福建省龙岩市2022-2023学年高二下学期期末教学质量检查数学试题

龙岩市2022～2023学年第二学期期末高二教学质量检查数学参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）题号12345678答案ADDCBCDB第7题简析：,令，所以，所以，又，所以，又，所以，所以.第8题简析：因为，构造，易得：，所以，又易得，令，得，所以，即，所以，综上.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）题号9101112答案ABCDABDBCD第11题简析：作出函数的图象，由图象可知A正确，B正确对于C选项或，由函数的图象可知或，故C错误.对于D选项第12题简析：由题意知点在上动点，点的轨迹为以为圆心，为半径的圆弧，所以，所以A错误；易得平面，所以，所以B正确；当线段取最小值时，是的中点，为圆弧的中点，所以，所以，所以，所以C正确；当时，与重合，与垂直的平面，即与体对角线垂直的平面，显然平面，而与平面平行且面积最大的截面应当过正方体的中心，此时截面为边长是的正六边形，所以截面面积的最大值为，所以D正确.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．14．15．16．第16题简析：法一：依题意：在上恒成立，设，令，，则在上单调递增，，，所以使，当时，在单调递减；当时，在单调递增，，由得，设，则，在上单调递增，所以，即，故，所以法二：，可证，当且仅当时取“”，令，即当，即时，，此时不等式恒成立；当，即时，设，在上单调递增，，，使，即，与恒成立矛盾，故舍去，综上，.四、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（本题满分10分）解：（1）因为所以.所以， 1分所以， 2分又，所以曲线在点处的切线方程为：. 4分（2）由函数在处取得极值可知：，即，解得：. 6分此时，，,当时，，当时，,所以符合题意.综上，的单调递增区间为，的单调递减区间为. 10分18．（本题满分12分）证明：（1）证明：如图所示，取中点，连接. …………1分分别为的中点，，且.又由已知，可得且，四边形为平行四边形，.……3分又平面,平面.平面.………………4分（2）如图，以点为原点建立空间直角坐标系，………………5分则．由为棱的中点，得．向量，．设为平面的法向量，则不妨令，得，即为平面的一个法向量．……8分又向量，设直线与平面所成角为，.……11分直线与平面所成角的正弦值为.……12分19．（本题满分12分）解：（1）由题意知样本中的100名学生预赛成绩的平均值为：, 2分又由，，. 5分（2）由题意，抽取2人进入复赛的人数， 6分.的概率分布列为012 10分的数学期望为. 12分20．（本题满分12分）解：（1）如图，在直三棱柱中，，∴矩形为正方形，又E是的中点，. 1分又平面平面，平面平面，且平面.平面. 3分又平面,. 4分（2）在直三棱柱中，平面.又平面,.又,平面且相交,平面.所以两两垂直.所以如图以为原点，建立空间直角坐标系. 6分的面积为,.则,.设，.又,设平面的法向量，则，不妨取，则，∴， 8分由（1）平面，∴平面的一个法向量, 9分 11分解得.又由图可知当为的中点时，二面角为钝二面角符合题意，综上，在上存在一点D，此时，使得二面角的大小为. 12分21．（本题满分12分）解：（1）（ⅰ）根据散点图可得随的增大，增长速度越来越快，不满足线性回归，故判断适合作为人次关于活动推出天数的回归方程类型. 2分（ⅱ）由（ⅰ）知，，两边同时取对数得，令则由题意知，又，所以,所以，所以， 4分，,则关于的回归方程为. 6分（2）依题意服从超几何分布，当时，，当时，，记, 8分则,由解得, 10分所以当时,当时,当时,故当或时最大，所以的估计值为.…12分22.（本题满分12分）解：（1）, 1分①若，则，即在单调递减,②若，令，有，令，有，即在单调递减，在单调递增, 3分综上：，在单调递减,若，在单调递减，在单调递增. 4分（2），令得：，因为，，因为是的两个零点，所以，， 6分所以,，