云南省曲靖市马龙县月望乡中学2021年高三数学理测试题含解析

云南省曲靖市马龙县月望乡中学2021年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知等差数列首项为，公差为，等比数列首项为，公比为，其中都是大于1的正整数，且，对于任意的，总存在，使得成立，则（

）w。w-w*k&s%5￥u

A．

B．

C．

D．参考答案：A略2.已知函数，当时，取得最小值，则函数的图象为参考答案：B略3.设函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为T，最大值为A，则（）A．T=π， B．T=π，A=2 C．T=2π， D．T=2π，A=2参考答案：B【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】由两角和与差的正弦函数公式化简可得y=2sin（2x+），由参数的意义可得答案．【解答】解：由三角函数的公式化简可得：=2（）=2（sin2xcos+cos2xsin）=2sin（2x+），∴T==π，A=2故选：B4.已知双曲线的离心率为2，若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是2，则抛物线的方程是A. B. C. D.参考答案：D略5.

定义在R上的奇函数，当时，。记的反函数为，则的值为A．0

B．2

C．

D．参考答案：答案：D6.设,二次函数的图象为下列之一，则的值为（

）

A.

B．

C．1

D．参考答案：D7.在△ABC中，C=60°，，，则A=（

）A.15° B.45° C.75° D.105°参考答案：C【分析】由题意和正弦定理求出sinB，再由边角关系求出角B，则可求得A．【详解】由题意得，，AC，，由正弦定理得，，则sinB，所以B＝或，因为AB＞AC，所以C＞B，则B＝，则A=故选：C．【点睛】本题考查正弦定理及三角形内角和定理的应用，属于基础题．8.已知f（x）=，则f（8）等于(

)A．4 B．0 C． D．2参考答案：C【考点】函数的值．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】由f（x）=，导出f（8）=f（﹣2）=2﹣2，由此能求出结果．【解答】解：∵f（x）=，∴f（8）=f（6）=f（4）=f（2）=f（0）=f（﹣2）=2﹣2=．故选C．【点评】本题考查函数值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．9.某几何体的三视图如图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为（）A．4π B．π C．π D．20π参考答案：B【考点】LR：球内接多面体；LG：球的体积和表面积．【分析】由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长是2，根据三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，求出半径即可求出球的表面积．【解答】解：由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长是2，三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，r==，球的表面积4πr2=4π×=π．故选：B．10.已知在等差数列{an}中，a1=120，d=－4，若Sn≤an（n≥2），则n的最小值为（

） A．60 B．62 C．70 D．72参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知为坐标原点，点，点满足条件，则的最大值为_____________。参考答案：12.在直角坐标系中，定义为两点之间的“折线距离”；则圆上一点与直线上一点的“折线距离”的最小值为

参考答案：13.如果实数x，y满足不等式组则目标函数z=3x﹣2y的最大值是．参考答案：1【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（3，4）．化目标函数z=3x﹣2y为y=，由图可知，当直线y=过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为1．故答案为：1．14.在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若，则∠C的大小为

．参考答案：∵∴根据正弦定理可得∵∴，即∵∴故答案为.

15.已知函数，若，则函数f(x)的单调递增区间为_______参考答案：因为，所以所以，由得单调增区间为.【点睛】函数的性质(1).(2)周期(3)由求对称轴(4)由求增区间;由求减区间16.等差数列{an}满足，则a5=______；若，则n=______时，{an}的前n项和取得最大值．参考答案：4

6【分析】由等差数列的通项公式即可求出，再结合，得到，然后求出使时的正整数解即可。【详解】等差数列满足，所以，即，，所以，所以．令，解得，所以的前6项和取得最大值．故填：4，6．17.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，其中f（1）=0，且当x＞0时，有＞0，则不等式f（x）＞0的解集是_________．参考答案：（﹣1，0）∪（1，+∞）略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分13分）已知点，动圆经过点且和直线相切，记动圆的圆心的轨迹为曲线。（1）求曲线的方程；（2）四边形是等腰梯形，在直线上，在轴上，四边形

的三边分别与曲线切于，求等腰梯形的面积的最小值。参考答案：解：（1）动圆圆心到的距离等于到的距离，则点的轨迹是抛物线，

且，所以为双曲线的方程。

……5分（2）设，由，可知方程；……8分

令即

令，，，即

……10分所以梯形的面积

……………12分当且仅当，即时，有最小值

……………13分19.如图，已知平面，∥，是正三角形，且.（1）设是线段的中点，求证：∥平面；（2）求直线与平面所成角的余弦值.

参考答案：I）证明：取CE中点N,连接MN,BN则MN∥DE∥AB且MN=DE=AB∴四边形ABNM为平行四边形∴AM∥BN

………....4分

∴AM∥平面BCE………....6分（Ⅱ）解：取AD中点H,连接BH，

∵是正三角形，

∴CH⊥AD

…....8分

又∵平面

∴CH⊥AB

∴CH⊥平面ABED

....10分

∴∠CBH为直线与平面所成的角………....12分设AB=a,则AC=AD=2a

,

∴BH=a

BC=a

cos∠CBH=

………………....14分20.已知函数f（x）=lnx+ax2+1．（1）当a=﹣1时，求函数f（x）的极值；（2）当a＞0时，证明：存在正实数λ，使得||≤λ恒成立．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）运用求解导数得出f′（x）=+2ax，x＞0，判断（0，）单调递增，（，+∞）单调递减，得出f（x）极大值=f（）=ln+，无极小值．（2）构造g（x）=，当a＞0时g（x）的定义域为R，g′（x）=，g′（x）==0，x1=1，x2=1，判断得出g（x）在（﹣∞，x1）（x2，+∞）单调递增，（1，2）单调递减，求解得出极值，得出存在常数M，得出不等式恒成立．【解答】解：（1）函数f（x）=lnx+ax2+1，f′（x）=+2ax，x＞0，当a=﹣1时，函数f（x）=lnx﹣x2+1，f′（x）=﹣2x，x＞0，∴x∈（0，）时，f′（x）＞0，x∈（，+∞）时，f′（x）＜0；∴（0，）单调递增，（，+∞）单调递减，∴f（x）极大值=f（）=ln+，无极小值．（2）证明：令g（x）=，当a＞0时g（x）的定义域为R，g′（x）=，g′（x）==0，x1=1，x2=1，g′（x）=＞0，x1＜1，x2＞1，∴g（x）在（﹣∞，x1）（x2，+∞）单调递增，（1，2）单调递减，g（1）=0，当x＜1时，g（x）＞0，当x＜1时，0＜g（x）＜g（x1）∴当x＞1时，0＜g（x）＜g（x2）记M=max||g（x1）|g（x2）|，a＞0时，当λ∈[M，+∞），使得||≤λ恒成立．21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分．为了配合今年上海迪斯尼游园工作，某单位设计了统计人数的数学模型：以表示第个时刻进入园区的人数；以表示第个时刻离开园区的人数．设定以分钟为一个计算单位，上午点分作为第个计算人数单位，即；点分作为第个计算单位，即；依次类推，把一天内从上午点到晚上点分分成个计算单位（最后结果四舍五入，精确到整数）．（1）试计算当天点至点这一小时内，进入园区的游客人数、离开园区的游客人数各为多少？（2）从点分（即）开始，有游客离开园区，请你求出这之后的园区内游客总人数最多的时刻，并说明理由．参考答案：【测量目标】（1）分析问题与解决问题的能力/能通过建立数学模型，解决有关社会生活、生产实际或其他学科的问题，并能解释其实际意义.（2）分析问题与解决问题的能力/能通过建立数学模型，解决有关社会生活、生产实际或其他学科的问题，并能解释其实际意义.【知识内容】（1）函数与分析/指数函数与对数函数/函数的应用.（2）函数与分析/指数函数与对数函数/函数的应用.【参考答案】（1）当天14点至15点这一小时内进入园区人数为（人）…3分离开园区的人数（人）

………………6分（2）当时，园内游客人数递增；当时，园内游客人数递减．

………………7分①当时，由，可得：当时，进入园区游客人数多于离开园区游客人数，总人数越来越多；…9分当时，进入园区游客人数少于离开游客人数，总人数将变少；

……11分（