,则λ=0时直线AB斜率为定值PBan22

y2xa222.设点Pm,n是双曲线C:-=1(a>0,b>0)一定点,点A,B是双曲线C上不同于P的两点,若b2bman22n≠0,若λ≠0,则直线AB过定点k+k=λ,则λ=0时直线AB斜率为定值-PAPB2nλ22bmm-,-n+；aλ223.设点Pm,n是抛物线C：y=2pxp>0一定点,点A,B是抛物线C上不同于P的两点,若k+kPAPBp2p=λ,则λ=0时直线AB斜率为定值-nn≠0,若λ≠0,则直线AB过定点m-,-n+；λ2nλ【例3】(2023届山西省山西大附属中学高三上学期诊断)若点P在直线y=t上,证明直线PA,PB关于y=t+k=0.对称,或证明直线y=t平分∠APB,可证明kPAPBy2已知椭圆C：x2+=1a>b>0的左、右焦点分别为F,F,点M0,2是椭圆C的一个顶点,△FMF2a2b2121是等腰直角三角形．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点M分别作直线MA,MB交椭圆于A,B两点,设两直线MA,MB的斜率分别为k,k,且k+k=21218,证明：直线AB过定点．【解析】(1)由题意点M0,2是椭圆C的一个顶点,知b=2,MF2因为△F是等腰直角三角形,所以a=2b,即a=22,1所以椭圆C的标准方程为：xy2284+=1．(2)若直线AB的斜率存在,设其方程为y=kx+m,由题意知m≠±2．y=kx+mx222,得1+2kx+4kmx+2m-8=0,由y2842+=1由题意知Δ=8(8k2+4-m2)>0,设Ax,y,Bx,y,1122-4km2m-82+x=2,xx=1+2k12所以x,1+2k221y-2y-2kx+m-2kx+m-21+k=8,所以k+k=2+=+因为k2x12xxx1121212x+x1-4km=8,-8=2k+(m-2)×km所以k-m+22=2k+m-2×xx122m21=4,整理得m=k-2,211-2,故直线AB的方程为y=kx+2k-2,即y=kx+21,-2所以直线AB过定点-．2若直线AB的斜率不存在,设其方程为x=x,Ax,y,Bx,-y．00000y-2-y-2+12=8,解得x=-,由题意得0x0x00011．此时直线AB的方程为x=-2,显然过点-,-221,-2综上,直线AB过定点-．2y2届江苏省南通市如皋市高三上学期教学质量调研)已知点A(2,1)在双曲线C:x2-a2=1(a2a-1【例4】(2023>1)上,直线l交C于P，Q两点,直线AP，AQ的斜率之和为0.

(1)求l的斜率;(2)若tan∠PAQ=22,求△PAQ的面积.y2x2a=1中,得4-1=1,即a-42-4a+4=0,【解析】(1)将点A(2,1)代入2a-12a22a-1解得a2=2,故双曲线方程为x22由题意知直线l的斜率存在,设l:y=kx+m,设P(x,y),Q(x,y),2-y=1；1122x22-y2222=1得：(2k-1)x+4kmx+2m+2=0,则联立直线与双曲线需满足2k2-1≠0,Δ=8(m+1-2k)>0,224km,xx=-12k1222m+2,+x=-2故x2k22-11y-1y-1kx+m-1kx+m-1+k+k=APAQ=+=0,1x-2x-2212x-22x-2112x+(m-1-2k)(x+x)-4(m-1)=0,化简得：2kx1222k(2m+2)124km-4(m-1)=0,-1+(m-1-2k)-故2k-122k2即2k2+(m+1)k+m-1=0,即(k+1)(m+2k-1)=0,由题意可知直线l不过A点,即m+2k-1≠0,故l的斜率k=-1.∠PAQ22tan(2)设直线AP的倾斜角为α,由tan∠PAQ=22,∴=22,∠PAQ21-tan2∠PAQ=22,(负值舍去),得tan2π-2α2=2,由直线AP，AQ的斜率之和为0,可知2α+∠PAQ=π,即tan2y-1=2,x-2π则tan2cosα=2,得k=tanα=2,即AP-α=1sinα21y-1=2,及x-y2=1得x=10-42,y=2123142-5,联立1x-23111=将x110-42,y=42-55代入l:y=-x+m中,得m=3,33120368,+x=,xx=12故x912-2|=3|x-2|,|AQ|=3|x-2|,而|AP|=2+1|x11222,由tan∠PAQ=22,得sin∠PAQ=13=|AP|⋅|AQ|sin∠PAQ=2|xx-2(x+x)+4|1212故S2△PAQ6820162+4=.39=2-2×9【例5】(2022届广东省深圳市高三上学期月考)已知抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,其中P为E的准线⋅OP=-.94上一点,O是坐标原点,且OF(1)求抛物线E的方程；(2)过Q1,0的动直线与E交于C,D两点,问：在x轴上是否存在定点Mt,0t≠0,使得x轴平分∠CMD?若存在,求出点M的坐标；若不存在,请说明理由.

p【解析】(1)抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,02ppp,y,则OF=,0,OP=-,y设P-222PP⋅OP=-因为OF9,4p42=-,得p=3.94所以-所以抛物线E的方程为y2=6x;(2)假设在x轴上存在定点Mt,0t≠0,使得x轴平分∠CMD.设动直线的方程为x=my+1,点Cx,y,Dx,y,1122x=my+12y=6x2,可得y-6my-6=0.联立2∵Δ=36m+24>0恒成立,∴y+y=6m,yy=-61212设直线MC,MD的斜率分别为k,k,则12y1y2yx-t+yx-t=1221k+k=12+x-tx-tx-tx-t1212ymy+1-t+ymy+1-t2myy+1-ty+y2==1221121x-tx-t12x-tx-t12+k=0,由定点Mt,0t≠0,使得x轴平分∠CMD,则k12y+1-ty+y=0.把根与系数的关系代入可得m+mt=0,所以2my2121得t=-1.故存在t=-1满足题意.综上所述,在x轴上存在定点M-1,0,使得x轴平分∠CMD.(三)根据两直线斜率之积为定值研究圆锥曲线性质y2x21.若点A,B是椭圆C：+=1a>b>0上关于原点对称的两点,点P是椭圆C上与A,B不重合的a2b2y2b2x2-=1a>0,b>0上关于原点对称的两点,点P是；若点A,B是双曲线C：⋅k=-点,则kPAa2a2b2PBb2⋅k=.双曲线C上与A,B不重合的点,则kPAa2PB2.若圆锥曲线上任意一点P作两条直线与该圆锥曲线分别交于点A,B,若k⋅k为定值,则直线AB过定PAPB点.y2x届黑龙江省大庆高三上学期期中)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:432+=1的左、右【例6】(2022顶点和右焦点分别为A、B和F,直线l:x=my+t与椭圆C交于不同的两点M、N,记直线AM、BM,BN的斜率分别为k.、k、k312(1)求证：kk为定值；12(2)若k=3k,求△FMN的周长.13【解析】(1)证明：设Mx,y,易知A-2,0、B2,0,其中x+=1,则x22=4-y4,300y20204300yyy2y203=-为定值.4kk=12⋅==-40x+2x-2004x204-y2-40030

34k2-1,(2)解：∵k=3k,即13=3k⇒kk=-3234,y、Nx,y,而B2,0,设Mx1122x=my+t223x+4y=12联立-12=0,2222⇒3my+t+4y=12⇒3m+4y+6mty+3t2则Δ=36m222222t-4×3m+43t-12=483m+4-t>0,y+y=-16mty1y23m23t-122+4,kk=231,2⋅=-且x-2x-24yy=121223m+4⇒my+t-2my+t-2+4yy=0.1212+4yy+mt-2y+y+t-2=0所以,m22-6mt21223t-121⇒m+4⋅2+mt-23m2+t-2=0,+423m+423t+23m26m2t+t-2=0,+43m+4+12t+24-6m∵t≠2,∴m2+4⋅-2所以,3m2t+6mt+3mt-6m2+4t-8=0,16t+16=0⇒t=-1,222故直线MN恒过椭圆C的左焦点-1,0,所以,△FMN的周长为4a=8.y2【例7】(2023届湖南省永州市高三上学期第一次适应性考试)点P(4,3)在双曲线C:x2-=1(a>0,b>0)a2b27上,离心率e=2.(1)求双曲线C的方程；32(2)A,B是双曲线C上的两个动点(异于点P),k,k分别表示直线PA,PB的斜率,满足kk=,求证：直1212线AB恒过一个定点,并求出该定点的坐标.【解析】(1)由题意点P(4,3)在双曲线C:x2y227-=1(a>0,b>0)上,离心率e=2ab2169b2a2-=1可得；,解出,a=2,b=3,7=2a+b2a2y2所以,双曲线C的方程是x243-=1(2)①当直线AB的斜率不存在时,则可设An,y,Bn,-y,00y2代入x43232-3,-=1,得y=n2403412-n2y-3-y-39-y2=023,k=则k12⋅==00n-4n-42(n-4)(n-4)243即9n2-48n+48=0,解得n=或n=4,=±3,A,B其中一个与点P4,3重合,不合题意；当n=4时,y4304,它与双曲线C不相交,故直线AB的斜率存在；3当n=时,直线AB的方程为x=y2②当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程y=kx+m代入x243-=1,整理得,3-4k2x2-8kmx-4m-12=0,设Ax,y,Bx,y,11222

8km,xx=-3-4k1224m+12,+x=2则x3-4k221-43-4k2-4my-3y-3kx+m-3kx+m-3kxx+km-3x+x+(m-3)2=+3>4k,222-12>0,∴m由Δ=(-8km)2322xx-4x+x+16k=所以k12⋅=⋅2x-42=1211212x-4x-4x-41211212-3xx+2km-6k+12x+x+2m-12m-30=0,2所以,2k221212-3⋅-4m-12+2km-6k+12⋅8km+2m即2k3-4k2-12m-30=0,23-4k22+16k-6m+16k2整理得3m2-9=0,即3m+4k+3m+4k-3=0,所以3m+4k+3=0或m+4k-3=0,4k+334-1,过定点4,-1,直线AB化为y=kx-3若3m+4k+3=0,则m=-；3若m+4k-3=0,则m=-4k+3,直线AB化为y=kx-4+3,它过点P4,3,舍去43,-1综上,直线AB恒过定点另解：设直线AB的方程为mx-4+ny-3=1①,yx2-=1可化为3x-4+4-4y-3+3]22=12,双曲线C的方程2432-4(y-3)+24x-4-y-3=0②,即3(x-4)2由①②可得3(x-4)22-4(y-3)+24x-4-y-3mx-4+ny-3=0,2-24n+4(y-3)+24n-mx-4y-3=0,2整理可得24m+3(x-4)两边同时除以(x-4)2,x-4x-4+424n+424m+3>0,y-3y-32-24n-m-24m+3=0③,整理得24n+42Δ=24(n-m)2,k则k是方程③的两个不同的根,12-24m+324n+43k=所以k12=,即8m+12n+3=0④,24x=3,-3x-4=8y=-1-3y-3=12,解得由①④可得43,-1故直线AB恒过定点.(四)判断或证明与斜率有关的定值与范围问题1.判断或证明与斜率有关的定值问题,通常是把与斜率有关的式子用某些量来表示,然后通过化简或赋值得到定值.2.求斜率有关的范围问题,通常是把与斜率有关的式子用其他量来表示,转化为求函数值域问题,或由已知条件整理出关于斜率的不等式,通过解不等式求范围.y2x2+=1(a>b>0)的左右焦点分别b2【例8】(2022届山东省学情高三上学期12月质量检测)已知椭圆C:a2322.(-1，0),F(1，0).过F2=与x轴直垂的直线与椭圆C交于点D,点D在x轴上方,且DF21为F1(1)求椭圆C的方程；(2)过点F的直线l与椭圆C交于A,B两点,是否存在一定点M使得k+k为定值,若存在,求出点MMAMB2

的坐标,若不存在,请说明理由.32,所以|DF|=222,|=【解析】(1)由己知得c=1,|DF21232所以2a=2+∴b=1.2=22⇒a=2,x22+y2=1.所以椭圆C的方程为(2)如果存在点M,由于椭圆的对称性可知点M一定在x轴上,设其坐标为(x,0),0因为椭圆右焦点F(1,0),直线斜率存在时设l的方程为y=k(x-1),A(x,y),B(x,y),1122<2,x<2,将y=k(x-1)代入x22+y2=1得：则x122222(2k+1)x-4kx+2k-2=0,4k222k-2,xx=,+x=2所以x2k+1222k+1112y1y2+k=MB+又kx-xx-x0MA1=kx-k,y=kx-k得：02由y11222kxx-k(x+x)(x+1)+2xkk+k=MAMB121(x-x)(x-x)200.10202(x-2)kx-k(x+x)(x+1)+2xk=122⋅则2kx0+12k2100=2时,k+k=0,当x0MAMB+k当直线斜率不存在时,存在一定点M(2,0)使得k为定值0.MBMA+k综上:存在定点M(2,0)使得k为定值0.MBMA=16的圆心为A,点P是圆A上的动点,【例9】(2022届广东省高三上学期12月大联考)已知圆(x+1)2+y2点B是抛物线y2=4x的焦点,点G在线段AP上,且满足GP=GB.(1)求点G的轨迹E的方程；2(2)不过原点的直线l与(1)中轨迹E交于M,N两点,若线段MN的中点Q在抛物线y=4x上,求直线l的斜率k的取值范围.【分析】(1)依题意GA+GB=AP=4>2=AB,根据椭圆的定义可得到轨迹为椭圆,再由几何关系得到相应的参数值即可得到椭圆方程；(2)设出直线方程并且和椭圆联立,根据韦达定理得到中点坐标16k4k2+3>0,+3,将此式代入4k2-tQ-4kt3t,将点Q坐标代入抛物线方程得到t=-+3294k+34k2234932得到k4+k2-2<0,解不等式即可.【解析】(1)=4x的焦点,∴B1,0,易知A-1,0，∵点B是抛物线y2依题意GA+GB=AP=4>2=AB,所以点G轨迹是一个椭圆,其焦点分别为A,B,长轴长为4,y2x2+=1(a>b>0),b2设该椭圆的方程为a2则2a=4,2c=2,∴a=2,c=1,222∴b=a-c=3,

y2x2+=1.43故点G的轨迹E的方程为(2)易知直线1的斜率存在,,y,Nx,y,Qx,y,设直线1：y=kx+tt≠0,Mx112200y=kx+t+3x+8ktx+4t-12=0,得：4k223x+4y=12由22222∵Δ=(8kt)-43+4k4t-12>0,2-t2+3>0①又x+x=-8kt,x⋅x=4k+34k121224t-12即4k222+3故Q-4k4kt3t,将Q-4kt3t,代λy+3,,2=4x,2+34k2+34k+34k2216k4k+392得：t=-②,k≠0,2将②代入①,得：16k24k224+3<81,4×16k+3×1622k-81<0,34932即k4+k2-2<0,<0,即k2-3<0,323322732即k2-k2+66且k≠0,∴-8<k<86<k<0或0<k<即k的取值范围为:-86.8三、跟踪检测y2=1(a>b>0)上,3x2+在椭圆C：1.(2023届山西省长治市高三上学期9月质量检测)已知点P1,2a2b213．2且点P到椭圆右顶点M的距离为(1)求椭圆C的方程；(2)若点A,B是椭圆C上不同的两点(均异于M)且满足直线MA与MB斜率之积为14．试判断直线AB是否过定点,若是,求出定点坐标,若不是,说明理由．y23x2a1a9=1,4b2,在椭圆C：+=1(a>b>0)上代入得：+【解析】(1)点P1,22b22132,则13=a-1+9,点P到椭圆右顶点M的距离为解得a=2,b=3,224y2x243+=1．故椭圆C的方程为(2)由题意,直线AB的斜率存在,可设直线AB的方程为y=kx+m(k≠0),M2,0,Ax,y,Bx,y．1212y=kx+m223x+4y=122x+8kmx+4m-12=0．联立得3+4k22222222Δ=64km-43+4k4m-12=484k-m+3>0．-8km24m-12,∴x+x=12,xx=3+4k123+4k221∵直线MA与直线MB斜率之积为4．y1y=21,∴⋅x-2x-241∴4kx+mkx+m=x-2x-2．22-1xx+4km+2x+x+4m-4=0,121化简得4k222121

4m2-12+4km+2-8km+4m-4=0,∴4k-123+4k23+4k2化简得m2-2km-8k=0,解得m=4k或m=-2k．2当m=4k时,直线AB方程为y=kx+4,过定点-4,0．1212m=4k代入判别式大于零中,解得-<k<(k≠0)．当m=-2k时,直线AB的方程为y=kx-2,过定点2,0,不符合题意．综上所述：直线AB过定点-4,0．2.(2023届重庆市第八中学校高三上学期月考)已知椭圆C的中心为坐标原点,对称轴为x轴,y轴,且过A3两点.(-2,0),B1,2(1)求椭圆C的方程；(2)F为椭圆C的右焦点,直线l交椭圆C于P,Q(不与点A重合)两点,记直线AP,AQ,l的斜率分别为k,13k,k,若k+k=-,证明：△FPQ的周长为定值,并求出定值.k2122+ny=1(m>0,n>0),【解析】(1)由已知设椭圆C方程为：mx232141,,得m=,n=代入A-2,0,B1,3y2故椭圆C方程为x243+=1.(2)设直线l:y=kx+m,Px,y,Qx,y,1122y=kx+m,223x+4y=12由2+8kmx+4m2-12=0得,2⇒4k+3xx+x=1-8km4k4m-1222+3,Δ=64k2222222m-44k+34m-12=192k-48m+144,x⋅x=1224k+3ykx+m1kx+m,x+22==,k=2又k1x+212x+211kx+m1kx+m22kxx+2kx+x+mx+x+4m=121212+k=2+故kx+21x+22xx+2x+x+4112222-24k-16km-8km+16km+12m-12-16km+16k128km2==4m22+123m-6k,-4km+4k23m222+k=-,得m-3km+2k=0,由kk12故m-2km-k=0⇒m=2k或m=k,①当m=2k时,直线l:y=kx+2k=kx+2,过定点A-2,0,与已知不符,舍去；②当m=k时,直线l:y=kx+k=kx+1,过定点-1,0,即直线l过左焦点,此时Δ=192k2-48m22+144=144k+144>0,符合题意.所以△FPQ的周长为定值4a=8.y2届重庆市南开中学校高三上学期9月月考)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为2,上xa223.(20232b2顶点为D,斜率为k的直线l与椭圆C交于不同的两点A,B,M为线段AB的中点,当点M的坐标为(2,1)时,直线l恰好经过D点.(1)求椭圆C的方程：(2)当l不过点D时,若直线DM与直线l的斜率互为相反数,求k的取值范围.

2,所以a=2b=2c,【解析】(1)由题意知,离心率e=2x2y212+=11a2x2b2b1=-=-,所以k=-1；2a设Ax,y,Bx,y,两式相减得k⋅kOMy2211222+=122ab2y2所以直线为y-1=-(x-2),即y=-x+3,所以b=c=3,椭圆方程为x2189+=1；y=kx+m(2)设直线为y=kx+m,由x2+2y2x+4kmx+2m2-18=0,得1+2k=1822x+x12-2km1+2km1+2k=2=22,y=,Δ=16km-41+2k22m-18=818k-m+9>0,222则xMM22y-3==6k+3-m22km=-k,解得m=6k2+3,1-2k22≠0,k≠±2所以kMx-0M1-2k2DM因为l不过D点,则6k2+3≠3,即k≠01-2k26k2+32>0,化简得4k4-4k2-3>0,1-2k则18k2+9-223,解得2k2-32k+1>0,k>22266所以k>2或k<-2.y2x2届江苏省南通市高三上学期第一次质量监测)已知A,A分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的ab左､右顶点,B,F分别是C的上顶点和左焦点.点P在C上,满足PF⊥AA,AB∥OP,FA4.(202322=2-2.(1)求C的方程；(2)过点F作直线l(与x轴不重合)交C于M,N两点,设直线AM,AN的斜率分别为k,k,求证：kk为1212定值.y0cbabc.【解析】(1)因为PF⊥AA,故可设P-c,y,因为AB∥OP,故k∥k,即-=-,解得y=a0ABOP022bcabc在椭圆C上,故c22+=1,解得a2=2c2=2a-2b22,故a=2b=2c.又P-c,aa2b2又FA=2-2,故FA=a-c=2-1c=2-2,故c=2,a=2,b=2.y2故C的方程为x242+=1.y2(2)因为椭圆方程为x+=1,故F-2,0,A2,0,当l斜率为0时A,M或A,N重合,不满足题意,242故可设l：x=ty-2.y242x2+=1+2y2-22ty-2=0,设Mx,y,Nx,y,则y+y=22t,yy=t+211221212联立可得t22x=ty-2-.2t+22yy=x-2x-2ty-2-2ty-2-2yyk=12⋅故k12122121yy121==t2yy-2+2ty+y+2+22y+y2+22+22t2-2+2t1211yyyy1212

1==2-32t2+2-23+2221=22t+22+2t-2+2×232故定值为2-y2x21,其5.(2023届重庆市第一中学校高三上学期9月月考)已知椭圆C:+=1(a>b>0)经过点3,2a2b2右焦点为F3,0.(1)求椭圆C的离心率；(2)若点P,Q在椭圆C上,右顶点为A,且满足直线AP与AQ的斜率之积为1.求△APQ面积的最大20值.a=2c=33+1=1,解得b=1【解析】(1)依题可得,,a24b2a=b+c222c=3x42+y2=1.所以椭圆C的方程为3所以离心率e=2.(2)易知直线AP与AQ的斜率同号,所以直线PQ不垂直于x轴,故可设PQ:y=kx+m,k≠0,Px,y,Qx,y,1122x42+y2=1可得,1+4k由222x+8mkx+4m-4=0,y=kx+m-8mk,xx=1+4k1224m-4,+x=所以x121+4k22y1y=2120x-2x-2201,Δ=164k+1-m22>0,而kk=,即⋅APAQ12+mkx+m=x-2x-2,化简可得20kx12122220kxx+20km(x+x)+20m=xx-2(x+x)+4,121212124m2-4+20km⋅-8mk+20m=4m2-4-2×-8mk+421+4k1+4k1+4k1+4k20k2⋅2222化简得6k2+mk-m2=0,所以m=-2k或m=3k,所以直线PQ:y=kx-2或y=kx+3,因为直线PQ不经过点A,所以直线PQ经过定点-3,0.125=S-S=ABy-y=kx-x2设定点B-3,0,S2△APQ△ABP△ABQ12152=k(x+x)-4xx2121252-8km1+4k24m-4-4×1+4k222=k5k164k+1-m222101-5kk=2=,21+4k21+4k21<5因为1-5k2>0,所以0<k,29,设t=4k2+1∈1,5

5-5t+14t-951745932==-9-t92+≤所以S,29t22△APQ当且仅当t=即k21时取等号,即△APQ面积的最大值为5.=71436.(202322届湖南省长沙市雅礼中学高三上学期月考)已知双曲线C:x-y=1和点B0,1.(1)斜率为k且过原点的直线与双曲线C交于E,F两点,求∠EBF最小时k的值.(2)过点B的动直线与双曲线C交于P,Q两点,若曲线C上存在定点A,使k+k为定值λ,求点A的AQAP坐标及实数λ的值.【解析】(1)由对称性可设Ex,y,F-x,-y,⋅BF=x,y-1⋅-x,-y-1=-x则BE-y+1,22因为E点在双曲线C上,所以x2-y=1,即y=x-1,且x≥12222⋅BF=21-x≤0,所以BE⋅BF=0,∠EBF为直角,当x=1时,BE⋅BF<0,∠EBF为钝角,当x>1时,BE所以∠EBF最小时,x=1,k=0.(2)设Am,n,由题意知动直线一定有斜率,设点B的动直线为y=tx+1,,y,Qx,y设Px2211x2-y=1,222x-2tx-2=0,,联立得1-ty=tx+1,≠0,Δ=4t1-t22+81-t2>0,,解得t,2t22<2且t≠1,所以x+x=1-t21221-txx=-12,2y-ny-n=λ,x-mx-mk+k=λ,即APAQ+1212tx+1-ntx+1-n2x-m+=λ,即1x-m1化简得2t-λx122x+-mt+1-n+λmx+x-2m+2mn-λm=0,2212t-λ-2+-mt+1-n+λm2t-2m+2mn-λm=0,21-t21-t2-2mnt+2λm-n-1t+2λ-2m+2mn-λm22=0,化简得λm2由于上式对无穷多个不同的实数t都成立,λm-n-1=0,所以2λm-2mn=0,①2λ-2m+2mn-λm=0,②2m32m=n+1.=2mn,将①代入②得λ=m,从而如果m=0时,那么n=-1,此时A0,-1不在双曲线C上,舍去,因此m≠0,从而m2=2n,代入m=n+1,解得n=1,m=±2,2此时A±2,1在双曲线上,综上,A2,1,λ=2,或者A-2,1,λ=-2.y2+=1的左右顶点,直线x37.(2023届河北省邢台市名校联盟高三上学期考试)已知A1、A为椭圆C：x22

=xA和直线AB交于点P.与C交于A、B两点,直线A012(1)求点P的轨迹方程.1,求证以MN为直(2)直线l与点P的轨迹交于M、N两点,直线NA1的斜率与直线MA斜率之比为-32径的圆一定过C的左顶点.-1,0,A1,0,2【解析】(1)由题意得A1,y,Bx,-yy≠0,Px,y,设Ax00000=k,k=k,BA2则kPAyAA1PAy12y-yy2-y2=0,=,=,得即0x+1x+1x-1x-1022x-1x-1000y2y2又∵点x,y在C上,即x2-1=-,得=3,-103x2000y22∴x-=1y≠0；313(2)∵k=-k,NA1NA2设直线NA方程为x=-3my-1，m≠0,则MA方程为x=my+1,12x=-3my-1,得27m2x-=13联立y2222-1y+18my=0(27m-1≠0且Δ>0),54m2-18m-1,y=,设Nx,y,得x=27m2-1227m-1NNNN-6m2-6m+1,y=,,y,得x=同理设Mx3m2-123m-1MMMMyyN-6m+23m-18m=-13m,54mk=MA==3m,k=NA1=x+1Mx+1-6m22-121M∴k⋅k=-1,即MA⊥NA,NMA1NA11∴以MN为直径的圆一定过C的左顶点.1y2x28.(2023届安徽省皖南八校高三上学期考试)已知椭圆M:+=1(a>b>0)的左､右焦点为F,F,且b2a212π.PF左焦点坐标为-2,0,P为椭圆上的一个动点,∠F的最大值为221(1)求椭圆M的标准方程；(2)若过点-2,-4的直线l与椭圆M交于A,B两点,点N2,0,记直线NA的斜率为k,直线NB的斜11kk1率为k,证明：+=1.21【解析】(1)因为左焦点坐标为-2,0,所以c=2,2最大,又∠F的最大值为π.PF2PF当点P在上､下顶点时,∠F1221所以b=c=2,得a2=4,由a2=b+c22y2所以椭圆M的标准方程为x242+=1；(2)当直线l的斜率为0时,直线l的方程为y=-4,y2直线y=-4与椭圆x242+=1没有交点,与条件矛盾,故可设直线l的方程为x=my+t,

y2x=my+t联立直线l的方程与椭圆方程可得,+=1,x242+2y22=4,+2mtx+t-4=0,222222+2mtx+t-4=0的判别式Δ=4mt-4m+2t-4=16m-8t+32>0,又直线x=my+t过点-2,-4,所以-2=-4m+t,化简可得my+t2+2y22所以m由已知方程m2+2y228,所以7m2-8m<0,所以0<m<7,y,Bx,y,设Ax1122+y=-则y122mt,yy=2t-4,m2+2122m+2因为N2,0x-2x-2my+t-2my+t-2y+y=2m+t-21yy11kk+=+=+所以所以12122,yyy1y212111212-2mt2t-42mt2mtt+=2m+t-2=2m-=2m-4m=2m-=1t+22kk12,y,Bx,y,方法二：设直线l的方程为mx-2+ny=1,Ax112222由椭圆M的方程x2+2y=4,得(x-2)+2y=-4x-2.2联立直线l的方程与椭圆方程,得(x-2)2+2y=0,2=-4x-2mx-2+ny,+4nx-2y+2y2即1+4m(x-2)2x-2x-221+4m+4n+2=0,yy11x-2x-24n=-y1+4m+=+所以12.kk12y121,代入11+,因为直线l过定点-2,-4,所以m+n=-4kk12x-2x-211+=4n1+4m+2y=-1+4m1+4m==1.得1kk12y12y2x2届河北省石家庄高三上学期11月月考)已知椭圆Γ:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F,ab19.(202222F,椭圆Γ的离心率为2,椭圆Γ上的一点P满足PF⊥x轴,且PF=1．2222(1)求椭圆Γ的标准方程；(2)已知点A为椭圆Γ的左顶点,若点B,C为椭圆Γ上异于点A的动点,设直线AB,AC的斜率分别为k⋅k,且k⋅k=1,过原点O作直线BC的垂线,垂足为点D,问：是否存在定点E,使得线段DE的ABACABAC长为定值？若存在,求出定点E的坐标及线段DE的长；若不存在,请说明理由．【解析】(1)由椭圆Γ上的一点P满足PF⊥x轴,且PF=1,可得ba2=1,即b2=a,22c2,可得=2,即a=2c,又由椭圆Γ的离心率为2a2因为a2-b2=c,联立方程组,可得a=2,b=2,所以椭圆Γ的标准方程为2y2x2+=1.42y2x2(2)由椭圆Γ:+=1,可得A(-2,0),42设直线BC的方程为y=mx+n(n≠2m),则B(x,mx+n),C(x,mx+n),1122

x2y=mx+n222,整理得(2m+1)x+4mnx+2n-4=0,+=142联立方程组y24mn2m+122n-4,则Δ=8(4m2-n+2)>0,x+x=2,xx=1222m+1122(mx+n)(mx+n)⋅k=1,可得由kABAC=1,12(x+2)(x+2)122-1)xx+(mn-2)(x+x)+n-4=0,即(m2可得(m2-1)(2n整理得12m2-8mn+n121-4)+(mn-2)(-4mn)+(n222-4)(2m+1)=0,22=0,所以(6m-n)(2m-n)=0,所以n=6m或n=2m(舍去),所以直线BC的方程为y=mx+6m,即y=m(x+6),当x=-6时,y=0,可得直线BC过定点F-6,0,因为OD⊥BC,所以点D在以OF为直径的圆上,所以当点E为线段OF的中点时,线段DE的长为定值,此时线段DE的长为3,点E3,0.y2x2届八省八校(T8联考)高三上学期联考)设椭圆E:+=1(a>b>0),圆C:(x-2m)+(y-2ab10.(2022224m)=1(m≠0),点F,F,分别为E的左右焦点,点C为圆心,O为原点,线段OC的垂直平分线为l．已2121知E的离心率为2,点F,F关于直线l的对称点都在圆C上．12(1)求椭圆E的方程；(2)设直线l与椭圆E相交于A,B两点,问：是否存在实数m,使直线AC与BC的斜率之和为2若存3在,求实数m的值；若不存在,说明理由．c1=,则a=2c【解析】(1)由已知,e=a2,FF12设点F关于直线l的对称点分别为M,N,因为点O,C关于直线l对称,O为线段F的中点,则C为线12段MN的中点,从而线段MN为圆C的一条直径,所以FF=|MN|=2,即2c=2,即c=1．12y2-c2=3,所以椭圆E的方程是x+=1．432于是a=2,b2=a2(2)因为原点O为线段FF的中点,圆心C为线段MN的中点,直线l为线段OC的垂直平分线,12所以点O与C也关于直线l对称,因为点C(2m,4m),则线段OC的中点为(m,2m),直线OC的斜率为2,又直线l为线段OC的垂直平分线,15m1(x-m),即y=-x+所以直线l的方程为y-2m=-22．2y215mx2+=1,得3x2代入43x5m+4-+=12,即4x2x+222-10mx+25m-12=0．将y=-222设点Ax,y,Bx,y,则x+x=5m,xx=225m-12．2411221212y-4m1x-2my-4m2x-2mx+3m=-1+22x-2mx+3m+k=BC+所以k1x-2m2AC121x+3mx-2m+x+3mx-2m=-2x-2mx-2m112212xx+mx+x-12m22．2=-12122xx-4mx+x+8m21212xx+mx+x-12m122+=0,得2xx-mx+x-4m23232xx-4mx+x+8m2+k=,则2=0．由已知,k12ACBC12122121

25m22-125m22-4m-2=0,即m2=1,即m=±1．．2<,即|m|<416-1625m-12>0,解得m255所以因为直线l与椭圆E相交,则Δ=100m24因为52<1,所以不存在实数m,使直线AC与BC的斜率之和为2．3y2x2届上海市嘉定区高三一模)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆Γ：+=1a>b>0的左、a